广东省韶关市新丰县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

新丰县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一 单选题：共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量且，则实数（ ）
A.-3 B. C. D.3
4.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛 马，乙同学喜欢牛 狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ）
A.90种 B.80种 C.60种 D.50种
5.在的展开式中，含项的系数为（ ）
A.60 B.-60 C.12 D.-12
6.已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球 2个白球 5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A. B.5 C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某学校为了促进学生德 智 体 美 劳全面发展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲乙两个班级在某次活动中的德 智 体 美 劳的评价得分如下表（得分越高 说明该项教育越好），下列说法正确的是（ ）
德 智 体 美 劳
甲班 9.5 9.5 9 9.5 8
乙班 9.5 9 9.5 9 8.5
A.甲班五项得分的极差为1.5
B.甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C.甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数
D.甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
10.设公比为的等比数列，若，则（ ）
A. B.当时，
C.和的等比中项为4 D.
11.健康身体在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步 爬山 打羽毛球和跳绳.（ ）
A.若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法
B.若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法
C.若周一不练习瑜伽，周三安排爬山.则共有36种不同的安排方法
D.若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法
12.设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列说法一定正确的是（ ）
A.是偶函数 B.不是奇函数
C.函数有10个不同的零点 D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若复数满足（是虚数单位），则__________.
14.函数在点处的切线方程为__________.
15.如图，已知斜四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，则线段的长为__________.
16.设函数，已知在上有且仅有2023个极值点，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤；请把解答过程写在答题卡对应的答题区内，不能超出规定的答题区域.
17.（本题满分10分）
已知各项都为正数的数列的前项和为，且，__________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列前项和为，证明：.
请在下面三个条件中任选一个补充在上面题干中，再解答问题.
①成等比数列；②成等差数列；③
18.（本题满分12分）
在中，三个内角的对边分别为，且；
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
19.（本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为侧棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20.（本题满分12分）
已知数列的首项为，且满足；
（1）求证是等比数列，并求数列的通项；
（2）记数列的前项和为，求.
21.（本题满分12分）
已知函数，其中为自然对数的底
（1）若，求的极值；
（2）若，都有成立，求的取值范围.
22.（本题满分12分）
已知椭圆过点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，求的值.
参考答案
1.B（测试8第1题改）
2.C（测试7第2题）.
3.D
【详解】解：由，得，
因为，所以，所以，所以.
4.B（作业6.1.1第10题）
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法：
②若甲选择马，此时乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有种不同的选法：
则共有种选法.
5.A
【详解】展开式的通项为，
则含的项为，故含项的系数为60.
6.D
【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件，“第二次拿到白球”为事件，可得：，则所求事件的概率为：，
7.C
详解：圆圆心，半径.
由题意可知，点到圆的切线长最小时，直线.
圆心到直线的距离切线长的最小值为.
8.A（周三测试9第10题改）.
【详解】因为，易知三角形为等腰直角三角形，
又平面，所以为三棱锥的高，
则可将三棱锥放入长方体内，如图，
长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，
又，
解得，
所以
所以三棱锥的体积，
9.AC
【详解】甲班的极差为，故正确；
甲班的平均数，乙班的平均数，故错误；
甲班的成绩从低到高：，中位数为9.5，
乙班的成绩从低到高排列：，中位数9，故正确；
甲班的成绩的方差为，
乙班的成绩的方差为，
10.AB
【分析】对于根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于结合基本不等式即可判断.
【详解】由题意，，即，故正确；
当时，，所以，故正确；
因为，所以和的等比中项为4或-4，故错误；
当时，，故不正确.
11.BCD
【详解】对于，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有种不同的安排方法，故不正确；
对于，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为，故正确
对于，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有种不同的安排方法，故正确；
对于，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法，故正确.
12.AC
【详解】，且关于直线对称；
又，且关于中心对称；
，则是周期为8的周期函数；
对于，令，则为偶函数，正确；
对于，令，则
为奇函数，不正确；对于，作出和的图象如下图所示，
当时，，又，由图象可知：与共有10个不同的交点，
则有10个不同的零点，正确；对于，
错误.
13.
【详解】，故.
14.
【详解】由题意，函数，可得，则，
即切线的斜率为，又，
所以函数在点处的切线方程为，即.
15.
【详解】设，则，
底面是边长为1的正方形，且，
则有，
则，所以
16.
【详解】
当时，，令，则，
作出函数的图象如图所示：
由于函数在上有且仅有2023个极值点，
则，解得.
17.（晩练9第1题）
解：选①，（1）由得：，
数列是以为首项，2为公差的等差数列.
由成等比数列可得，
即，解得.
.
选②，（1）由，得，
数列是以为首项，2为公差的等差数列.
由成等差数列，
得，即，
解得，
.
选③，（1）由，得，
数列是以为首项，2为公差的等差数列，
由得，即
解得，
.
（2）由（1）得，
数列前项和为
故
18.（来源作业6.1.1第11题）
解：在中，设正弦定理，
则
，
即
由余弦定理可得：
.
（2）
由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立
的周长的最大值为..
19.（来源晩练8第2题改）
【详解】（1）解：因为是等腰直角三角形，且，则，
因为在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，，
因为平面，故平面.
（2）解：因为平面，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则
，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
，则
因此，二面角的正弦值为.
20.【详解】（1）由题意，数列满足，即，
则，
又由，可得，
所以数列表示首项为-1，公比为-1的等比数列.
所以，所以，
（2）由（1）知：
设，记数列的前项和为；设，记数列的前项和为；
则
（1）
（2）
（1）（2）得：
所以
21.【详解】（1）时，，令，解得，
当变化时，的变化如下表：
0
- +
递减 极小值 递增
时，函数取得极小值，；无极大值；
（2），
①当时，，
所以，当时，，当时，，
则在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以在区间上的最小值为，且，符合题意；
②当时，令，得或，
所以，当时，，在区间上为增函数，
所以在区间上的最小值为，且，符合题意；
当时，，
当时，在区间上是减函数，
所以，不满足对任意的恒成立，
综上，的取值范围是.
22.【详解】（1）因为椭圆过点为，
所以有；
（2）依题意过点的直线为，设，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
于是有，即.
【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系，得到是解题的关键.