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2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 03 7．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两
个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形 就 是 勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，
已知 AB 2， P 为弧 AC 上的点且 PBC 45 ，则BP CP的值为（ ）
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 A． 4 2 B． 4 2 C． 4 2 2 D． 4 2 2
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 8．在平面直角坐标系 xOy中，x轴正半轴上从左至右四点 A B C D横坐标依次为 a-c a a+c 2a，y轴上点 M
第Ⅰ卷 N纵坐标分别为 m -2m（m>0），设满足 PA PC 2a 的动点 P的轨迹为曲线 E，满 QN 2 QM 的动点 Q
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的. 的轨迹为曲线 F，当动点 Q 在 y轴正半轴上时，DQ交曲线 E于点 P0（异于 D），且 OP0与 BQ交点恰好在曲线 F
1 上，则 a：c=（ ）
1．已知集合 A y y 2 ，B x y 4 2x ，则 A B （ ） x A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
A． 0, 2 B． 0, 2 C． 0, 2 D． 0, 2 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求的．全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分．2．复数 1 i3 1 i 2 在复平面内对应的点在（ ）
9．为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
层抽样方法随机抽取了 120名男生和 80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的
3．大约公元前 300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比 1大的数（每个
比 1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的 频率分布直方图（如图所示），则（ ）
顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于 1的自然数 N （ N 不为素数）能唯一地写成
N pa1 pa2 L pak1 2 k （其中 pi 是素数， ai 是正整数，1 i k ， p1 p2 L pk ），将上式称为自然数 N 的标
准分解式，且 N 的标准分解式中有a1 a2 ak 个素数．从 120的标准分解式中任取 3个素数，则一共可
以组成不同的三位数的个数为（ ）
A．6 B．13 C．19 D．60
4．已知函数 y f (x) 的部分图象如图所示，则下列可能是 f (x) 的解析式的是（ ）
A． a 0.010
B．B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为 75
C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时cos x x
A． f (x) x cos x B． f (x) x cos x C． f (x) D． f (x)
x cos x D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于 80分钟的学生中男、女生人数比例为
3:1
5．已知多项式 x 2 5 x 1 6 a a x a x2 a x5 a x60 1 2 5 6 ，则 a1 （ ） π 2π π
10．已知函数 f (x) sin x ( 0) 满足 f (x) f 恒成立，且在 0, 上单调递增，则下列说
A．11 B．74 C．86 D． 1 6 3
2
0, π , sin 4 sin 6．已知 ，则 tan
法中正确的是（ ）（ ）
2 1 cos 4 cos 2 2 1
A.
15 5 15 5 2
A. B. C. D.
5 3 15 5
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2π 18．记锐角 ABC 内角 A, B,Cf x 的对边分别为
a,b,c，且bc cos B 4(c 1)cosC,b 2 ，且 c b ．
B. 为偶函数
3 A
(1)求 ；
C
C. 若 x 0, π ，则 f x 1 ,1
(2)将 AC 延长至 D，使得3CD AC ，记△ABD 的内切圆与边 AD 相切于点 T， AT 是否为定值？若是，求出 2
该定值，若不是，请说明理由．
f x g(x) sin π D. 将 图象上所有点的横坐标变为原来的 2倍，可以得到 x 的图象 19．为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享
6
受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的 1月份开始进行人才招聘工
11．甲袋中装有 4个白球，2个红球和 2个黑球，乙袋中装有 3个白球，3个红球和 2个黑球．先从甲袋中 作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市 1~4月
A A 份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用 1， A2， 3分别表示甲袋取出的球是白球、红球和
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
黑球，用 B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）
报名人员数 x /千人 5 6.5 7
1 3.5
A． A1， A2， A3两两互斥 B． P B A2 3 录用人才数 y /千人 0.2 0.33 0.4 0.47
（1）求出 y关于 x的经验回归方程；
1
C． A 与 B是相互独立事件 D． P B （2）假设该市对被录用的人才每人发放 2万元的生活津贴3
3 （i）若该市 5月份报名人员数为 8000人，试估计该市对 5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
12．已知抛物线 y2 3x上的两点 A x0 , y0 ，B x0 , y0 x0 0 及抛物线上的动点P x, y ，直线 PA，PB的斜 （ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 p ，3p 1．若两人的生活津贴之和
率分别为 k1， k2 ，坐标轴原点记为 O，下列结论正确的是（ ）
3 的均值不超过 3万元，求 p 的取值范围．
A．抛物线的准线方程为 x
2 附 ： 经 验 回 归 方 程 y a b x 中 ， 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 公 式 分 别 为
B．三角形 AOB为正三角形时，它的面积为 27 3
1 1
C．当 y0 为定值时， k k 为定值
n
1 2 xi yi nxy 4 4
D．过三点 A 0, y ，B 0, y ，C x ,0 x i 1 0 0 0 0 0 0 0 0 的圆的周长大于 3π b n ,a y bx; x2i 128.5, xi yi 8.24.
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． x2i nx 2 i 1 i 1
13．已知圆O： x2 y2 1与直线 l： x= 1 1 O i 1，写出一个半径为 ，且与圆 及直线都相切的圆的方程：
______．
14.已知的非零数列 an 前 n项和为 Sn ，若 a1 2, a2 3, anan 1 2Sn 2，则 S10 的值为____________. 20.如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC BC ， AA1 BC 2 ，且二面角为 A1 BC A为 45°.
15.柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量 X 服从柯西分布
为 X ~ C , x0 ，其中当 1， x0 0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为
f x 1
1 x2 ．已知 X ~ C 1,0 ， P X 3
2
， P
3 1 X
1
3 ，则12
P X 1 ________.
16．已知三棱锥 P ABC 的体积为 6，且 PA 2PB 3PC 6．若该三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，
则三棱锥O ABC 的体积为__________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知正项等比数列 an 的的前 n项和为 Sn ，且满足： a1 2, S4 3 a1 a3 ， （1）求棱 AC 的长；
（1）求数列 an 的通项； 2 A B CC D A（ ）若 D 为棱 1 1 的中点，求平面 1 与平面 1BC 夹角的正切值.
（2）已知数列 bn 满足bn (2n 1)an ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
x2 y2
21．已知双曲线C : 1 a 0,b 0 的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1， F2 ,点 P 0,1 与 F2 2 1， F2a b
构成的三角形的面积为 2.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）已知直线 l : y kx m （ k 0， k 2 4且 k 2 3）与双曲线C 交于M ， N 两点，点M 关于 x 轴的
对称点为M ，若点 F2 在直线M N 上，试判断直线 l是否经过 x 轴上的一个定点？若经过定点，求出定点的
坐标；若不经过定点，请说明理由.
1 aexx
22．已知函数 f x e 1 x (x 0)， g x 2lnx lna(a 0) ． x
(1)求 f x 的单调区间；
(2)求证： g x 存在极小值；
(3)若 g x 的最小值等于 0 ，求 a的值．关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 03
参考答案
1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8． A
9．AC 10．ABC 11．AB 12BCD ．
1
13． x2 y 2 2 1(答案不唯一) 14．65 15． ##0.25 16．3
4
17 n 1．【答案】（1） an 2
n （2）Tn (2n 3)2 6
【解析】（1）设 an 的公比为q，q 0 ，
∵ S4 3 a1 a3 ，∴ a1 a2 a3 a4 3 a1 a3 ，
∴ a2 a4 2 a1 a3 ，即 a1q a3q 2 a1 a3 ，
∴ q = 2，又 a1 2，∴ an 2 2
n 1 2n .
（2）∵bn 2n 1 an 2n 1 2n ，
∴Tn 1 2
1 3 22 5 23 7 24 2n 1 2n ，
2
∴ 2Tn 1 2 3 2
3 5 24 7 25 2n 1 2n 1 ，
T 2 23 24 25 2n 1 2n 1 2n 1相减得， n ，
23 1 2n 1
∴ Tn 2 2n 1 2n 1 6 2n 3 2n 1，1 2
T n 1所以 n 2n 3 2 6 .
2
18．【答案】(1)2；(2)是，定值为 3
2
【解析】（1）由bc cos B 4(c 1)cosC,b 2 可得bc cos B b (c 1)cosC ，即 c cos B b(c 1)cosC ，
整理得 c cos B bcosC bc cosC ，
由正弦定理得 sin C cos B sin B cosC bsin C cosC ，又
sin C cos B sin B cosC sin B C sin A sin A
，
A,C 0, A 2
则 sin A 2sin C cosC sin 2C
，又 2 ， c b，C B ， A 2C ，则 A 2C ，即 C ；
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（2）
a2 b2a 2c c
2
2
sin A 2sinC cosC 2ab 2 c a c 2 c 2 c 2由（1）得 ，即 ，整理得 ，又 c b，则 a 2c c2 ，
设内切圆圆心为O，内切圆与边 AB, BD 分别相切于点 E, F ，则BE BF , AE AT , DT DF ，
4 4 4 BD BA AD BA 1 AC BA BC BA BC BA
又 3 3 3 3 ，
则
2
BD 16
2 1 2 8 16 1 8
BC BA BC BA a2 c2 ac cos B
9 9 9 9 9 9
16 a2 1 c2 8 ac a
2 c2 4 4 a2 1 c2 16 4 2c c2 1 c2 16
9 9 9 2ac 3 3 9 3 3 9
c2 8 16 4
2
c c
3 9 3 BD
4 4
c BD BA BF FD BE AE DT AT
，则 3 ，则 3 ，
DT 8 2 AT AD AT
又 3 ，则 3 .
1 5
19．【答案】（1） y 0.072x 0.046 （2）（i）1060万元；（ii） ,
3 8
x 3.5 5 6.5 7 5.5 y 0.2 0.33 0.4 0.47【解析】（1）由题意得 ， 0.35，
4 4
4
xi yi 4xy
b i 1 8.24 4 5.5 0.35所以 4 0.072，
x2 4x 2 128.5 4 5.5
2
i
i 1
a y b x 0.35 0.072 5.5 0.046
故 y 关于 x 的经验回归方程为 y 0.072x 0.046．
（2）（ⅰ）将 x 8代入 y 0.072x 0.046，得 y 0.072 8 0.046 0.53，
所以 2 0.53 1000 1060（万元），
故估计该市对 5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为 1060万元．
（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为 X ，则 X 的可能取值为 0 ，1， 2 ，
则 P X 0 1 p 1 3p 1 3p2 5p 2，
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P X 1 p 1 3p 1 1 p 3p 1 6 p2 6 p 1，
P X 2 p 3p 1 3p2 p ，
所以 E X 0 3p2 5p 2 1 6 p2 6 p 1 2 3p2 p 4 p 1，
则 2 4 p 1 3，解得 p 5 ．
8
0 p 1 1 2 1 5 1 5
又 ，所以 p ，则 p ．故 p 的取值范围是 ,
0 3p 1 1 3 3 3 8
3 8
20．【答案】（1）2 （2） 3
【解析】（1）因 AA1 平面 ABC， BC 平面 ABC，则 AA1 BC .
又 AC BC ， AA1 AC A ， AA1 平面 AA1C ， AC 平面 AA1C ，
则 BC 平面 AA1C .又 A1C 平面 AA1C ，则 BC A1C ，
故 A1CA 是二面角 A1 BC A的平面角，则 A1CA 45 .
又 AA1 AC ，则 AC AA1 2 .
（2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C 0,0,0 ， A 0,2,0 ， B 2,0,0 ， A1 0,2,2 ， B1 2,0, 2 ， D 1,1, 2 ，C1 0,0,2 .可得
CB 2,0,0 ，CA1 0,2,2 ，CC1 0,0,2 ，CD 1, 1, 2 .
CB
n 2x1 0
设平面 A1BC 的法向量为 n x1, y1, z1 ，则 ，
CA1 n
2y1 2z1 0
取 y
1 1，得 n 0,1, 1 .
CC m 2z 0
设平面CC1D 的法向量为m x2 , y2 , z
1 2
2 ，则 CD m
，
x2 y2 2z2 0
取 y2 1，得m 1,1,0
由 cos n
,m n m 1 1 n m CC D A BC 60°2 2 2 ，得平面 1 与平面 1 的夹角为 ，
故平面CC1D 与平面 A1BC 的夹角的正切值为 3 .
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y2 1 21．【答案】（1） x2 1 （2）直线 l是否经过 x 轴上的一个定点 ,03 2
【解析】（1）由题意， P 0,1 ， F1 c,0 ， F2 c,0 ，
S 1所以 PF F 2c 1 c 2，1 2 2
又 e c 2，所以 a 1，
a
所以b2 c2 a2 3，
2
所以双曲线C y的方程为 x2 1.
3
（2）设直线 l与 x 轴交于点 p,0 ，则直线 l的方程为 y k x p ，
设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，则M x1, y1 ，
y k x p
联立 y2 ，得 3 k 2 x2 2 pk 2x p2k 2 3 0，2
x 1
3
3 k 2 0 4 p2k 4由题可知 ， 4 3 k 2 p2k 2 3 36 12k 2 p2 1 0，
x x 2 pk
2 p2k 2 3
所以 1 2 ， ，k 2
x1x2 3 k 2 3
因为点 F2 在直线M N 上，所以 kM F k2 F2N ，
y1 y 2即 ，则 y x 2 y x 2x ，1 2 x2 2 1 2 2 1
所以 k x1 p x2 2 k x2 p x1 2 ，
因为 k 0，所以 x1 p x2 2 x2 p x1 2 0，
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所以 2x1x2 p 2 x1 x2 4 p 0，
2 p2k 2 3 2 pk 2 p 2 1
所以
2 2 4 p 0，解得 p ，k 3 k 3 2
1
所以直线 l是否经过 x 轴上的一个定点 ,0 .
2
4
22 f x 0, 2．【答案】(1) 的单调递增区间为 ，无递减区间(2)证明见解析(3) e
x2 x 1 exf x ex 1 1 1 ex ex 1 1 1
【解析】(1) x x
2 x x2 x2 ，
2
x2 x 1 3 1 x 0
因为 2 4 f
x >0
，所以 ( ) 恒成立，
f x 0,
所以 的单调递增区间为 ，无递减区间．
(2)
a ex 1 1 2 x x x
ae x ae 2 ae x 1 2x
g x x a
x2 x x2 x
x2 x 1 ex
h x ex 1 1 2 x a h x 2 0 h x 0, 令 ， x ，所以 在 上单调递增，
t x ex x x 0 t x ex 1
令 ，所以 ，因为 x 0
x
，所以 e 1，
t x ex 1 0 t x 0, t x t 0 e0 0 1
即 ，所以 在 单调递增，所以 ，
2
1
ea 2
x 0 e x
1
即当 时， x恒成立，因为 a 0，所以 a
2 h 2 1
2
1 2 2 2 2 2
h 1 0 ea 1 0
注意到 a ， a a 2 a
a a 2 a
2
h x 1, 1 0 x x h x 0 g x 0 g x
所以 在 a 上有唯一的零点 x0 ，且当 0 时， ， ， 单调递减；
x x0 h x 0 g x 0 g x g x 当 时， ， ， 单调递增，所以 存在极小值
(3)
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x0
g x g x ae0 2lnxmin x 0 lna 0由（2）知 0 ，①
x 1 2 x 1 e 0 1 ae 0 1 2 aex
2x
0 0
且 x0 a x， 0 ， x0 1，
ln a x0 ln 1
1
ln2 lna ln2 x0 ln 1
1
x x
且 0 0
2 1
2lnx0 ln2 xx 1 0
ln 1 0x
由①式得 0 0
F x 2 2lnx ln2 x 1 ln 1
x 1 x x 1 令 ，
2 2
F x 2x 2 x 1 x x 1 x 1
x x 1 2 F x 0
所以 ，当 x 1时， 恒成立，
所以F x 在 1, 4上单调递减，注意到F 2 0，所以x0 2，所以 a ．e2
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