江西省宁冈县中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

宁冈县中2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个正项等比数列前项的和为3，前项的和为21，则前项的和为
A．18 B．12 C．9 D．6
3．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．一个盒子中装有8个小球，红球有3个，白球有5个，每次从袋子不放回地抽取1个小球，则在第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为
A． B． C． D．
5．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（　　）
A．150 B．200
C．300 D．400
6．定义在上的函数，满足且，若，则函数在 内的零点有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．已知，，是同一平面内的三个向量，设是单位向量，若，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．2020年初，新冠病毒肺炎（COVID-19）疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来，截止今天仍在全国大规模蔓延；现某地决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．数列单调递减 D．对任意，有
10．已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A．可能为1 B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式系数的绝对值的和可能为
11．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
12．在数列中，，对任意都有，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．对任意的正整数，恒有
C．不存在使得
D．当时，
三、填空题（共20分）
13．已知函数的导函数为，且，则______．
14．某地市场调查发现，的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为，而在实体店购买的家用小电器的合格率为.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是__________.
15．设数列的前项和为，若，则__________．
16．已知函数的定义域为R，其导函数为，满足，，则不等式的解集为___________.
四、解答题（共70分）
17．设数列的前项和为，满足，数列满足：．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，，求数列的前项和．
18．已知函数在处取得极值．
(1)求，的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
19．已知直线与抛物线相交于，两点，且线段的中点为．
（1）证明：．
（2）过作轴的垂线，垂足为，过作直线的垂线，交于，两点，求的取值范围．
20．如图，在三棱锥中，，底面．
（1）求证：；
（2）是的中点，，求将三棱锥分成上下两部分的体积比．
21．已知正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若有限数列满足，，求数列的前项和为.
22．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，，求的取值范围．
1．B
解：对于，是奇函数，但是在定义域上不具有单调性，不合题意；
对于，函数是奇函数，且故函数在定义域上单调递增，符合题意；
对于，函数是偶函数，不合题意；
对于，函数定义域为上的奇函数，故函数在定义域上单调递减，不合题意；
故选：．
2．C
是等差数列， 也成等差数列，
，解得
故选C
3．C
设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得
解得：或(舍)
故选：C
4．C
解：根据题意，第一次抽到红球的概率为：，
第一次抽到红球且第二次抽到白球的概率为：，
所以第一次抽取的球是红球的条件下，第二次抽取的球为白球的概率为：
.
故选：C.
5．C
由题意，随机变量，即，即正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以
所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为.
故选：C.
6．B
解：由，
令，则，，函数的周期为函数.
在同一坐标系中作出函数与函数图象(如图).
由于两函数图象有2个交点.
所以函数在 内有2个零点.
故选：B
7．B
设，，则，
∴
（其中是向量，的夹角，是向量，的夹角），
设，则，
∴，
此时，，即与反向.
故选B
8．D
依题意，前4次没有检测到第5次才检测到或是前5次没有检测到第6次才检测到，
∴ ，
， ，
当 ， 单调递增，时， 单调递减，
在 时， 取最大值；
故选：D.
9．BCD
，
，，B正确；
而，故无法判断的正负，A错误；
，数列单调递减，C正确；
当时，有最大值，即，D正确.
故选：BCD
10．ABD
A.令，代入二项式，或，故A正确；
B.展开式中二项式系数之和为，故B正确；
C.展开式中第5项的二项式系数最大，故C错误；
D.当时， 展开式系数的绝对值和二项式的系数和相等，令，得系数和是，当时， 展开式系数的绝对值和二项式的系数和相等，令，得系数和是，故D正确.
故选：ABD
11．AD
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：AD.
12．AB
由，，两式相减得.故数列的周期是.
A：当时，周期是2，故，正确；
B：对任意的正整数，恒有，正确；
C：当时，，错误；
D：当时，数列的周期是3，因此，错误.
故选：AB.
13．1
由题意可得,
故答案为：1
14．
设A=“家用小电器不合格”，B=“家用小电器在网上购买的”，则
，，故
故答案为：
15．31
令，则，则，
当时，由，得，
两式相减，得,即，
即数列是以1为首项、公比为2的等比数列，则.
故答案为：31
16．
依题意，令，因，则，即函数在R上单调递增，
又，则，
不等式，则有，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）.
（1）证明：当时，，
相减，得．
整理，得，
故，
相减，得，
故数列为等差数列．
（2）解：由（1）知为等差数列，
又，，所以，
所以，，
当时，．当时，，
相减，得，故．
验证时成立，故．所以．
故．
，
相减，得，
整理，得．
18．(1)
(2)
（1）解：由函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，
整理得，解得，
经检验，当时，，
令，解得或；令解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，且
符合题意，所以.
（2）解：由（1）得，函数且，
则，即切线的斜率为且，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
19．（1）证明见解析；（2）．
（1）证明：由得．
设，，则，
则，，
因为，所以．
（2）解：依题意可得的坐标为．
直线的方程为，
由得．
设，，则，，
恒成立，
．
因为，所以，所以，
故的取值范围为．
20．（1）证明见解析；（2）．
（1）因为，所以，
又因为底面，平面，所以，
因为，所以平面，
又平面，故；
（2）因为点是的中点，所以，
又因为，所以，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则，
因为，，所以，
故，
则将三棱锥分成上下两部分的体积比为．
21．（1）；
（2）.
（1）因为，所以，
两式相减，得，即，
因此，又，所以.
由及可得，
所以，数列是首项为2，公差为2的等差数列，
故，即.
（2）由（1）知， ，
所以，数列的前项和
因为，
将上式两边对求导，得，
令得，又，
故.
22．(1)
(2)在上单调递减，在上单调递增.
(3)
（1），，，切点为，
，
切线方程为：，化简得，，
切线与两坐标轴的交点为：和，
故可设切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
（2）时，，，
易得在定义域上单调递增，且，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增.
（3）等价于，
设函数，
则.
①若，即，则当时，.
所以，在单调递增，而，故当时，，不合题意.
②若，即，则当时，；
当时，.
所以，在和上单调递减，在单调递增，由于，所以，当且仅当，即，
所以当时，.
③若，即，则.由于，
故由②可得，故当时，.
综上，的取值范围是