辽宁省2022-2023（下）六校协作体高二期中考试
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.22 B.33 C.44 D.66
2.的展开式中的系数为（ ）
A.-32 B.32 C.8 D.-8
3.世界数学三大猜想：“费马猜想” “四色猜想” “哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2"由我国数学家陈景润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ）
附：若，则.
A.8400 B.8185 C.9974 D.9987
5.的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.由组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）个
A.360 B.192 C.312 D.240
7.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率为，即非患者中有的人诊断为阳性，患者中有的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）
A.0.46 B.0.046 C.0.68 D.0.068
8.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，有错选得零分，部分选对得2分）
9.下列说法中，正确的有（ ）
A.已知，则数列是递增数列
B.数列的通项，若为单调递增数列，则
C.已知正项等比数列，则有
D.已知等差数列的前项和为，则
10.下列命题正确的是（ ）
A.若甲 乙两组数据的相关系数分别为0.66和-0.85，则乙组数据的线性相关性更强
B.已知样本数据的方差为4，则，的标准差是36
C.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是
D.在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得，则有的把握认为和有关
附：
0.050 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
11.下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知数列为等比数列，，则__________.
14.某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________.
15.数列的前项和为，则数列的通项公式为__________.
16.函数（e为自然常数），方程恰有1个不等实根，则取值范围是__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
某校从学生会宣传部6名成员（其中女生4人，男生2人）中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.
（1）选拔前6个人站成一排拍照，其中2个男生不能相邻，共有多少种不同的站法
（2）设所选3人中女生人数为，求的概率分布及数学期望.
18.（本题满分12分）
已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且成等差数列.数列满足
（1）求数列的通项公式
（2）求数列的前项和
19.（本题满分12分）
已知函数
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）当时，求函数的最大值.
20.（本题满分12分）
第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛.已知社区甲 乙 丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.
（1）求这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率
（2）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元.
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.
21.（本题满分12分）
已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为是公比大于0的等比数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
22.（本题满分12分）
已知函数
（1）求在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.高二数学期中考试题参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D B C D D C
二、多选题
9 10 11 12
AD AC AD AC
三、填空题
13 14 15 16
4 1 1，n=1 3
a = (0,1)∪( ,+∞)
3 n (2n+1)2
n-2，n≥2 e
四、解答题
17. 4解：(1)先 4 个女生站成一排有A4种站法，这 4 个女生之间和女生的两边共有 5个“空
2
档”，在这 5 个“空档”中选取 2个排男生，共有A5种，所以 6个人站成一排拍照，其中 2
4 2
个男生不能相邻，共有A4A5=480 种不同的站法. 5 分
(2) ξ的所有可能取值为 1,2，3 依题意得
C1 2 2 1 3
ξ 4
C2 1 C4C2 3 C4 1
P( ＝1)＝ ＝ ，P(ξ＝2)＝ ＝ ，P(ξ＝3)＝ ＝ . 8 分
C3 5 3 5 3 56 C6 C6
∴ξ的分布列为:
ξ 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
9 分
Eξ=3 4=2 10 分
6
2
a1(1+q+q )=7 1 n 1
18.解：(1)根据题意得 2 ,解得 q=2 或 q= (舍)，a1=1，故 a =2
n 3 分6a1q=a1+a1q +7 2
2，n=1
b1=a2=2,b2=a3=4，当 n≥2 时，bn=3n–2, bn= 3n 2，n≥2 6 分
2，n=1
(2) a b = n 1n n (3n 2)2 ，n≥2 7 分
T =2+4 n 2+7 22+……+(3n–2) n 12 ①
2Tn= 4+4 22+……+(3n–5)2n 1+(3n–2)2n ②
由①–②得：–T =6+3(22+……+2n 1)–(3n–2)2nn
22(1– n 22 )
=6+3 –(3n–2) n2
1–2
=–6–(3n–5)2n
Tn=6+(3n–5) n2 12 分
19. 2 2 2解：（1）由题意可知 f (x)=3x +2ax–a ，f (–2)=12–4a–a =0
解得 a=2 或 a=–6(舍)，经检验 a=2，符合题意．所以 a=2． 2 分
a
（2）由（1）知 f (x)=(3x–a)(x+a)，令 f (x)=0，得 x=–a 或 x= ，
3
当 1
–2, <1, f(x)和 f (x)随 x 的变化情况如下表：
3
– a a ax －2 (–2, –a) –a ( a, ) ( ,1) 1
3 3 3
f (x) + 0 – 0 +
2 5
f(x) 2a +4a– 3 3 27 单调递增 a +1 单调递减 1– a 单调递增 2+a–a
27
因为 a3+1>2+a–a2，由上可知，所以 f(x)的最大值为 f(–a)= a3+1． 5 分
a
当 2≤a<3 时，–a≤–2, <1, f(x)和 f (x)随 x 的变化情况如下表：
3
– a a ax －2 ( 2, ) ( ,1) 1
3 3 3
f (x) – 0 +
2 2
f(x) 2a +4a–7 单调递减 单调递增 2+a–a
2
2a +4a– 2 27>2+a–a ，由上可知，所以 f(x)的最大值为 f(–2)=2a +4a–7． 8 分
a
当 a≥3 时，–a≤–2, ≥1, f (x)≤0 ,f(x)在[–2,1]上单调递减
3
2
所以 f(x)的最大值为 f(–2)=2a +4a–7． 11 分
综上所述，当 1当 a≥ 22 时，f(x)的最大值为 f(–2)=2a +4a–7 12 分
20. 解：（1 1 1 1 1 1 1）甲参加市知识竞赛的概率为 = ，乙参加市知识竞赛的概率为 =
2 3 6 3 3 9
1 1 1
丙参加市知识竞赛的概率为 =
2 3 6
1 1 31
所以，这 3人中至少有 1人参加市知识竞赛的概率为 1–(1– )2(1– )= 5分
6 9 81
1
（2）方案一：设三人中奖人数为 X，所获奖金总额为 Y元，则 Y=600X，且 X～B(3, )
3
所以 E(Y)=600E(X)=600 3 1=600元 8分
3
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为 Z元，则 Z的所有可能取值为 300、600、900、
1200
则 P(Z=300)= (1–1)2 (1–1)=1 , P(Z=600)=2 1(1–1) (1–1)+(1–1)2 1= 5
2 3 6 2 2 3 2 3 12
P(Z=900)= (1)2 (1–1)+2(1–1) 1 1=1 , P(Z=1200)= (1)2 1= 1
2 3 2 2 3 3 2 3 12
所以 E(Z)=300 1+600 5 +900 1+1200 1 =700元 11分
6 12 3 12
所以 E(Y)12分
21. 解：(1)根据题意得，3a2=15, a2=5, an=a2+2(n–2)=2n+1 3 分
b1=3, b3–b2=b q21 –b1q=18,解得 q=3 或 q=–2(舍)，bn=3n 6 分
n+1 n+1 1 1 1
(2) cn= = = [ – ] 8 分
anan–1bn+1 (2n–1)(2n+1)3n+1 4 (2n–1)3n (2n+1)3n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tn= [ – + – +……+ – ]= [ – ] 12 分
4 3 33 33 5 33 (2n–1)3
n (2n+1)3n+1 4 3 (2n+1)3n+1
22. 解:（1）f (x)=ex +cosx–sinx， f (0)=2， f(0)=0，
f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=2x 3分
（2）由已知 ex sin x cos x 2 ax 0在区间 0, 上恒成立．
g x ex设 sin x cos x 2 ax，则 g x 0在区间 0, 上恒成立，
而 g x ex cos x sin x a ，
m x ex cos x sin x a，则m x ex sin x cos x．
设 h x ex x 1，则 h x ex 1，当 x 0时， h x 0，
所以函数 h x 在区间 0, 上单调递增，故在区间 0, 上， h x h 0 0，
即在区间 0, 上 ex x 1，
设函数 p x x sin x, x 0, ，则 p x 1 cos 0，
所以函数 p x 在区间 0, 上单调递增， 6分
故在区间 0, 上 p x p 0 0，即在区间 0, 上， x sin x ，
所以在区间 0, 上， ex x 1 sin x cos x，即m x ex sin x cos x 0，
所以在区间 0, 上函数 g x 单调递增．
当 a 2时， g 0 2 a 0，故在区间 0, 上函数 g x 0，
所以函数 g x 在区间 0, 上单调递增．
又 g 0 0，故 g x 0，即函数 f x ax sin x在区间 0, 上恒成立． 8分
当 a 2时， g 0 2 a 0，
g ln a 2 a 2 cos ln a 2 sin ln a 2 a 2 2 sin
ln a
π
2 0，
4
故在区间 0, ln a 2 上函数 g x 存在零点 x0，即 g x0 0，
又在区间 0, 上函数 g x 单调递增，
故在区间 0, x0 上函数 g x g x0 0，所以在区间 0, x0 上函数 g x 单调递减，
又 g 0 0，所以在区间 0, x0 上函数 g x g(0) 0，与题设矛盾． 11分
综上，a 的取值范围为 , 2 . 12分