数学·必修5(苏教版)
3．1 不等关系
情景导入：
生活中“为什么糖水加糖会更甜呢？”转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖?a＞b＞0?，若再加m?m＞0?克糖，则糖水更甜了，为什么？如何用不等式表示上面的不等关系？
?基础巩固
一、选择题
1．如下图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述不等关系正确的是( )
A．a＞4b B．(a＋4)(b＋4)＝200
C. D.
解析：本题易错选A，原因是忽略了总面积的限制．
答案：C
2．(2013·上海卷)已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )
A.＜ B．ab＞b2
C.＞ D.＜1
解析：由?a×b＞b×b，即ab＞b2.
答案：B
3．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是( )
A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．不能确定
解析：∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8＝－7＜0，∴x＜y.
答案：B
4．(2013·陕西卷)设[x]表示不超过x的最大整数，则对任意实数x，y有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]＝[x]＋[y] D．[x－y]≤[x][y]
解析：可取特殊值检验排除，如[－1.5]＝－2，
－[1.5]＝－1，∴A不正确，再如[2×1.6]＝3，
2[1.6]＝2，∴B不正确，[1.5＋1.6]＝3，
而[1.5]＋[1.6]＝2，∴C也不正确．故答案D.
答案：D
5．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0
解析：利用赋值法筛选，令a＝1，b＝0可立即排除A，B，C，故答案为D.
答案：D
二、填空题
6．某小区的绿化面积B不小于该小区占地面积A的16%，写成不等式就是：________.
解析：“不小于”就是“≥”．故B≥16%·A.
答案：B≥16%·A
7．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量P应不少于2.3%，写出不等式组表示上述关系：________.
解析：“不少于”为大于或等于，不要漏掉“＝”．
答案：
8．若a＞b，且a，b同号，则________(填“＞”或“＜”)．
解析：∵a，b同号，∴ab＞0，将a＞b的两边同乘以立得＜.
答案：＜
三、解答题
9．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y盒．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，用不等式表示上述关系．
解析：依题意可得
10．某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重2.5 t，运费360元，据此，安排两种车型，应满足哪些不等关系？请列出来．
解析：设租用大卡车x辆，农用车y辆，依题意得
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一、选择题
11．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝2，则下列不等式恒成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
解析：∵x＋y＋z＝2＞0，∴x必为正数，由?xy＞xz.
答案：C
12．设实数a，b，c，d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则( )
A．ad＝bc B．ad＜bc
C．ad＞bc D．ad≤bc
解析：∵|a－d|＜|b－c|?(a－d)2＜(b－c)2?(a＋d)2－4ad＜(b＋c)2－4bc，又∵a＋d＝b＋c，∴－4ad＜－4bc，即ad＞bc.
答案：C
13．若a2＜b2，则下列不等式成立的是( )
A．a＜b B.＞
C．|a|＜|b| D．a3＜b3
解析：∵a2＜b2?|a|＜|b|.
答案：C
二、填空题
14．△ABC的三边长分别为a，b,1，则a，b满足的不等关系是________．
解析：由三角形两边之和大于第三边得
答案：
15．已知x＞1，则x3________x2－x＋1(填“＞”或“＜”)．
解析：x3－(x2－x＋1)＝(x3－x2)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)＞0，∴x3＞x2－x＋1.
答案：＞
三、解答题
16．某家具工厂制造桌椅，先由木工成型，再由漆工油漆．木工组做一张桌子要3小时，做一把椅子要2小时；漆工组油漆一张桌子要2小时，油漆一把椅子要1小时．木工组日夜3班，最多工作24小时；漆工组日夜2班，最多工作14小时．如果一张桌子获利30元，一把椅子获利18元，请用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示出来．
解析：设平均每天应生产x张桌子、y把椅子，则
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3．2 一元二次不等式
情景导入：
某项体育活动中，甲小组有n人?n＞5?，游戏规则是每人在规定时间内从A地跑到B地可得?n－4?分，经测试甲小组至多有5人不能在比赛时完成这个任务，甲小组在比赛中得分要多于56分，问至少应有多少人参赛？,你能解决这个问题吗？学完一元二次不等式后你将很容易地解决这类问题.
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一、选择题
1．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞)
解析：∵2x2－x－1＞0?(2x＋1)(x－1)＞0?x＜－或x＞1.
答案：D
2．下列命题中正确的是( )
A．不等式x2＞1的解集是{x|x＞±1}
B．不等式－4＋4x－4x2≤0的解集是R
C．不等式－4＋4x－x2≥0的解集是空集
D．不等式x2－2ax－a－＞0的解集是R
解析：结合三个二次的关系．
答案：B
3．不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
解析：≤0??－＜x≤1.
答案：A
4．不等式(x－1)(x－3)＞0的解集为( )
A．{x|x＜1} B．{x|x＞3}
C．{x|x＜1或x＞3} D．{x|1＜x＜3}
解析：结合图象求解．
答案：C
5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围是( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－1,2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：根据定义，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.
答案：B
二、填空题
6．(2013·广东卷)不等式x2＋x－2＜0的解集为________．
解析：由x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)＜0得－2＜x＜1.
答案：(－2,1)
7．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：x2－ax＋2a＞0恒成立?Δ＜0，即a2－4×2a＜0，解得0＜a＜8.
答案：(0,8)
8．不等式＞0的解集是________．
解析：原不等式可化为＞0，利用穿根法，易得－3＜x＜2或x＞3.
答案：(－3,2)∪(3，＋∞)
三、解答题
9．求函数y＝lg(x2－2x－3)＋的定义域．
解析：依题意可得
∴
∴不等式组的解是－2＜x＜－1或3＜x＜5，
∴函数的定义域为(－2，－1)∪(3,5)．
10．解不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解析：原不等式可化为：(ax－1)(x－1)＜0(a＞0)，
①当0＜a＜1时，原不等式的解集为
②当a＞1时，原不等式的解集为；
③当a＝1时，原不等式的解集为?.
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一、选择题
11．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(10x)＞0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞lg 2} B．{x|－1＜x＜lg 2}
C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}
解析：由题意得－1＜10x＜?x＜lg ＝－lg 2.
答案：D
12．(2013·云南玉溪一中月考)关于x的不等式≥0的解集为{x|－1≤x＜2或x≥3}，则P(a＋b，c)点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由解集的形式可知，c＝2，a，b中有一个是－1，另一个是3，∴a＋b＝－1＋3＝2，故P(2,2)．
答案：A
13．关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么m的取值范围是( )
A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：由题意知，
解得－3＜m＜0.
答案：A
二、填空题
14．关于x的不等式x2＋ax＋－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________.
解析：由x2＋ax＋－c＜0，得＜c，即－－＜x＜－，∴－＝6.解得c＝9.
答案：9
15．(2013·云南玉溪一中月考)对于满足0≤a≤4的实数a，使x2＋ax＞4x＋a－3恒成立的x的取值范围是________．
解析：原不等式等价于x2＋ax－4x－a＋3＞0，即(x－1)a＋x2－4x＋3＞0，令f(a)＝(x－1)a＋x2－4x＋3，则有??x＜－1或x＞3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
三、解答题
16．(2013·上海卷)甲厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100(5x＋1－)元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围．
解析：(1)根据题意200(5x＋1－)≥3 000?5x－14－≥0即5x2－14x－3≥0?3≤x≤10.
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应选取何种生产速度？并求最大利润．
解析：(2)设利润为y元，则y＝×100＝9×104，故x＝6时，ymax＝457 500元．
答：按6千克/小时的生产速度，可使利润最大，且最大利润为457 500元．
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3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式及不等式组表示的平面区域
情景导入：
营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物、0.06 kg的蛋白质、0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物、0.07 kg蛋白质、0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物、0.14 kg蛋白质、0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？
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一、选择题
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,2) D．(2,0)
解析：特殊点代入法验证．
答案：D
2．不等式2x－y－6＞0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方 B．右上方
C．左下方 D．右下方
解析：作直线2x－y－6＝0，将原点(0,0)代入检验．
答案：D
3．不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．(－∞，5)
B．[8，＋∞)
C．[5,8)
D．(－∞，5)∪[8，＋∞)
解析：画图分析可知5≤a＜8.
答案：C
4．下图中的平面区域(阴影部分包括边界)可用不等式组表示为( )
A．0≤x≤2 B.
C. D.
解析：将给出的不等式组与区域对比，可排除A、B、D.
答案：C
5．已知点(－3,1)和(0，－2)在直线x－y－a＝0的同一侧，则a的取值范围是( )
A．(－2,4)
B．(－4,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：分两种情况讨论，分x－y－a＞0，x－y－a＜0.
答案：D
二、填空题
6．点(1,3)和点(－4,2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．
解析：∵(1,3)和(－4,2)在2x＋y＋m＝0的两侧，∴(2×1＋3＋m)[2×(－4)＋2＋m]＜0，即(m＋5)(m－6)＜0，即－5＜m＜6.
答案：(－5,6)
7．若不等式2x＋y＋m＜3表示的平面区域包括点(0,0)和(1,1)，则m的取值范围是________．
解析：将(0,0)和(1,1)代入不等式得?m＜0.
答案：(－∞，0)
8．不等式组表示的平面区域的面积是________．
解析：
由图可知，区域为△ABC，
∴S＝×4×2＝4.
答案：4
三、解答题
9．求由约束条件确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C阴影部分．
解析：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，如下图，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0，5)，P(1,4)．过点P作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝1，OC＝4，OB＝3，AP＝，PB＝＝2，
得S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8，
∴S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝，
C阴影部分＝OA＋AP＋PB＋OB＝8＋＋2.
10．某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包1千克分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克．现已知库存面粉为15千克、糖12千克、鸡蛋15千克，若在此基础上进行生产，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解析：设高档蛋糕和普通面包应各生产x千克和y千克，则x、y所满足的数学关系式为
?
分别画出不等式组中各不等式所表示的平面区域，然后取交集．下图所示的平面区域(阴影部分)就是不等式组所表示的区域．
?能力升级
一、选择题
11．不等式组表示的平面区域为( )
A．正三角形
B．等腰三角形
C．一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
解析：画出可行域，易得一个等腰三角形．
答案：B
12．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．矩形
解析：
不等式组即
或
前一个不等式组围成区域如右图所示，为一等腰梯形；后一个不等式组的解集为空集．
答案：C
13．设集合A＝{(x，y)|x，y,2－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
解析：由三角形任何两边之和大于第三边，得?故知围成的区域如选项A中的图所示．
答案：A
二、填空题
14．已知函数f(x)＝x2－4x＋3，集合M＝{(x，y)|f(x)＋f(y)≤0}，集合N＝{(x，y)|f(x)－f(y)≥0}，则集合M∩N的面积是________．
解析：f(x)＝x2－4x＋3，f(y)＝y2－4y＋3，
由f(x)＋f(y)≤0?x2＋y2－4x－4y＋6≤0
?(x－2)2＋(y－2)2≤2.
由f(x)－f(y)≥0?x2－4x－y2＋4y≥0
?(x－y)(x＋y－4)≥0.
集合M∩N所表示的图形为：
其面积是两个圆面积，而圆半径为，
∴面积为×π×()2＝π.
答案：π
15．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2，0)，则△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为________．
解析：将点(0,0)代入直线AB：2x－y＋4＝0，得4＞0，代入直线AC：2x＋y－4＝0，得－4＜0，故可知△ABC的内部位于x轴的上方，故
答案：
三、解答题
16．求不等式|x－2 013|＋|y＋2 014|≤2所表示的平面区域的面积．
解析：将|x|＋|y|≤2表示的区域向右平移2 013个单位，再向下平移2 014个单位，即得|x－2 013|＋|y＋2 014|≤2所表示的区域，因此|x|＋|y|≤2和|x－2 013|＋|y＋2 014|≤2表示的区域面积相等，而|x|＋|y|≤2表示的区域是一个边长为2的正方形，其面积为(2)2＝8.
数学·必修5(苏教版)
3．3.2 简单的线性规划问题
情景导入：
某家具厂有方木90 m3、五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木0.1 m3、五合板2 m2；生产一个书橱需要方木0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.怎样安排生产可使利润最大？
?基础巩固
一、选择题
1．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11 C．3 D．1
解析：画可行域分析易知当时zmax＝11.
答案：B
2．(2013·全国卷)已知 a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y轴上的截距，当z＝2x＋y经过点B时，z最小，由?代入y＝a(x－3)得a＝.
答案：B
3．(2013·山东卷)平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－ D．－
解析：作出可行域，由图象可知当M位于点A时，OM的斜率最小，
由?即A(3，－1)，此时OM的斜率为＝－.
答案：C
4．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：找准区域，对于直线y＝x－z，－z越小，z越大．
答案：B
5．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10个 B．9个 C．3个 D．无数个
解析：选择单位长度，找整数点．
答案：A
二、填空题
6．(2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
解析：封闭区域为三角形，令|x－1|＝2得x＝－1或x＝3，
∴三顶点坐标分别为(1,0)，(－1,2)，(3,2)，故2x－y在点(－1,2)处的值最小，为－4.
答案：－4
7．(2013·广东卷)给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
解析：
画出可行域，其中z＝x＋y取最小值的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，共5个．
故可确定5＋1＝6条不同直线．
答案：6
8．若x，y满足约束条件则x－y的取值范围是________．
解析：约束条件对应△ABC内部及边界区域，A(0,3)，B，C(1,1)，则x－y∈[－3,0]．
答案：[－3,0]
三、解答题
9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费多少元？
解析：设购买重量为每袋35千克的x袋，重量为每袋24千克的y袋，则所要花费的金额z＝140x＋120y，依题意，可得关于x、y的约束条件：
如图，当直线经过点时，目标函数z的值最小，又x，y∈N，寻找可行域上靠近边界的几个点．令x＝0，知y≥5，当x＝1，知y≥3，当x＝2，知y≥2，当x＝3，知y≥1，当x＝4，知y≥0，将靠近边界的几个点(0,5)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)分别代入目标函数，可知直线z＝140x＋120y过点(1,3)时，目标函数z有最小值500元．
10．某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m2，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m2，可做A、B的外壳分别为6个．两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？
解析：
设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳3x＋6y个，B种产品外壳5x＋6y个，由题意可得
所有的薄钢板的总面积是z＝2x＋3y.
可行域是如上图所示的阴影部分，其中l1：3x＋6y＝45；l2：5x＋6y＝55，l1与l2的交点为A(5,5)，因目标函数z＝2x＋3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5,5)处取得，此时z的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种板各5张，既能保证制造A、B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小．
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一、选择题
11．实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：如下图，画出满足不等式组的解
(x，y)构成的可行域△ABO，求得B(2,2)．因为根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值.故ω的取值范围是.
答案：A
12．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A. B．1 C. D．2
解析：如图，当直线x＝m经过y＝2x与x＋y－3＝0的交点时，函数y＝2x的图象上仅有一个点在可行域内，由方程组得x＝1，
∴m≤1.
答案：B
13．(2013·湖南卷)若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是( )
A．－ B．0 C. D.
解析：作出可行域如图，当直线z＝x＋2y经过 点C时，z最大，由得C，代入z＝x＋2y得z＝.
答案：C
二、填空题
14．已知则x2＋y2的最小值是________．
解析：由画出可行域，得交点A(1，2)，B(3,4)，如下图，根据表示可行域一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2＝5.
答案：5
15．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.
解析：∵4＝，∴|m－2|＝5，
∴m＝7或m＝－3.∵P(7,3)不满足2x＋y＜3，∴m＝－3.
答案：－3
三、解答题
16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，求应分别种植黄瓜和韭菜各多少亩？并求出最大利润．
解析：设种植黄瓜和韭菜的面积分别为x亩和y亩，则依题意得目标函数z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y，
作出可行域如图，
由图知，z＝x＋0.9y经过点A时，z最大，由?A(30,20)，
∴种植30亩黄瓜和20亩韭菜时，总利润最大，最大利润为48万元．
数学·必修5(苏教版)
3.4 基本不等式≤(a≥0，b≥0)
3．4.1 基本不等式的证明
情景导入：
如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？
?基础巩固
一、选择题
1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么＋的值是( )
A．大于2 B．小于－2或大于2
C．小于等于2 D．大于－2或小于2
解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2.
答案：B
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D．a＞＞＞b
解析：由a－＝＞0，－b＝(－)＞0，再结合基本不等式＞.
答案：B
3．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈R＋，∴＋≥2＝2；
②∵x，y∈R＋，∴lg x＋lg y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
④∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤
－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：①由于a，b∈R＋，∴，∈R＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；
②虽然x，y∈R＋，但当x∈(0,1)和y∈(0,1)时，lg x和lg y都是负数，∴②的推导过程是错误的；
③由a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2 ＝4是错误的．
④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
答案：D
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
解析：y＝＋＝×2＝(a＋b)＝≥＝.
答案：C
5．下列结论正确的是( )
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x＞0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
解析：当0＜x＜1时，lg x＋＜0，∴A错误；
当x＞0时，＋≥2＝2，∴B正确；
当x≥2时，x＋的最小值为，∴C错误．
当0＜x≤2时，x－是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．
答案：B
二、填空题
6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系是________．
解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤
A＝A，∴x≤.
答案：x≤
7．给出下列不等式：①a2＋1＞2a；②a2＋4≥4a；③≥2；④≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．
解析：当a＝1时，①不成立；当ab＜0时，④不成立．
答案：②③
8．(2013·天津卷)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．
解析：∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋≥＋1，显然当a＜0且b＝2|a|时，上式等号成立，此时b＝－2a与a＋b＝2联立即得a＝－2.
答案：－2
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：＋≥4.
解析：＋
＝＋＋＋
＝＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b且c＝d时取“＝”号，
∴＋≥4.
10．设x1，x2，…，xn都是正整数，求证：
＋＋…＋＋≥x1＋x2＋…＋xn.
解析：∵x1，x2，…，xn都是正整数．
∴由基本不等式得＋x2≥2x1，
＋x3≥2x2，
…
＋x1≥2xn.
将以上n个式子相加命题即得证．
?能力升级
一、选择题
11．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：∵a＞b＞0，a2＋＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋＝a2＋≥4(当且仅当a＝2b＝时取“＝”)，故.
答案：D
12．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A. B. C．5 D．6
解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝≥＝(13＋12)＝5.
答案：C
13．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2
C.＋＞ D.＋≥2
解析：令a＝b＝1可知A，C不成立；
令a＝b＝－1可知B不成立．
答案：D
二、填空题
14．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
解析：①项，∵a＞0，b＞0,2＝a＋b，a＋b≥2，∴≤1，即ab≤1；
②项，∵－＝≥0，
∴≤ ，
∴＋≤，故＋≤2；
③项，∵≥，∴a2＋b2≥.
又∵a＋b＝2，∴a2＋b2≥2；
④项，∵a3＋b3＝(a＋b)3－3a2b－3ab2＝8－3ab(a＋b)＝8－6ab≥8－6＝2(由①ab≤1)；
⑤项，＋≥≥2.
答案：①③⑤
15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：∵＝|x|＋≥2，当且仅当x＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a－1|≤2即－2≤2a－1≤2?－≤a≤.
答案：
三、解答题
16．(2013·全国卷)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ca≤.
(2)＋＋≥1.
解析：(1)由a＋b＋c＝1?(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1，
而a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)∵＋b≥2a，＋c≥2c，＋a≥2c，三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥(a＋b＋c)＝1.
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3．4.2 基本不等式的应用
情景导入：
在实际工作和生活中，有一类求最值的问题需要我们解决.如，某集团投资兴办甲、乙两个企业，1998年甲企业获得利润320万元，乙企业获得利润720万元，以后每年企业的利润：甲企业以上年利润的1.5倍的速率递增，而乙企业是上年利润的f(2,3)，预期目标为两企业年利润之和是1 600万元，从1998年年初起，问：哪一年两企业获利之和最小？,事实上：从1998年起，第n年获利为yn.,则：
这个函数的最小值问题将如何解决呢？学习了本节内容后，此问题就能比较简单地解决了.
?基础巩固
一、选择题
1．若x＞4，则函数y＝x＋( )
A．有最大值－6 B．有最小值6
C．有最大值2 D．没有最小值
解析：y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.当且仅当x－4＝时，即x＝5时取得最小值6。
答案：B
2．设a、b为实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值为( )
A．6 B．4 C．2 D．8
解析：2a＋2b≥2＝2＝4.
答案：B
3．已知x，y是正数，且xy＝4，则＋取得最小值时，x的值是( )
A．1 B．2 C．2 D.
解析：＋≥2≥2＝2，此时＝，即x＝y＝2.
答案：B
4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
解析：设甲地到乙地距离为s，则v＝＝，∵a＜b，∴＜?＞＝a，＜.
答案：A
5．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则( )
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
解析：∵a＞b＞1，∴lg a＞0，lg b＞0.
由基本不等式易得P＜Q，而Q＝lg ＜lg ＝R，故P＜Q＜R.
答案：B
二、填空题
6．(2013·山东青岛检测题)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是________．
解析：由x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2得2x＋3y＝2，即x＋3y＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y时取等号．
答案：4
7．已知x＞0，y＞0,3x＋4y＝5,2xy的最大值为________．
解析：2xy＝×3x×4y≤2＝×＝.
答案：
8．不等式y＝x(1－3x)的最大值是________．
解析：∵0＜x＜，∴1－3x＞0，∴x(1－3x)＝(3x)(1－3x)≤＝×＝.
答案：
三、解答题
9．已知x≥，求f(x)＝的最小值．
解析：∵x≥，∴x－2＞0，∴f(x)＝＝＝
(x－2)＋≥2.当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故当x＝3时，f(x)min＝2
10．过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程．
解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，则l的方程为＋＝1，又∵l过P点，∴＋＝1，三角形的面积S＝ab，
由＋＝1?ab＝b＋2a≥2?ab≥8，当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时，Smin＝4.
∴l的方程为＋＝1即2x＋y－4＝0.
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一、选择题
11．(2013·云南玉溪检测题)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)．若a⊥b，则9x＋3y的最小值为( )
A．2 B．12 C．6 D．3
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y≥2＝2＝6.当且仅当2x＝y＝1时取等号，∴最小值为6.
答案：C
12．已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是( )
A．a2＋b2＝M B．a，b∈R＋，且a＋b＝M
C．a＜0，b＜0，且a＋b＝M D．a·b＜0，a＋b＝M
解析：由ab≤及ab≤对任何实数a、b都成立，且a＝b时，等号成立，可知A、B、C三项均有最大值．但D项中不存在等号成立的条件，故D项没有最大值．
答案：D
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：(x＋y)＝1＋＋＋a≥1＋2＋a＝(1＋)2.由
(1＋)2＝9，解得a＝4.
答案：B
二、填空题
14．设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2＝1＋3xy，即(2x＋y)2＝1＋·2x·y≤1＋·，
解得(2x＋y)2≤，即－≤2x＋y≤.
答案：
15．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a的最大值为________．
解析：由a2＋＝1得2a2＋b2＝2，
a＝·a·≤·＝.
当且仅当a＝?b2＝，a2＝时取等号．
答案：
三、解答题
16．已知f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f的大小，并加以证明．
解析：[f(x1)＋f(x2)]≤f.下面给出证明：
∵f(x1)＋f(x2)＝lg x1＋lg x2＝lg(x1x2)，
f＝lg，而x1，x2∈R＋，x1x2≤，
∴lg(x1x2)≤lg，
∴lg(x1x2)≤lg，
即(lg x1＋lg x2)≤lg，
因此，[f(x1)＋f(x2)]≤f.
