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2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 7．在等腰梯形 ABCD中， AB//CD ， AB 2CD 4， AD BC 5 ， E 为CD 的中点， F 为线段
BC 上的点，则 EF BF 的最小值是（ ）
数学 9 4
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） A. 0 B. C. D. 15 5
注意事项： x 4e, x 0
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
8．已知函数 f (x) x （e 是自然对数的底数），若存在 x 0, x 0，使得 f x f x ，则
写在答题卡上。 e , x 0 1 2 1 2 2
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 x
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 x1 f x3 2 的取值范围是（ ）．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4e2 ,0 (16 e)e
3 (16 e)e3
A. B. ,0 C. 0, D. 0,4e
2
第Ⅰ 卷 16 16
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分．
要求的.
9．一组样本数据 x , x , , x 的平均数为 x (x 0)，标准差为 s．另一组样本数据 x , x , , x ，的平均
1．已知复数 z 满足 z 3 1 i 1 i， z 1 2 n n 1 n 2 2n（ ）
数为3x ，标准差为 s．两组数据合成一组新数据 x1, x2 , , xn , xn 1, , x2n ，新数据的平均数为 y ，标准差为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
s ，则（ ）
2．设U R ，已知两个非空集合M ， N 满足M C ，则（ ）U N A. y 2x B. y 2x
A．M N R B．M N C． N M D．M N R
3． 2x 1 4 的展开式中 x3 C. s s D. s s的系数为（ ）
10．已知 g(x) 4cos x cos x
，则下列说法中正确的是（ ）
A. 4 B. -4 C. 32 D. -32 3
ABC O π
4．已知 中， 为BC 的中点，且 BC 4 ， AB AC AB AC ， ACB ，则向量
6 AO
在向量 AB A. 函数 g(x) 的最小正周期为
上的投影向量为（ ）
1 1
A． AB B． AB
1 g x ,
C． AB D B. 函数 在 上单调递减．
4 2 AB3 6 12
5．良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先 C. 函数 g x 的图象可以由函数 y cos 2x 1图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2倍得3
在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近 630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建
筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今 3500年前后的殷商时期，2019年 7月 6日，中国良渚古城 到
7
遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考 D. ,1 是函数 g(x) 图象的一个对称中心12
古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测，检
测出碳 14的残留量约为初始量的55.2%．已知经过 x年后，碳 14的残余量 211．如图所示，抛物线 E： y 2 px p 0 的焦点为 F，过点M p,0 的直线 l1， l2与 E 分别相交于 A x1, y1 ，
y k(1 p)x (k R,k 0,0 p 1; x… 0) ，碳 14的半衰期为 5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是
B x2 , y2 和 C，D 两点，直线 AD 经过点 F，当直线 AB 垂直于 x 轴时， AF 3．下列结论正确的是（ ）
（ ）．（参考数据： log2 0.552 0.8573）
A．公元前 2893年 B．公元前 2903年
C．公元前 2913年 D．公元前 2923年
, 0, , 2tan sin2 tan 6．已知 ，则 2
（ ）
2 sin sin2 3
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
3 3
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y2
18．在 中，
4x PAB PA PB
，点C ，D分别在 PB，PA边上．
A. E 的方程为
(1)若 APB
，CD 1，求 PCD 面积的最大值；
3
B. y1 y2 12
APB , 4(2)设四边形 ABCD的外接圆半径为 R ，若 ，且 AB BC CD DA的最大值为 ，求 R 的
C. 若 AD，BC 的斜率分别为 k1 ， k2 ，则kk11 33kk 3
2 22 9
值．
D. 若 AD，BC 2的倾斜角分别为 ， ，则 tan 的最大值为
4
ABCD A B C D AB CD 19．2022 年 12O O 月 15 至 16 日，中央经济工作会议在北京举行.关于房地产主要有三点新提法，其中“住房改12．正方体 1 1 1 1 的棱长为1，中心为 ，以 为球心的球与四面体 1 1的四个面相交所围
善”位列扩大消费三大抓手的第一位.某房地产开发公司旗下位于生态公园的楼盘贯彻中央经济工作会议精神，
2 3π 推出了为期 10 天的促进住房改善的惠民优惠售房活动，该楼盘售楼部统计了惠民优惠售房活动期间到访客
成的曲线的总长度为 ，则球O的半径为（ ）
3
户的情况，统计数据如下表：（注：活动开始的第 i 天记为 x
15 15 15 15 i
，第 i 天到访的人次记为 yi ， i 1,2,3, ）
A. B. C. D.
24 12 6 3
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． xi （单位：天） 1 2 3 4 5 6 7
13．在中国农历中，一年有 24 个节气，“立春”居首.北京 2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节
气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从 24个节气中随机选取 4个介绍给外国友人，则这 4个节 yi （单位：人次） 12 22 42 68 132 202 392
气中含有“立春”的概率为____________．
2 2
14.已知椭圆 C : x y 1，直线 l : y 3 x 1交 C 于 M , N 两点，点 P 0,3 ，则 PMN 的周长为
6 3 3 x
__________ （1）根据统计数据，通过建模分析得到适合函数模型为 y c d （c，d 均为大于零的常数）.请根据统计．
15.已知数列 an 的前 n
S
项和为 Sn ， a1 m， 2nan 2Sn n(n 1) n N
n 数据及下表中的数据，求活动到访人次 y 关于活动开展的天次 x 的回归方程，并预测活动推出第 8 天售楼部
，若对任意 ，等式 kS 恒成2n 来访的人次；
立，则m _______，k=_________ 1 7 7
16．2022 年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召， 参考数据：其中 vi lg yi ,v vi 1.84, xivi 58.55,100.84 6.9 ；
建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点 A，B 分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方 7 i 1 i 1
向的高度差为 20 m .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全
参考公式：对于一组数据 u ,v , u ,v , , u ,v ，其回归直线 的斜率和截距的最小二
性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为 44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者 1 1 2 2 n n v u
的滑雪体验，则 A，B 两点在水平方向的距离约为________ m n n
ui u vi v uivi nuv
i 1 i 1
乘估计公式分别为： n n , v u ；
u u 2i u2i nu 2
i 1 i 1
（2）该楼盘营销策划部从有意向购房的客户中，随机通过电话进行回访，统计有效回访发现，客户购房意
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 向的决定因素主要有三类：A 类是楼盘的品质与周边的生态环境，B 类是楼盘的品质与房子的设计布局，C
1 1 4
17．在① A5 B3 ，② ，③ B5 35
类是楼盘的品质与周边的生活与教育配套设施.统计结果如下表：
a a B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.1 2 2
类别 A 类 B 类 C 类
已知等差数列 an 的公差为 d (d 0) ，等差数列 bn 的公差为 2d .设 An , Bn分别是数列 an , bn 的前 n项和，
频率 0.4 0.2 0.4
且b1 3, A2 3， ， 从被回访的客户中再随机抽取 3 人聘为楼盘的代言人，视频率为概率，记随机变量 X 为被抽取的 3 人中 A 类
和 C 类的人数之和，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
（1）求数列 an , bn 的通项公式；
2 c 2a
3
n
（ ）设 n b b ，求数列 cn 的前 n项和 Sn .n n 1
20．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，侧面 ACC1A1是菱形，平面 ACC1A1⊥
平面 ABC，E，F 分别是棱 A1C1，BC 的中点，G 是棱 CC1上一点，且C1G t GC(t 0)．
(1)证明：EF 平面 ABB1A1；
(2)若三棱锥 C1-ABC 的体积为 1，且二面角 A-EG-F
4 53
的余弦值为 ，求 t 的值．
53
C : x
2 y2
21．已知双曲线 1 a 0,b 0 的实轴长为 2，直线 y 3x为C 的一条渐近线．
a2 b2
（1）求C 的方程；
（2）若过点 2,0 的直线与C 交于 P,Q 两点，在 x 轴上是否存在定点M ，使得MP MQ为定值？若存在，
求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
π π
22．已知函数 f (x) ex 2 ， x R; g(x) cos x, x , .（ e为自然对数的底数， e 2.718）.
2 2
h(x) af (x) g(x) π π（1）若函数 在区间 ,
上单调递减，求实数 a 的取值范围；
2 2
（2）是否存在直线 l 同时与 y f (x), y g(x)的图象相切？如果存在，判断 l 的条数，并证明你的结论；
如果不存在，说明理由.关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷
参考答案
1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．B 8． A
9．BC 10．ABD 11．ACD 12.BC ．
1 1 1
13． 14． 4 6 15． ； 16．296 2 4
3(n 2)
17 n 1．【答案】（1） an n,bn 2n 1；（2） 2 2n 3
【解析】方案一：（1）∵数列 an ， bn 都是等差数列，且 A2 3, A5 B3 ，
2a1 d 3 a 1
1
，解得
5a1 10d 9 6d d 1
an a1 (n 1)d n ，
bn b1 (n 1)2d 2n 1
综上 an n,bn 2n 1
（2）由（1）得：
c 2n 3 2n 3 1 1n
(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
Sn (2 2
2 2n ) 3 [(1 1 ) (1 1 1 1 ) ( )]
2 3 5 5 7 2n 1 2n 3
2 1 2n 3 1 1
1 2 2 3 2n 3
2n 1 3(n 2)
2n 3
方案二：
1 1 4（1）∵数列 an ， bn 都是等差数列，且 A2 3, a a B ，1 2 2
2a1 d 3 a 1
1
4a
解得
1 a1 d d (6 2d ) d 1
an a1 (n 1)d n ，
bn b1 (n 1)2d 2n 1.
综上， an n,bn 2n 1
（2）同方案一
方案三：
（1）∵数列 an ， bn 都是等差数列，且 A2 3, B5 35 .
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2a1 d 3 a 1
5 1 4 ，解得 ，
3 5 2d 35 d 1 2
an at (n 1)d n ，
bn b1 (n 1)2d 2n 1.
综上， an n1bn 2n 1
3 4
18．【答案】(1) 4 (2) 9
DPC APB
【解析】（1）由已知 3 ，
在 PCD
2 2
中，利用余弦定理知1 CD PC PD
2 2PC PD cos PDC ，
1 2PC PD 2PC PD cos PC PD
结合基本不等式有 3 ，
当且仅当PC PD 1时，等号成立，即PC PD 的最大值为 1，
S 1 3 3 PCD PC PD sin PC PD 2 3 4 4
3
所以 PCD 面积的最大值为 4
（2）四边形 ABCD存在外接圆， DAB DCB
又PA PB ， DAB CBA， CBA DCB ，
AB // CD，所以四边形 ABCD为等腰梯形，
连接 AC ，设 CBA ， CAB x，
AB BC
2R
在 BAC 中，由正弦定理得， sin( x ) sin x ，
BC 2R sin x， AB 2R sin( x ) 2R sin( x)
同理，在 ACD中，由正弦定理得，CD 2R sin( x)，
AB BC CD DA 16R 2 sin2所以 x sin( x)sin( x)
16R 2 sin2 x sin2 cos2 x cos2 sin2 x
16R 2 sin2 x sin
2 1 sin2 x cos2 sin2 x
16R 2 sin2 x sin2 sin2 x
APB , 3 0 x 3 0 sin2 x sin2， ，
sin2 x sin2 2 sin2 x
16R 2 sin2 x sin2 sin2 x 16R 2 4R 2 sin4
2 ，
sin2 x 1 sin2
当且仅当 sin
2 x sin2 sin2 x，即 2
0, 3 sin
2 3
， 4 ，当且仅当 3 时，等号成立，
2
4R 2 3 4 R
4
即 4 9 ，即 9
12
19．【答案】（1） y 6.9 100.25x ；690 （2）分布列见解析，数学期望为
5
【解析】（1）由 y c d x 得 lg y = lg d ×x +lg c ，
v 1
7 7 7
2 2 2 2
由 i lg yi , v vi 1.84, xivi 58.55， x 4， xi 1 2 3 42 52 62 72 140，7 i 1 i 1 i 1
7
xivi - 7xv
∴ lg d = i=1
58.55 - 7 4 1.84
7 = 2 0.25，2
x2 - 7x 140 - 7 4i
i=1
lg c = v - lg d ×x =1.84 - 0.25 4 = 0.84, lg y = 0.25x +0.84 .
则所求回归方程为： y 100.84 0.25x 6.9 100.25x .
当 x 8时， y 6.9 100.25 8 690，故预测活动推出第 8 天售楼部来访的人次为 690；
（2）由题意得，A 类和 C 类被抽取得概率为0.4 0.4 0.8，X 可取 0，1，2，3，且 X ~ B
4
3, ，
5
0 3 1 2
∴ P X 0 C0 4 1 1 1 4 1 123 5
， P X 1 C ，
5 125 3 5 5 125
4 2 1 1 48 3 0P X 2 C2 3 ， P X 3 C3
4 1 64 .
5 5 125 3 5 5 125
∴X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 48 64
P
125 125 125 125
4 12
X 的数学期望为 E X 3 .
5 5
20．【答案】(1)证明见解析；(2) t 2 .
【解析】（1）证明：取 AB M A M , FM , F AC中点 ，连接 1 为BC 的中点，E 为 1 1的中点，
/ / 1 / /MF AC, A E 1
/ /
1 AC, MF A1E, 2 2 A四边形 1MFE 为平行四边形，
EF∥ A1M , EF ABB平面 1A1, A1M ABB A平面 1 1，
EF ABB1A平面 1 .
（2） ACC1A1 ABC, C1 C1H AC, C1H 平面 平面 过 作 平面 ABC ，
V 1 C ABC S
1
ABC C1H 3 C1H 1 C1H 31 3 3 ，
CC1 2, CH 1, H 为 AC 中点， BH AC ，
HB, HC, HC
如图分别以 1所在的直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
A 0, 1,0 , E 0, 1, 3 , F 3 1 , ,0 ,C 0,1,0 ,C1 0,0, 3
2 2
C1G t GC G 0,
t
,
3
, AE 0,0, 3
t 1 t 1
由 ，
EG 0,
2t 1, 3t , EF 3 , 3 , 3
t 1 t 1
2 2
AEG EFG n1 x1, y1, z1 ,n2 x2 , y2 , z 设平面 和平面 的一个法向量分别为 2 ,
2t 1 y 3t
t 1 2
z 0
t 1 2
n EG 0 n1 (1,0,0),
2 3 3
∴ n2 EF 0
x2 y 3z 0
,∴ 2 2
2 2
n2 t 2, 3t, 2t 1 ，设二面角 A EG F 的平面角为 ,
n n t 2 4
cos 1 2 t 2
n n (t 2)
2 3t 2 (2t 1)2 53
1 2
.
y221．【答案】（1） x2 1
3
（2）存在定点M 1,0 ，使MP MQ 0为定值，理由见详解.
【解析】（1）由题意得 2a 2，即 a 1 .
因为C 的渐近线方程为 y 3x .
b
所以 3 ，
a
所以b 3 ，
y2
故C 的方程为： x2 1 .
3
（2）当直线 l不与 x 轴重合时，
设直线 l的方程为x t y 2，
2
代入 x2 y 1，得3(ty 2)2 y2 3，
3
3t 2即 1 y2 12ty 9 0．
设点 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
则 y1 y
12t 9
2 2 , y3t 1 1
y2 3t 2
．
1
设点M m,0 ，
则MP MQ x1 m x2 m y1 y2 ty1 2 m ty2 2 m y1 y2
t 2 1 y1y2 t 2 m y y (2 m)21 2
9 t 2 1 12t 2 2 m
2
3t 2
(2 m)
1 3t 2 1
3m2 3 t 2 m2 4m 5
，
3t 2 1
若MP MQ为定值，
3m2令 3 3 m2 4m 5
解得m 1，
此时MP MQ m2 4m 5 0 ．
当直线 l 与 x 轴重合时，则点 P,Q 为双曲线的两顶点，不妨设点 P 1,0 ,Q 1,0 ．
对于点M 1,0 , MP MQ 1 1,0 1 1,0 0 ，
所以存在定点M 1,0 ，使MP MQ 0为定值．
π
2
22 2．【答案】（1） a e 4 （2）存在，一条，证明见解析
2
【解析】（1） h x af x g x aex 2 cosx,h x aex 2 sinx .
因为 h x af x g x π , π 在 上单调减，
2 2
π π x 2
所以 x ,2 2
,h x ae sinx 0恒成立，
π π sinx
所以 x , ,a 恒成立.
2 2 ex 2
M x sinx π π
π
设 , x 2sin x x 2 , ，则M x cosx sinx
，
e 2 2
4
ex 2 ex 2
x π , π 当 时，M x 0，当 x , 时，M x 0，
2 4 4 2
π π π π
所以M x 在 , 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 4
4 2
2
所以M (x) M π 2 2
π
2
min π e 4 ， 4 2e 4 2
2 π 2
所以 a e 4 .
2
（2）存在且仅有一条直线同时与 y f x y g x 的图象相切.
设直线与 y f x , y g x 的图象分别相切于点 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
其中 x R, x
π
, π 1 2 ，且 x1 x2 , f x ex 2 , g x sinx，
2 2
P y ex1 2 ex1 2 x 2则在 处的切线方程为： x x ，即 y e 11 x 1 x1 ex1 2；
在Q处的切线方程为： y cosx2 sinx2 x x2 ，即 y xsinx2 cosx2 x2sinx2 .
ex1 2所以 sinx2 , ……①
1 x ex1 21 cosx2 x2sinx2 , ……②
因为 sinx2 1,1 ，所以0 ex1 2
π
1，则 x2
,0
.
2
可得 x1 2 ln sinx2 ，于是有 3 ln sinx2 sinx2 cosx2 x2sinx2，
整理得 x2 3 sinx2 cosx2 sinx2ln sinx2 0 .
cosx
1 2法 ：两边同除以 sinx2 得 x2 3 ln sinx 0sinx 2 ，2
要证有且仅有一条直线同时与 y f x y g x 的图象都相切，
M x x 3 cosx π只需证函数 ln sinx ，在 x ,0
上有且仅有一个零点.sinx 2
π
2cosxsin x
M x 1 sin
2x cos2x cosx cosx sinx cosx 4
sin2x sinx sin2x sin2x
x π π当 ,
时，M x 0
π
，当 x ,0 时，M x 0，
2 4 4
所以M x π π π在 , 上单调递增，在 ,0
上单调递减，
2 4 4
M π M π π 3 0 ，所以M x
π π
在 ,
上无零点.
4 2 2 2 4
取 sinx e 3 , x
π
0 0 ,04
，则 cosx0 1 e
6 ，
cosx 6M x x 3 00 0 ln sinx0
1 e
3 lne 3 3 6 e
6 1 6 26 1 0，
sinx0 e
π
所以函数M x 在 ,0
上有且仅有一个零点，
4
综上，函数M x π在 ,0
上有且仅有一个零点，
2
所以有且仅有一条直线同时与 f x , g x 的图象都相切.
法 2：要证有且仅有一条直线同时与 y f x y g x 的图象都相切，
G x x 3 sinx cosx sinxln sinx x π 只需证函数 在 ,0 上有且仅有一个零点.
2
G x sinx x 3 cosx sinx cosxln sinx sinx cosx cosx x 2 ln sinx ， sinx
设 N x x π 2 ln sinx , x ,0
N x 1 cosx cosx ，则 1 ，
2 sinx sinx
x π 因为 ,0 ，所以 cosx 0,sinx 0，所以 N x 0，
2
N x π ,0 π π所以 在 上单调递增，所以 N x N 2 0 ，
2 2 2
又 cosx 0 ，所以G x 0，所以G x π在 ,0
上单调递增，
2
G π π 所以 3 sin cos
π
sin
π ln
sin π π
2 2 2 2 2 2
3 0，
2
sinx 3 π 取 0 e , x0 ,04
, 则 cosx0 1 e
6 ，
G x0
x0 3 sinx0 cosx0 sinx0ln sinx0 e 3 x
cosx
0 3 0 ln sinx0
sinx
0
cosx 6
其中 x0 3 0 ln sinx0
1 e
3 3 lne
3 6 e6 1 6 26 1 0 ，
sinx0 e
所以G x0 0 ，
π
所以函数G x 在 ,0 上有且仅有一个零点，
2
所以有且仅有一条直线同时与 f x , g x 的图象都相切.
