题型1 应用正余弦定理解三角形
解答下列各题：
(1)在△ABC中，若A＝30°，a＝，b＝2，求B；
(2)(2010年山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，求A.
分析：已知三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角，根据问题条件可能出现唯一解、两解、无解的情况，解题时一定要根据问题条件，准确判定．
解析：(1)根据正弦定理，有＝，
即sin B＝，得sin B＝＝.
∵a
A＝30°，B为锐角或钝角．
即B＝45°或135°.
(2)由sin B＋cos B＝得sin＝1，∴B＝，
由正弦定理＝，得sin A＝，
又a＜b，∴A＜B，∴A＝.
?归纳拓展
已知两边和其中一边的对角解三角形，一般用正弦定理，但此时三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角，A>B则sin A>sin B”等关系来判定，也可以结合几何图形帮助理解记忆．具体模式如图，关键是比较bsin A与a和b的大小．当A为锐角，且bsin A＝a时，一解，bsin A>a，无解，bsin A＜a，两解，a≥b时一解，至于A＝90°，A>90°，情况较易．
?变式迁移
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c为( )
A．1 B．2
C.－1 D.
解析：由正弦定理＝，
∴sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴A>B，∴B为锐角，
∴B＝，于是C＝，
∴△ABC为直角三角形，
∴c＝＝2，故选B.
答：B
(1)在△ABC中，a＝m，b＝n，c＝，求C；
(2)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，求c及最大角的余弦值．
分析：(1)为△ABC中已知三边求一角，直接用余弦定理cos C＝求解即可．
(2)为△ABC中已知两边及其夹角余弦求第三边，用c＝求最大角的余弦，不难想到“大边对大角”．
解析：(1)由余弦定理得cos C＝，
将a，b，c的值代入上式，
得cos C＝＝－.
∵0°(2)由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝72＋82－2×7×8×＝9.
∴c＝3.
∵b>a>c，∴在△ABC中，B最大．
∴cos B＝＝＝－.
?归纳拓展
余弦定理有三个方面的应用：一是已知三角形的两边和它们的夹角，可以由余弦定理求出第三边，进而求出其余两角；二是已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角；三是正、余弦定理的综合应用，如已知三角形的两边及其一边的对角，除了能用正弦定理解三角形外，也可以用余弦定理来解三角形．
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2．(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于( )
A. B. C. D.
解析：由正弦定理＝和2asin B＝b可得2sin Asin B＝sin B，即sin A＝，
又∵△ABC为锐角三角形，∴A＝.
答案：D
题型2 三角形形状的判断
(2010年辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状．
解析：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝－，∴A＝120°.
(2)解法一：由(1)，B＋C＝60°，B＝60°－C，由sin B＋sin C＝1，得sin(60°－C)＋sin C＝1，
即sin 60°cos C－cos 60°sin C＋sin C＝1，
即sin(C＋60°)＝1，而0°＜C＜60°，∴C＝30°.
故B＝30°，∴△ABC为等腰钝角三角形．
解法二：由(1)b2＋c2＋bc＝a2得
sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A，
即(sin B＋sin C)2－sin Bsin C＝，
∴sin Bsin C＝，
与sin B＋sin C＝1联立，解得sin B＝sin C＝，
而0°＜B，C＜60°，∴B＝C.
∴△ABC为等腰钝角三角形．
?归纳拓展
要注意正弦的多值性，否则可能漏解．如本例中的(1)；由条件不能只得到A＝B，而忽略A＋B＝.另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别．
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解．在解三角形时的常用结论有：
1．在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A2．在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，＝－，则cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，
sin＝cos.
3．在△ABC中，a2＋b2，a2＋b2＝c2?C＝，a2＋b2>c2?0?变式迁移
3．在△ABC中，若cos2＝，试判断△ABC的形状．
解析：解法一：∵cos2＝，
＝，∴cos A＝，
即＝.
∵c≠0，∴c2＝a2＋b2.
∴△ABC为直角三角形．
解法二：∵cos2＝.
∴＝.∴cos A＝.
∴cos A＝＝.
∴sin Ccos A＝sin B.
∴sin Ccos A＝sin(A＋C)．
∴sin A·cos C＝0.
∵0∴cos C＝0，∴C＝90°.
故△ABC为直角三角形．
题型3 求三角形的面积
(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝4，C＝60°，则△ABC的面积为多少？
(2)若三角形面积为，且b＝2，c＝，求A.
分析：非特殊三角形面积的计算主要用S＝bcsin A＝absin C＝acsin B．(1)直接用S＝absin C即可；(2)为逆用S＝bcsin A.
解析：(1)S＝absin C
＝×3×4×sin 60°＝6×＝3.
(2)∵S＝bcsin A，
∴＝×2×sin A，
∴sin A＝，∴A＝60°或120°.
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三角形面积公式：S△＝aha＝bcsin A＝＝pr＝，其中A，B，C分别为△ABC的边a，b，c的对角，R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，p＝(a＋b＋c)．
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4．已知△ABC的三边长分别为a－2，a，a＋2，且最大角的正弦值为，求这个三角形的面积．
解析：设α是最大角，∵sin α＝，而α＞60°，
∴α＝120°，
∴(a＋2)2＝a2＋(a－2)2－2a(a－2)cos 120°，
解得a＝5，∴三边长为3,5,7，
∴S△＝×3×5×sin 120°＝.
5．在△ABC中，已知a＝，cos A＝，且b2－bc－2c2＝0.
(1)求b，c的值；
解析：(1)由b2－bc－2c2＝0得(b＋c)(b－2c)＝0，
即b＝2c，再由a2＝b2＋c2－2bccos A得3＝(2c)2＋c2－2×2c2×，解得c＝，b＝2.
(2)求△ABC的面积．
解析：(2)∵cos A＝，∴sin A＝＝.
∴S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
如上图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
分析：在△ABD中，由正弦定理可求出BD，再在△BCD中，用余弦定理求出CD，最后可求出时间t.
解析：由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴BD＝＝＝＝＝10(海里)．
又∵∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 (海里)．
∴在△BCD中，由余弦定理得，
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×＝900.
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
?归纳拓展
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题．其基本思路是：首先分析本题属于哪种问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知和未知的量标在图中，然后根据边角关系选择相应的定理，同时注意近似计算的要求，解题后再还原为实际问题．
?变式迁移
6．(2013·山东莱州一中质检题)2009年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排距离为10米，求旗杆的高度．
解析：设旗杆的高度为x米，∠ABC＝105°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝30°，根据正弦定理可知＝，即BC＝20.
∴旗杆高度x＝BCsin 60°＝20×＝30(米)．
答：旗杆的高度为30米．
数学·必修 5(苏教版)
章末过关检测卷(一)
第1章 解三角形
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B. C. D.
解析：由余弦定理得AC2＝32＋2－2×3×cos ?AC＝.
再由正弦定理＝?sin∠BAC＝.
答案：C
2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
解析：由c2＝72＋82－2×7×8×，得c＝3，
∴B是最大角，cos B＝＝－.
答案：C
3．△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( )
A. B．2 C.＋1 D.(＋1)
解析：由正弦定理，得＝，解得c＝2，
∴△ABC的面积
S＝ac×sin B＝×2×2×sin 105°
＝2(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)
＝2＝＋1.
答案：C
4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为( )
A．3,5 B．4,6 C．6,8 D．5,7
解析：设三角形的两边为a，b，夹角为α，由cos α＝可知，sin α＝，由三角形面积公式，得ab×＝14，得ab＝35，观察选项知选D.
答案：D
5．(2013·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，又asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则∠B＝( )
A. B. C. D.
解析：由正弦定理得，
sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝ sin B，即
sin Acos C＋cos Asin C＝?sin(A＋C)＝，
亦即sin B＝，又a＞b，∴B＝.
答案：A
6．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·的值为( )
A．19 B．－14 C．－18 D．－19
解析：·＝||·||·cos〈，〉＝||·||·cos(π－B)＝－||·||·cos B＝－||·||·＝－＝－19.
答案：D
7．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于( )
A. B. C. D.
解析：由大边对大角知A＝75°，故边a最长，边b最短，由正弦定理＝，得b＝.
答案：A
8．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B＝＝，∴B＝60°，即最大角、最小角之和为A＋C＝180°－B＝120°.
答案：B
9．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：∵A＝60°，∴第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，
∴a＝4.
答案：C
10．在某海域，一货轮航行到M处，测得灯塔P在货轮的北偏东15°并与灯塔P相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋) n mile/h B．20(－) n mile/h
C．20(＋) n mile/h D．20(－) n mile/h
解析：
如右图，由题意可知，∠M＝15°＋30°＝45°，∠N＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得
＝，
∴MN＝＝＝10(－)，故知速度为20(－) n mile/h.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝2，b＝3，cos C＝，则其外接圆半径为________．
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝9，
∴c＝3，sin C＝＝，
∴R＝＝.
答案：
12．在△ABC中，A、B、C是三个内角，C＝30°，那么sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________．
解析：sin2 A＋sin2 B－2sin Asin Bcos C＝×(a2＋b2－2abcos C)＝×c2＝sin2 C＝＝.
答案：
13．三角形的一边为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．
解析：设另外两边分别为8x、5x，由余弦定理，
得cos 60°＝，
解得x2＝4，S△ABC＝×8×5x2×sin 60°＝40.
答案：40
14．(2013·安徽卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，且3sin A＝5sin B，则角C＝________.
解析：由3sin A＝5sin B?3a＝5b，
又b＋c＝2a?b＝a，c＝a，∴cos C＝＝－，∴C＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
15．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
解析：(1)cos A＝2cos2－1＝2×－1＝，
∴sin A＝，·＝bc×＝3.∴bc＝5.
故面积S＝bcsin A＝×5×＝2.
(2)若c＝1，求a的值．
解析：(2)由bc＝5和c＝1得b＝5，
∴a＝＝＝2.
16．(12分)在锐角三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos A＝，sin B＝.
(1)求角C；
解析：(1)∵A，B，C为锐角，
∴sin A＝＝，cos B＝＝.
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝，
∴C＝.
(2)若a＝4，求△ABC的面积．
解析：(2)由＝得c＝＝＝，
∴S△ABC＝acsin B＝×4××＝6.
17.(14分)在△ABC中，m＝，n＝，且m与n的夹角为.
(1)求C；
解析：(1)∵m＝，
n＝，
∴m·n＝cos2－sin2 ＝cos C.
又m·n＝|m|·|n|cos＝cos＝，
∴cos C＝，C＝.
(2)已知c＝3，三角形面积S＝，求a＋b.
解析：( (2)∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，c＝3，
∴9＝a2＋b2－ab，由S＝absin C＝ab＝，
得ab＝，从而(a＋b)2＝9＋3ab＝25，
∴a＋b＝5.
18．(14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．
解析：在△ABC中，∠B＝152°－122°＝30°，∠C＝180°－152°＋32°＝60°，∠A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝，
∴AC＝sin 30°＝.
∴船与灯塔间的距离为 n mile.
19.(14分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cos B＝1，a＝2c，求C.
解析：由A＋B＋C＝π，得cos B＝－cos(A＋C)，
于是cos(A－C)＋cos B＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sin Asin C＝1?sin Asin C＝，①
由a＝2c得sin A＝2sin C，②
由①②得sin C＝，又a＝2c＞c，
∴C＝.
20．(14分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝.
(1)求tan2＋sin2 的值；
解析：(1)在锐角三角形ABC中，由sin A＝，得cos A＝，
∴tan2＋sin2 ＝＋sin2 .
＝＋(1－cos A)
＝＋(1－cos A)
＝＋×＝.
(2)若a＝2，S△ABC＝，求b的值．
解析：(2)因为S△ABC＝，
又S△ABC＝bcsin A＝bc·＝，则bc＝3.
将a＝2，cos A＝，c＝代入a2＝b2＋c2－2bccos A，
得b4－6b2＋9＝0，解得b＝.
