河南省顶尖名校联盟2022-2023学年高二下学期5月期中联考数学试题（Word版含答案）

河南省顶尖名校联盟2022-2023学年高二下学期5月期中联考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.本卷主要考查内容：高考范围。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题 的否定为
2. 已知复数z 满足:2z-z=3+i,则|z|=
C.
3. 集合 则M∩S中的元素个数为
A.5 B.4 C.3 D.2
4. 若tanα=2,则 的值为
A.2 B. c. D.
5. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时， 则关于x的不等式f(x)>0 的解集为
A.( -∞,-4) ∪ ( -1 ,0) ∪(0,1)∪(4,+∞) 1
B.( -∞,-4) ∪( -1,0) ∪(1,4)
C.( -4,-1) U( 1,4)
D.( -4,-1) ∪(0,1) ∪(4,+∞)
6. 已知在过去的六年中，某市燃油私家车保有量y (万辆)与新能源私家车保有量y (万辆)随着年数x(x=1,2,3,4,5,6)变化的线性回归方程分别为 则从今年开始，预计新能源私家车保有量超过燃油私家车保有量需要经历的年数约为
A.1 1 B.12 C.17 D.18
7. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为 ,若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围为
C.( -∞,1]
8. 如图所示，将一个矩形纸片ABCD切去四个角处的阴影部分，其中四个阴影部分为相互全等的直角梯形，且此直角梯形较长的底边长为 是直角梯形的一个内角.将剩下的部分沿着虚线折起，恰好拼接成一个无盖直四棱柱PQEH-NMFG，且直四棱柱的底面PQEH 为等腰梯形.已知 则此直四棱柱的体积为
A.36 B.40
C.28 D.32
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据:4,1,6,4,6,6,8,下列说法中正确的是
A.这组数据的极差为7 B.这组数据的众数为4
C.这组数据的平均数为5 D.这组数据的中位数为6
10. 如图,在正方体ABCD-A B C D 中,E为A D 的中点,F为C D 的中点，则下列说法中正确的是
A. EF∥AC
B.直线EF 与平面BCC B 所成的角为45°
C.异面直线EF 和AD 所成的角为45°
D. BD ⊥EF
11. 已知点P是焦点为F的抛物线 C:y =2px( p>0) 上的动点，抛物线C的准线l的方程为x=-1.则
A. p=2
B.过点P作准线l的垂线，垂足为H，直线PF与准线l相交于点D，若△PHD为等腰直角三角形，点P位于第一象限，直线PF的倾斜角为锐角，则点P的横坐标为8
C.直线PF与抛物线C交于另一点E，若|PF|=2|EF|，则点P与点E的横坐标之差为
D.过点P作圆M:(x-4) +y =3 的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB 的最大值为-
12. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<6),下列结论中正确的是
A.若ω=3,则函数f(x)的最小正周期为π/3
B.若 则函数f(x)为偶函数
C.若 函数f(x)在区间 上单调递增，则ω的取值范围为 (0, )
D.若存在x ∈R,使得 则ω的值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量, 满足||=1,=(1,2),且·=2,则|+|= .
的展开式中,的系数为 .
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线左、右焦点为F ,F ,点B(0,b),直线F B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若|F A|=|F F |，则双曲线的离心率为 .
16. 已知函数其中e是自然对数的底数，经研究：“在平面直角坐标系中，x轴是函数的图象的渐近线”.若方程=0有六个互不相等的实数解,则c的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. (本小题满分10分)
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为 a,b,c,
(1)证明:2a=b+c;
(2)若求△ABC的面积.
18. (本小题满分12分)
如图,在长方体ABCD-A B C D 中,AB=AA =2,E 是BC 的中点,且DE⊥A C.
(1)求AD 的长;
(2)求直线A C与平面A DE 所成角的正弦值.
19. (本小题满分12分)
已知等差数列{}的前n项和为S。,等差数列{}的公差为1,且=.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列 的前n项和.
20. (本小题满分12分)
有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球.从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.
(1)一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
(2)二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X 的分布列与数学期望.
21. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C 的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP 与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD 相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.
22. (本小题满分12分)
设函数 其中e是自然对数的底数,e≈2.718 28….
(1)若a=1,求的最小值;
(2)若a∈(0,4e),证明:恒成立.
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高二数学参考答案、提示及评分细则
1. A 原命题的否定为‘
2. B 设z=a+bi,则
3. D 集合S的元素中，满足除以4余1的整数有5，9两个.
4.
5. D 当x>0时, 即 x -5x+4>0,解得x∈(0,1)∪(4,+∞),当x<0时, 即 x +5x+4> 0, 解得x∈( -4,-1),又,所以的解集为(-4,-1)∪(0,1)∪(4,+∞).
6. B 令3.5x+4>2.2x+27,解得x>17.7,又x∈N°,所以x≥18,所以x-6≥12.
7. A 设该点的坐标为(m,n),有 可得直线y=kx+1上存在点到(2，0)的距离小于等于2，有 解得
8. C 由图可知,, 所以,梯形PQEH的高,所以其面积 直四棱柱PQEH-NMFG的高HG=8-2asinθ=4,则V=4×7=28.
9. ACD 这组数据的极差为8-1=7,故选项A正确;
这组数据的众数为6，故选项B不正确；
这组数据的平均数为 故选项C正确；
这组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，6，6，6，8，可得这组数据的中位数为6，故选项D正确.
10. ABD 对于A选项,由EF∥A C ,AC∥A C ,可得EF∥AC,可得A选项正确;
对于B选项,由平面ADD A ∥平面BCC B ,D F⊥平面ADD A ,∠FED =45°,i 可得B选项正确；
对于C选项,由EF∥A C ,AD ∥BC ,△A C B是等边三角形,可得C选项错误;
对于D选项,由EF∥AC,AC⊥平面BDD ,可知D选项正确.
11. ACD 对于A选项,由 可得p=2，故A选项正确；
对于B选项，由△PHD为等腰直角三角形，可得∠DPH=45°，可知直线PF的斜率为1，直线PF的方程为y=x-1,联立方程 解得 故B选项错误；对于C选项,设点P的坐标为(x ,y ),点E的坐标为(x ,y ),直线PF 的方程为my=x-1,联立方程 有 y -4my-4=0, 可得y y =-4,有 又由|PF|=2|EF|,有x +1 =2( x + 1 ) ,可得 x =2x + 1 , 联立方程 解得 可得 故C选项正确;对于D选项,设P(x ,y ), 则 12,即|PM|的最小值为2 ,设∠APB=θ,则 即 所以 故D选项正确.
12. BCD 对于A选项,若ω=3.则 故A选项不正确；
对于B选项，若 可知函数f(x)为偶函数，故B选项正确；
对于C选项，若 令 可得 令 可得 若f(x)在区间
上单调递增，有 得 故C选项正确；
对于D选项，因为0<ω<6，所以最小正周期 所以 所以 解得ω=2，故D选项正确.
易知 则
14.21 由 可得x 的系数为
直线F B的方程为 易得直线F B与渐近线 的交点坐标为 因为 | F A| =| F F | , 所以 整理得 2c -4ac+a =0,易解得离心率
令 解得x=0或x=2,
列表可知,g(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,
且g(0)=0,g(2)=4,
设g(x)=t,则f(t)=0,设f(t)=0的两根为t ,t ,作图可知t ,t ∈(0,4),且t ≠t ,
导
17.解:(1)证法一:
由余弦定理可得 2分
则 2bc+b +c -a =4ac-(a +c -b ),2bc+b +c -a = 4ac-a -c +b ,
2bc+2c =4ac,∴2a=b+c………………………………………………………………………………………………6分
证法二： 由正弦定理得 2分
∴2sinA-sin AcosB=sinB+sin BcosA,
可得2sinA=sinB+sin Acos B+sin Bcos A=sinB+sin(A+B)=sin B+sin C,
所以由正弦定理可得2a=b+C…………………………………………………………………………………………6分
(2)由余弦定理可得
…………………………………………………………7分
…………………………………………………………………………………8分
A 为三角形内角，
…………………………………………………………………10分
18.解:(1)连接AC,
在长方体ABCD-A B C D 中,AA ⊥平面ABCD,
又DE 平面ABCD,所以AA ⊥DE,
又A C⊥DE,AA ∩A C=A ,AA ,A C 平面AA C,……………………………………………………………2分
所以DE⊥平面AA C,又AC 平面AA C,所以DE⊥AC,所以 4分
又AB=CD=2,BC=2CE,解得 即 ………………………………………………6分
(2)以D为坐标原点，以 为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 D ( 0 ,0 ,0 ) ,A ( 2 ,0,2) ,C( 0 ,2,0 ) ,E( ,2,0) ,
所以 8分
设平面A DE的法向量为m=(x,y,z),则
取 则 y=-1,z=-2,则 10分
设直线A C与平面A DE所成角为θ，
则 12分
19.解:(1)由 1分
可得 2分
当n≥2时, =Sn-Sn- =b -b - =( b +b - ) ( b -b - )=b +b - =n+b -1+n-1+b -1=2n+ 2b -3,……………………4分
由 符合 有 解得 b =1, 5分
故数列{an}的通项公式为
由 可得 ，又由 b =1,故 不合题意，数列{bn}的通项公式为 ……………6分
(2)由(1)可知, 所以 ………………………………9分
12分
20.解：(1)一次交换，红球换红球，白球换白球，可得2袋中红白球个数不变的概率为 ………2分
(2)X=0,1,2,3,4,……………………………………………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………4分
……………6分
……………8分
………………………………………………………………9分
故 ……………………………………………………………10分
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P / / / / /
………………………………………………………………………………………………………………11分
故 12分
21.解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由题意有 ……………………………………………………2分
解得 a=2,b= 1 ,c= 3分
故椭圆C的标准方程为 ………………………………………………………………4分
(2)证明:由(1)知,点A的坐标为(-2,0),点B 的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,-1)
设点P 的坐标为(m,n)(其中,m∈(-2,0)∪(0,2)),有 可得 m +4n =4 5分
直线BD的方程为 整理为
直线AD的方程为 整理为 6分
直线AP 的方程为
联立方程 解得： 故点M的横坐标为 ……………………8分
直线BP的方程为
联立方程 解得 故点N的横坐标为 ……………………10分
又由
故点M和点N 的横坐标相等,可得直线MN与x轴垂直.……………………………………………………12分
22.解:(1)当a=1时, 则
令 ……………………………………………………1分
所以φ(x)单调递增,又φ(0)=0,………………………………………………………………………………………………2分
列表可知,f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,………………………………………………3分
所以 …………………………………………………………………………4分
(2)设 5分
若 则 ……………………………………………………………6分
若 则 …………………………………………………9分
设
则 所以h'(x)单调递增,又h'(1)=0, 10分
列表可知,h(x)在 上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以 所以f(x)>0,
综上,f(x)>0恒成立……………………………………………………………………………………………12分
另解：
令 有 可得函数g(x)单调递增, 5分
又由
故存在 使得g(x )=0,
可得函数的减区间为，增区间为.且 可得 由 ………………………………………………………………8分
令 有 可得函数为增函数，
又由,可得-1 ……………………………………………………………………10分
又由
故当时, …………………………………………………………………………………………………12分