江西省宁冈县中2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（Word版含答案）

宁冈县中2022-2023学年高一下学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
3．已知复数，则的共轭复数的虚部为
A． B． C． D．
4．一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A． B． C． D．
5．在正方形中，为边上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则A为（ ）
A．或 B． C．或 D．
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则的最小值为（ ）
A．－1 B． C．3 D．
8．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的是（ ）
A．圆台的高为4 B．圆台的母线长为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
10．复数满足，且，则下列正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题中真命题的是（ ）
A．的否定是“”；
B．“”的充要条件是“”；
C．函数的图象的对称中心是；
D．在锐角中，“”是“”的充要条件.
12．已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数
C． D．在上是增函数
三、填空题（共20分）
13．中，，，则的值为___________
14．在中，，，D为边上的点，且，，则________.
15．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则______．
16．在中，角、、所对的边分别为、、，若为锐角三角形，且满足，则的取值范围是_______________.
四、解答题（共70分）
17．已知复数.
(1)求；
(2)若，且为纯虚数，求在复平面内对应的点的坐标.
18．在中，，A．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
19．已知，，，且.
（1）若，求的值；
（2）设，，若的最大值为，求实数的值.
20．已知函数，，且在上的最小值为0.
(1)求的最小正周期及单调递增区间；
(2)求的最大值以及取得最大值时x的取值集合.
21．为了响应国家改善民生、给老百姓创造更好的生活环境的号召，某地的南湖公园准备再建一个花坛，种植花卉以供老百姓观赏．花坛的设计图如图所示，与的长均为20米，，．
(1)如果，求的长；
(2)新建花坛的周长的最大值是多少？
22．已知函数为的零点，为图象的对称轴．
（1）若在内有且仅有6个零点，求；
（2）若在上单调，求的最大值．
1．B
∵，∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．C
A. 当时，满足，，而不一定平行，故错误；
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C. 由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；
故选：C
3．B
复数z，则的共轭复数的虚部为．
故选B．
4．A
，，，
即两个力的合力对物体所作的功等于.
故选：A.
5．A
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
故．
故选：A
6．C
由正弦定理可得，则有，
又，，，
则或.
故选：C.
7．C
因为A＝2B，,所以由正弦定理，得
，
因为A＝2B，所以，
所以 ，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
8．D
令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
9．BD
设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，
则共线，且，
连接，则分别平分，
故，
故，解得，
故圆台的高为,母线长为，圆台的表面积为，球的表面积，
故选：BD
10．BCD
解：由题意，设复数，（不同时为0），
因为，所以，即，
所以，所以，
所以，故选项A错误；，故选项B正确；
，故选项C正确；
，故选项D正确.
故选：BCD.
11．ACD
对于A：特称命题的否定形式为全称命题，所以“”的否定是“”；故A正确；
对于B：若“”可推出“”，但是，取符合“”的一组值不符合，故B错误；
对于C：由，得，函数的图象的对称中心是；故C正确；
对于D：在锐角中，，故D正确.
故选：ACD
12．AB
解：对A，由
令，得 ，
，
为奇函数，故A正确；
对B，令，得
是周期函数，故B正确；
对C，当时，符合题意，但是，故C错误；
对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.
故选：AB.
13．
在中，利用余弦定理可得
，
解得，
.
故答案为：
14．
如图，
∵，，，
在△ABD中，余弦定理，
∵
∴．
由正弦定理：，
可得：,
故答案为：．
15．
在中，因为，，
所以由正弦定理得：,
解得，
所以 ，
故答案为：
16．
由于，所以由正弦定理得，,，由和差化积公式可得，代入上式得，即，，所以在锐角三角形中， ，即，而，所以，所以..
故答案为：
17．(1)
(2)（-16，-8）
(1)
因为，所以，故
(2)
因为为纯虚数，所以m=1，所以，所以z2在复平面内对应的点的坐标为（-16，-8）.
18．（1）（2）
（1）由，，则，
所以．
（2）由，则为锐角，
又，所以，
所以
．
19．(1)0 (2)
（1）通过可以算出，
即
故答案为0.
（2），设，，，
即的最大值为；
①当时，（满足条件）；
②当时，
（舍）；
③当时，（舍）
故答案为
20．(1)最小正周期为，
(2)3，
（1）的最小正周期为.
令，，
解得，.
所以的单调递增区间为.
（2）当时，.
，
解得.
所以.
当，，即，时，取得最大值，且最大值为3.
故的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
21．(1)米
(2)米．
（1）连接，因为，，
所以是等边三角形，所以米，而，
在中，，，
所以由正弦定理得
即，所以米．
（2）在中，设，由正弦定理得，
即，所以米，
同理，则米，
所以
，
因为，所以当时，取得最大值，
又与的长均为20米，
所以花坛周长的最大值为米．
22．（1）；（2）.
（1）因为是的零点，为图象的对称轴，
所以，所以，
因为在内有且仅有个零点，
分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，
所以，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，代入，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以；
（2）因为在上单调，所以，即，所以，
又由（1）可知，所以，
所以，
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然不单调
所以在上不单调，不符合；
当时，，所以，
所以，所以此时，
因为，所以，
又因为在时显然单调递减，
所以在上单调递减，符合；
综上可知，的最大值为.