题型1 求数列的通项公式
一、观察法
写出下列数列的一个通项公式：
(1)1，－7,13，－19,25，…
(2)2，，，，，…
(3)，，，，2，…
(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…
分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系．
解析：(1)原数列的各项可看成数列{an}：1，－1,1，－1，…与数列{bn}：1,7,13,19,25，…对应项相乘的结果．
又an＝(－1)n＋1，bn＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故原数列的一个通项公式为cn＝(－1)n＋1(6n－5)．
(2)原数列可改写成
1＋，2＋，3＋，4＋，….
故其通项公式为an＝n＋.
(3)这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有，，，，…，
分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为
an＝.
(4)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故它可改写成
1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1，…
所以原数列的通项公式为an＝n＋＋.
?归纳拓展
(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键．
(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一．如数列5,0，－5,0,5，…的通项公式可为5cos(n∈N*)，也可为an＝5sin(n∈N*)．
(3)已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列．如{(－1)n}，{n}，{2n－1}，{2n}，{2n－1}，{n2}，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式．
?变式迁移
1．写出下列数列的一个通项公式．
(1)1，－，，－，…；
(2)，，2，2，…；
(3)1,3,6,10,15，…；
(4)1，－4,7，－10,13，….
解析：(1)an＝(－1)n＋1.
(2)原数列可写成，，，，…，易得an＝.
(3)∵3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4,15＝1＋2＋3＋4＋5，…，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(4)∵1,4,7,10,13，…组成1为首项，3为公差的等差数列，易得an＝(－1)n＋1(3n－2)．
二、利用an＝求an
设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
分析：由Sn与an的关系消去Sn(或an)，转化为an(或Sn)的递推关系求解．
解析：∵Sn＝(an－1)，
∴当n＝1时，S1＝a1＝(a1－1)，解得a1＝3.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝3，
∴当n≥2时，数列{an}是以3为公比的等比数列，且首项a2＝3a1＝9.
∴n≥2时，an＝9×3n－2＝3n.显然n＝1时也成立．
故数列的通项公式为an＝3n(n∈N*)．
?归纳拓展
已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)．这里常常因为忽略了n≥2的条件而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n＝1时Sn－1＝S0，而与前n项和定义矛盾．可见由an＝Sn－Sn－1所确定的an，当n＝1时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为
an＝
?变式迁移
2．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.
(1)求a1的值．
解析：(1)当n＝1时，T1＝2S1－1，而T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，解得a1＝1.
(2)求{an}的通项公式．
解析：(2)n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1.
∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，①
Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②
②－①得an＋1＝2an＋2，
即an＋1＋2＝2(an＋2)，亦即＝2.
a1＋2＝3，a2＋2＝6，＝2，
∴{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴an＋2＝3·2n－1，故an＝3·2n－1－2.
三、叠加法
已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1
(n≥2)．(1)求a2，a3；
(2)证明an＝.
分析：已知a1，由递推公式可以求出a2，a3，因为an＝3n－1＋an－1属于an＋1＝an＋f(n)型递推公式，所以可以用叠加法求出an.
解析：(1)∵a1＝1，
∴a2＝3＋1＝4，a3＝32＋4＝13.
(2)由已知an－an－1＝3n－1，
令n分别取2,3,4，…，n得
a2－a1＝31，
a3－a2＝32，
a4－a3＝33，
…
an－an－1＝3n－1，
以上n－1个式子相加，得an－a1＝31＋32＋…＋3n－1.
∴an＝，
∵n＝1时，a1＝＝1，∴an＝.
?归纳拓展
(1)对n＝1时，检验a1 ＝1是否满足an＝是必要的，否则就要写成分段的形式．
(2)如果给出数列{an}的递推公式为an＝an－1＋f(n)型，并且{f(n)}容易求和，这时可采用叠加法．
对n＝1检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f(n)易求和，指的是f(n)的形式为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如12＋22＋32＋…＋n2＝等．
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3．已知数列{an}满足an＋1＝an＋n2，且a1＝1，求{an}的通项公式．
解析：∵an＋1＝an＋n2，∴an＋1－an＝n2，
∴叠加即得
an－a1＝12＋22＋…＋(n－1)2＝，
∴an＝n(n－1)(2n－1)＋1.
四、叠乘法
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，求数列{an}的通项公式an.
分析：由an＋1＝an?＝知，已知条件属于＝f(n)型递推公式，所以用叠乘法求出an.
解析：由a1＝2，an＋1＝an，∴＝.
取n＝1,2,3…，n－1得
＝，＝，＝，…
＝，＝.
把上述各式两边分别相乘，得：
××…××＝×××…××，
∴＝，∴an＝a1，
即an＝n(n＋1)．
当n＝1时，a1＝2适合上式．
故an＝n(n＋1)(n∈N*)．
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如果数列{an}的递推公式为＝f(n)型时，并且{f(n)}容易求前n项的积，这时可采用叠乘法．叠乘的目的是出现分子、分母相抵消情况．
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4．在数列{an}中，已知a1＝，an＋1＝2nan，求an.
解析：由an＋1＝2nan得＝2n，
∴＝21，＝22，…，＝2n－1，叠乘得＝2×22×…×2n－1＝2，
∴an＝2×＝2
五、构造转化法
已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝，则通项公式an＝________.
分析：通过观察给出的递推公式可以发现两边取倒数可以得到与的关系，也可以将式子乘开得到an＋1an＋2an＋1＝2an两边同时除以2anan＋1，转化为等差数列求解．
解析：解法一：将an＋1＝两边取倒数，得 ＝＝＋，∴－＝，
∴数列是首项为＝1，公差为的等差数列，
∴＝1＋(n－1)×＝，∴an＝.
解法二：(1)∵an＋1＝，∴an＋1(an＋2)＝2an，
∴an＋1·an＝2an－2an＋1.
两边同除以2an＋1·an得－＝.
∴数列是等差数列，首项为＝1，公差为.
∴＝＋(n－1)×＝.
∴an＝.
答案：
?归纳拓展
根据已知条件构造一个与{an}有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得{an}的通项公式．新的数列往往是等差数列或是等比数列．例如形如an＝pan－1＋q(p，q为常数)的形式，往往变为an－λ＝p(an－1－λ)，构成等比数列，求an－λ通项公式，再求an.
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5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an－2，求an.
解析：由an＋1＝3an－2，设an＋1＋k＝3(an＋k)，其中k是待定系数，即an＋1＝3an＋2k与条件进行对比，得2k＝－2，∴k＝－1.故an＋1－1＝3(an－1)，∴{an－1}是2－1＝1为首项，公比为3的等比数列，∴an－1＝1×3n－1，∴an＝3n－1＋1.
题型2 数列的求和
一、公式法
(1)求1＋4＋7＋…＋(3n＋1)的值；
(2)若数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn(n∈N*，a＞0，且a≠1)且x1＋x2＋x3＋…x100＝100，求x101＋x102＋…x200的值．
分析：(1)中1,4,7，…，3n＋1是个等差数列，但容易这样求解：Sn＝＝＋n.这是错误的，错在没搞清此数列有多少项．(2)可以作个变换logaxn＋1－logaxn＝loga＝1，推导出{xn}是等比数列再求解．
解析：(1)∵数列中3×0＋1＝1，
∴第1项1是n＝0时得到的，
∴此数列是首项为1，末项为3n＋1，项数为n＋1的等差数列．
∴Sn＝＝＋＋1.
(2)由logaxn＋1＝1＋logaxn得logaxn＋1－logaxn＝1，
∴loga＝1，
∴＝a，
∴数列{xn}是公比为a的等比数列．
由等比数列的性质得：
x101＋x102＋…x200＝(x1＋x2＋…x100)a100＝100×a100.
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数列求和常用的公式有：
等差数列：Sn＝＝na1＋d；
等比数列：Sn＝
k＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
k2＝12＋22＋32＋…n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
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6．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若{cn}是1,1,2，…，求{cn}的前10项之和．
解析：设{an}的首项为a，公比为q，{bn}首项为b，公差为d，b1＝0，由c1＝a1＋b1＝1，知a1＝1.
c2＝a2＋b2＝q＋d＝1，
c3＝a3＋b3＝q2＋2d＝2，
解得q＝2，d＝－1，∴an＝2n－1，bn＝1－n，
∴cn＝2n－1＋(1－n)．
∴{cn}前10项和为a1＋a2＋…＋a10＋(b1＋b2＋…＋b10)＝＋＝
978.
二、分组求和法
求和：2＋2＋…＋2.
分析：此数列的通项公式是an＝2＝x2n＋2＋，而数列{x2n}，是等比数列，2是常数，故采用分组求和法．
解析：当x≠±1时，
Sn＝＋＋…＋
＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋＋2n
＝＋＋2n
＝＋2n.
当x＝±1时，Sn＝4n.
综上，Sn＝
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将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键．
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7．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，求{an}的前n项和Sn.
解析：an＝n(n＋1)＝n＋n2，
∴Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋22＋32＋…＋n2)＝＋＝.
三、裂项相消法
求数列＋＋＋＋…＋的前n项和．
分析：通项an＝＝＝，所以可以使用裂项相消法．
解析：∵an＝＝＝，
∴Sn＝＋＋＋＋…＋＋
＝＋－＋…＋
＝
＝－－.
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裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项．使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的．
常见的拆项公式有：
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝(－)；
(5)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
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8．已知数列{an}的通项公式为an＝，求{an}的前n项和Sn.
解析：∵＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
四、错位相减法
求数列的前n项和Sn.
分析：此数列非等差数列也非等比数列，其通项公式an＝可以认为是一个等差数列bn＝n与一个等比数列cn＝相乘得到的，可以用乘公比错位相减法来求解．
解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，①
Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，②
①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－n·
＝－n·
＝1－－n·，
∴Sn＝2－－.
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若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比，并向后错一项与{anbn}的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法．
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9．求和：Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n.
解析：因为Sn＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n－1＋(3n－2)×2n，①
2Sn＝1×22＋4×23＋…＋[3(n－1)－2]×2n＋(3n－2)×2n＋1，②
所以①－②得
－Sn＝1×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－2)×2n＋1
＝3(2＋22＋…＋2n)－(3n－2)×2n＋1－4
＝3(2n＋1－2)－(3n－2)×2n＋1－4
＝3×2n＋1－6－3n×2n＋1＋2n＋2－4
＝2n＋2＋3(1－n)×2n＋1－10.
所以Sn＝3(n－1)×2n＋1－2n＋2＋10.
五、倒序相加法求和
设f(x)＝，利用教科书上推导数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
分析：若直接求解则相当麻烦，考虑f(x)＝的特点及f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…的特点，f(x)与f(1－x)是否有某种特别的联系，如果有则可以用求等差数列前n项和公式的方法解答此题．
解析：∵f(x)＝，
∴f(1－x)＝＝＝.
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝.
设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，倒过来，则有
S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(6)＋f(－5)]＝6.
∴S＝3.
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此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重要的定理、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过程的训练．当数列{an}满足ak＋an－k＝常数时，可用倒序相加法求数列{an}的前n项和．
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10．设f(x)＝，求和S＝f(2 014)＋f(2 013)＋f(2 012)＋…＋f(1)＋f＋f＋…＋f＋f.
解析：∵f(x)＝，∴f＝＝，
∴f(x)＋f＝1，
S＝f(2 014)＋f(2 013)＋…＋f(1)＋f＋…＋f，
又S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 014)，
两式相加得2S＝2 014＋2 013，∴S＝.
题型3 数列应用题
一、与等差数列有关的实际应用题
有30根水泥电线杆，要运往1 000米远的地方安装，在1 000米处放一根，以后每隔50米放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务(完成任务回到原处)，那么这辆汽车的行程共为多少千米？
分析：读懂题意，将实际问题转化为等差数列，关键要找准首项、公差，弄清an还是Sn.
解析：如下图所示，假定30根水泥电线杆存放在M处，则a1＝MA＝1 000，
a2＝MB＝1 050，
a3＝MC＝1 100，
a6＝a3＋50×3＝1 250，
…
a30＝a3＋150×9，
由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a3，a6，a9，…，a30，这些地方，这样组成公差为150，首项为1 100的等差数列，令汽车的行程为S，
则S＝2(a3＋a6＋…＋a30)
＝2(a3＋a3＋150×1＋…＋a3＋150×9)
＝2＝35.5(千米)，
即这辆汽车的行程为35.5千米．
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对于与等差数列有关的应用题，要善于发现“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一个比一个多(少)”等，此时可化归为等差数列，明确已知a1，an，n，d，Sn中的哪几个量，求哪几个量，选择哪一个公式．
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11．有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存，到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×.
(1)试解释这个本利和公式．
解析：(1)设每期存入金额为A，每期利率为p，存的期数为n，则各期利率之和为Ap＋2Ap＋3Ap＋…＋nAp＝n(n＋1)Ap，连同本金可得本利和nA＋n(n＋1)Ap＝A.
(2)若每月初存入100元，月利率为5.1‰，则到第12个月底的本利和是多少？
解析：(2)当A＝100，p＝5.1‰，n＝12时，本利和＝100×＝1 239.78(元)．
(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么每月初应存入多少钱？
解析：(3)将(1)中公式变形，得A＝＝≈161.32(元)，
即每月初应存入161.32元．
二、与等差、等比数列有关的综合应用题
某工厂三年的生产计划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值．
分析：将实际问题转化为数列，弄清哪部分为等差数列或等比数列，结合等差、等比数列性质求解．
解析：由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为a－d，a，a＋d(d＞0)，
则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝300，
解得a＝100.
又由题意得(a－d)＋10，a＋10，(a＋d)＋11组成等比数列，
∴(a＋10)2＝[(a－d)＋10][(a＋d)＋11]，
将a＝100代入上式，得1102＝(110－d)(111＋d)，
∴d2＋d－110＝0，解得d＝10，或d＝－11(舍)，
∴原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元．
?归纳拓展
读懂题意，将实际问题转化为等比数列问题，找准首项，公比(差)，弄清求什么．混合型应用题常有两种解法：一是归纳法，归纳出前n次(项)，寻找规律，再写出前n次(项)的通项(前n项和)，此时要注意下标或指数的规律．
第二个方法是逆推法，寻找前后两项的逆推关系，再从逆推关系求an，Sn，此时应注意第n－1次变到第n次的变化过程．
?变式迁移
12．某地房价从2004年的1 000元/m2增加到十年后2014年的5 000元/m2，问平均每年增长百分之几？(注意：当x∈(0,0.2)时，ln(x＋1)≈x，取lg 2＝0.3，ln 10＝2.3)
解析：设年增长率为x，则每年的房价依次排列组成首项为1 000，公比为(1＋x)的等比数列．由题意可得1 000×(1＋x)10＝5 000，即(1＋x)10＝5，取自然对数有10ln(1＋x)＝ln 5＝ln 10 lg 5＝2.3×(1－lg 2)＝1.61，再利用ln(x＋1)≈x，可得x≈＝0.16＝16%.
答：每年约增长16%.
章末过关检测卷(二)
第2章 数 列
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在等差数列{an}中，已知a6＝8，则前11项和S11＝( )
A．58 B．88 C．143 D．176
解析：因为在等差数列中S11＝11a6＝11×8＝88.
答案：B
2．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. B．(3，＋∞) C. D.
解析：依题意可知即
解得＜d≤3.
答案：D
3．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9根 B．10根 C．19根 D．29根
解析：设钢管被放成n层，则钢管数为Sn＝，当n＝19时，钢管数为190，当n＝20时，钢管数为210＞200，故知只能放19层，剩余钢管为10.
答案：B
4．公比为的等比数列{an}各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：a3a11＝16?a＝16?a7＝4，而a16＝a7q9＝4×(3)9＝32，∴log2a16＝5.
答案：B
5．等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a2n－a1＝－33，则该数列的公差为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
解析：依题意，可知n·d＝72－90＝－18，由a2n－a1＝－33得，(2n－1)·d＝－33，∴－36－d＝－33，∴d＝－3.
答案：B
6．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是( )
A．a11 B．a10 C．a9 D．a8
解析：∵数列{an}的前11项的平均值是5，即＝5，故得a11＝15，又数列前11项的和为55，抽取1项后，余下10项的和为40，故知抽取的项是15，即抽取的项是a11.
答案：A
7．数列{an}前n项的和Sn＝3n＋b(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b为( )
A．3 B．0 C．－1 D．1
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1.若数列{an}成等比数列，则an＝2×3n－1，对于n＝1时也要成立，即3＋b＝2，∴b＝－1.
答案：C
8．若{an}，{bn}满足an·bn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )
A. B. C. D.
解析：bn＝＝＝，用裂项法可求{bn}的前10项和为.
答案：B
9．已知正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是 ( )
A．(6,5) B．(5,6) C．(6,7) D．(5,7)
解析：按规律分组，第1组1个数对，第2组2个数对，…第n组n个数对，前10组共有＝55个数对，因此第60个数对应是第11组中的第5个，即(5,7)．
答案：D
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝( )
A. B. C. D.
解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又c＝2a.
∴cos B＝＝＝＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
11．设Sn和Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和，且＝，则＝________.
解析：因为在等差数列中S2n－1＝(2n－1)an，
∴＝＝＝，∴＝＝.
答案：
12．随着计算机技术的不断发展，电脑的性能越来越好，而价格又在不断下降．若每隔2年电脑的价格可降低三分之一，则现在价格为8 100元的电脑在6年后的价格可降为________元．
解析：依题意可知，6年后的价格为8 100＝2 400元．
答案：2 400
13．设等差数列{an}满足3a8＝5a13，且a1＞0，Sn为其前n项和，则Sn中最大的是________．
解析：3a8＝5a13，且a1＞0，即3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，∴d＝－a1＜0，令an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)＝a1＞0，解得n＜，∴{an}中前20项和最大．
答案：S20
14．(2013·湖南卷)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则a3＝________.
解析：S＝a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，即a1＋a2＋a3＝－，而S3＝－a3－，解得a3＝－.
答案：－
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
15．(12分)(2013·四川卷)等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
解析：设{an}的分差为d，前n项和为Sn，
由已知，可得2a1＋2d＝8，
(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，所以a1＋d＝4，
d(d－3a1)＝0，解得或
Sn＝4n或Sn＝.
16．(12分)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项；
解析：(1)由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，
解得d＝1，d＝0(舍去)．
故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.
解析：(2)由(1)知2an＝2n，
由等比数列前n项和公式得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
17.(14分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)．
(1)求q的值；
解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2.
∵{an}是等差数列．
∴p－2＋q＝2p－p－2，
∴q＝0.
(2)若a1与a5的等差中项为18，bn满足an＝2log2bn，求数列{bn}的前n项和．
解析：(2)∵a3＝，∴a3＝18，又a3＝6p－p－2，
∴6p－p－2＝18，
∴p＝4，∴an＝8n－6，
又an＝2log2bn，得bn＝24n－3.
∴b1＝2，＝＝24＝16，
即{bn}是等比数列．
∴数列{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．
18．(14分)(2013·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
解析：(1)∵＝an＋1－n2－n－，n∈N*，
∴当n＝1时，2a1＝2S1＝a2－－1－＝a2－2，
又a1＝1，∴a2＝4.
(2)求{an}的通项公式．
解析：(2)已知式可变为2Sn＝nan＋1－，①
∴当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－，②
①－②得2Sn－2Sn－1＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)
又∵an＝Sn－Sn－1，∴2an＝nan＋1－(n－1)an－n(n＋1)
即nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，即－＝1，
∴是首项为＝1，公差为1的等差数列，
∴＝n，即an＝n2(n≥2)．
当n＝1时显然也成立，故an＝n2，n∈N*.
19.(14分)某企业2008年初投入资金1000万元经营某种产品，如果预计每年经过经营，资金的增长率为50%，但每年年底应扣除相同的消费基金x万元，剩余资金全部投入再经营．为了实现到2012年年底扣除当年消费基金后的资金达到2000万元的目标，问每年扣除的消费基金x应不大于多少万元？(精确到万元)
解析：依题意，2008年底扣除消费基金后的资金有1 000(1＋50%)－x＝×1 000－x(万元)．
2009年底扣除消费基金后的资金有×1 000－x(1＋50%)－x＝2×1 000－x(万元)．
2010年底扣除消费基金后的资金有
(1＋50%)－x＝
3×1 000－x(万元)．
于是有：5×1 000－1＋＋2＋3＋
4x≥2 000.
∴5×1 000－x≥2 000.
∴x≤1 000×.
∴x≤1 000×≈424(万元)．
因此每年扣除的消费基金应不大于424万元．
20．(14分)(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解析：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，
由{an}是正项数列，∴Sn＞0，故Sn＝n2＋n，
于是a1＝S1＝2，n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n，
综上an＝2n.
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对任意的n∈N*，都有Tn＜.
解析：(2)由an＝2n，bn＝＝＝，
∴Tn＝
＝
＜＝.
