题型1 转化与化归思想的应用
若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．
分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．
解析：解法一(看成函数的值域)：
∵ab＝a＋b＋3，∴b＝(显然a≠1)，且a＞1，
∴ab＝a×＝＝(a－1)＋＋5≥9，当且仅当a－1＝，
即a＝3时取等号．
又a＞3时，(a－1)＋＋5单调递增．
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
解法二(看成不等式的解集)：
∵a，b为正数，∴a＋b≥2.
又ab＝a＋b＋3.
∴ab≥2＋3.
即()2－2－3≥0，
解得≥3或≤－1(舍去)，
∴ab≥9，即ab的取值范围是[9，＋∞)．
解法三：若设ab＝t，
则a＋b＝t－3，
∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．
从而有
即解得t≥9，即ab≥9，
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
?归纳拓展
不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．
?变式迁移
1．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵4x2＋6x＋3＝＋＞0恒成立．
从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)．
即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(6－2m)2－4×2(3－m)＝4(m－1)(m－3)＜0，解得1＜m＜3.
答案：(1,3)
2．(2013·山东省实验中学诊断题)若不等式组的解集中所含整数只有－2，则k的取值范围是________．
解析：由?
要使解集中所含整数只有－2，则必须－2＜－k≤3.
即－3≤k＜2.
答案：[－3,2)
题型2 函数与方程思想的应用
设a∈R，关于x的一元二次不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集是{x|α＜x＜β}，且0＜α＜1＜β＜2，求a的取值范围．
分析：本题实质是一元二次方程根的分布问题，要结合二次函数解决由不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集是{x|α＜x＜β}，可知方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根为α，β，且两根分别在(0,1)与(1,2)内，可利用一元二次方程根的分布知识解决这个问题．
解析：因为不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集是{x|α＜x＜β}，
所以方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根为α，β.
令f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，
因为0＜α＜1＜β＜2，
所以α∈(0,1)，β∈(1,2)．
由f(x)的图象知
?
?
所以a的取值范围是(－2，－1)∪(3,4)．
?归纳拓展
函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．
方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．
函数与方程二者密不可分，如函数解析式y＝f(x)也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：①利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况；②利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用；③利用方程解决有关函数的问题．
函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f(x)＞a恒成立等价于f(x)min＞a.
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3．求证：sin2 x＋≥5.
解析：设sin2x＝t，原式变形为f(t)＝t＋，
则f(t)在t∈(0,1]时为单调递减函数，
∵0＜sin2 x≤1，
∴当sin2 x＝1，
即t＝1时，f(t)有最小值，f(t)min＝5.
∴f(t)＝t＋≥5，即sin2 x＋≥5.
4．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．
解析：由f(1－a)＋f(1－a2)＜0得
f(1－a)＜－f(1－a2)＝f(a2－1)，
∴?0＜a＜1.
∴a的取值范围是(0,1)．
题型3 分类讨论思想的应用
解关于x的不等式(m＋3)x2＋2mx＋m－2＞0(m∈R)．
分析：从形式上看是二次不等式，故须对m＋3讨论，讨论它是不是一元二次不等式．
解析：(1)当m＝－3时，
原不等式化为－6x－5＞0，
故原不等式的解集是.
(2)当m≠－3时，
Δ＝4m2－4(m＋3)(m－2)＝4(6－m)．
①当m＝6时，
则原不等式等价于(3x＋2)2＞0，
故原不等式的解集是∪.
②当m＞6时，
则Δ＜0且m＋3＞0，
所以原不等式的解集是R.
③当－3＜m＜6时，
则Δ＞0且m＋3＞0，
所以原不等式的解集是
∪.
④若m＜－3，
则Δ＞0，且m＋3＜0，所以原不等式的解集是
.
?归纳拓展
分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．在解答数学题时，由于许多题目不仅在涉及的知识范围上有较强的综合性，而且就问题本身来说，也受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上加以解决．这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，先去解决各个局部问题，最后达到整体上的解决．通俗一点说，就是“化整为零，各个击破”，这种处理数学问题的思想，就是“分类讨论”的思想，分类讨论问题充满了数学辩证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问题中的具体运用．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．
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5．已知loga(a2＋1)＜loga(2a)＜0，则a的取值范围是( )
A．0＜a＜1 B.＜a＜1
C．0＜a＜ D．a＞1
解析：当0＜a＜1时，可得a2＋1＞2a＞1，解得＜a＜1；当a＞1时，可得a2＋1＜2a＜1，无解．
答案：B
6．解关于x的不等式＞1(a≠1)．
解析：不等式＞1(a≠1且a≠0)，
变形得：＞0，
可化为
或
当a－1＞0，即a＞1时，
①当＞2，即a＜0时，无解；
②当＜2，解得a＞0，即a＞1时，解得x＜或x＞2；
当a－1＜0，即a＜1且a≠0时；
①当＞2，即1＜a＜2时，无解；
②当≤2，即a＜1时，解得＜x＜2；
综上，当a＞1时，原不等式的解集为；
当a＜1且a≠0时，原不等式的解集为.
题型4 数形结合思想的应用
求使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围．
分析：因不等式左边为对数式，右边为整式，故不可解，所以可借助函数图象求解．
解析：如右图，
在同一直角坐标系中作出函数y1＝log2(－x)，y2＝x＋1的图象，易知两图象交于点(－1,0)．显然y1＜y2的x的取值范围是(－1,0)．
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数形结合就是把数学关系的精确刻画(代数关系)与几何图形的直观形象有机结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，使问题变得简单，数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、求参数的范围等，有时，可以用数形结合的思想寻找解题思路，具体体现为：①由数化形，由条件绘制相似图形，使图形能充分反映出它们的数量关系，从而解决问题；②由形化数，借助于图形，通过观察研究，得出图形中蕴含的数量关系，反映出事物的本质特征；③数形转换，化抽象为直观，化难为易．
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7．(2013·四川卷)已知f(x)是定义域R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
解析：作出y＝f(x)的图象如图，f(5)＝f(－5)＝5.
∴|x＋2|＜5即－7＜x＜3.
答案：(－7,3)
8．已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．
解析：令f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，作其图象如下图所示，由图及题意可知：
即
∴－2＜m＜－1.
故所求的m的取值范围为{m|－2＜m＜－1}．
章末过关检测卷(三)
第3章 不 等 式
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
A.＞ B．2a＞2b C．|a|＞|b| D.a＞b
解析：∵a＜b＜0，∴ab＞0.∴a×＜b×，即＞，
由y＝|x|(x＜0)为减函数数和y＝为减函数知C、D成立，因此不能成立的是B.
答案：B
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
解析：＋＝(a＋b)＝≥＝.
答案：C
3．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为( )
A．－6 B．6 C．－5 D．5
解析：由题意知a＜0，－1与是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，所以－1＋＝－，(－1)×＝，解得a＝－3，b＝－2，所以ab＝6.
答案：B
4．若x＜0，则函数f(x)＝x2＋－x－的最小值为( )
A．－ B．0 C．2 D．4
解析：f(x)＝2－－2.
∵x＜0，∴x＋≤－2，设x＋＝t，则t≤－2，f(x)＝g(t)＝t2－t－2＝－.当t＝－2时，f(t)有最小值4，∴f(x)的最小值为4.
答案：D
5．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[－2,3] C．[－3,2] D．[－3,3]
解析：由a⊥b?a·b＝0即2(x＋z)＋3(y－z)＝0亦即z＝2x＋3y，由约束条件|x|＋|y|≤1，画出平行域．可知z在(0，－1)和(0,1)时分别的最小值－3和最大值3，故z∈[－3,3]．
答案：D
6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
解析：设甲乙两地距离为s，则小王往返共用时＋，∴v＝＝，∵0＜a＜b，
∴＜，＞＝a，∴＜，
＜＝，
∴a＜v＜.
答案：A
7．对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：
①loga(1＋a)＜loga；②loga(1＋a)＞loga；③a1＋a＜a(1＋)；④a1＋a＞a1＋.
其中错误的是( )
A．①与③ B．①与④ C．②与③ D．②与④
解析：由0＜a＜1，即1＋a＜1＋，
∴loga(1＋a)＞loga，a1＋a＞a1＋.
答案：A
8．已知x2＋(m－3)x＋m＝0有一根大于1，而另一根小于1，那么实数m的取值范围为( )
A．(－∞，1)∪(9，＋∞) B．(1,9)
C．(－∞，1) D．[1，＋∞)
解析：∵函数y＝x2＋(m－3)x＋m的抛物线开口向上，数形结合知若一根大于1，另一根小于1，只需f(1)＝2(m－1)＜0即m＜1.
答案：C
9．已知x＞－1，y＞－1，且(x＋1)(y＋1)＝4，则x＋y的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：∵x＞－1，y＞－1.∴x＋1＞0，y＋1＞0，
∴(x＋1)(y＋1)≤?≥4，
∴(x＋y)2＋4(x＋y)－12≥0，∴x＋y≥2或x＋y≤－6(舍去)，并且仅当x＋1＝y＋1，即x＝y时取“＝”，∴(x＋y)min＝2.
答案：C
10．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需要耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．
依题意得
z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y，画出可行域(如图的阴影部分)，
联立?
知z在A点取得最大值．故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．设x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为________．
解析：由约束条件画出可行域(如图)．
当直线为3x－y＝0移至直线x＋2y＝4与直线x－y＝1的交点为(2,1)时，目标函数z＝3x－y取得最大值等于3×2－1＝5.
答案：5
12．设x，y∈R，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
解析：由4x2＋y2＋xy＝1得(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋(2x)y≤1＋?(2x＋y)2≤，
∴－≤2x＋y≤，故2x＋y的最大值为.
答案：
13．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________．
解析：由|x＋1|－|x－3|≥0?|x＋1|≥|x－3|?|x＋1|2≥|x－3|2?x2＋2x＋1≥x2－6x＋9?x≥1.
答案：[1，＋∞)
14．某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价为8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是________．
解析：由15.5≤8＋1.5x＜16.5得5≤x＜，
∴8≤x＋3＜，∴乘车里程为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明 、证明过程或推演步骤)
15．(12分)解下列不等式：
(1)3x2＋5x－2＞0；
解析：(1)3x2＋5x－2＝(3x－1)(x＋2)＞0，
∴x＞或x＜－2.
即不等式的解集为(－∞，－2)∪.
(2)＜3.
解析：(2)原不等可变形为＞0，∴原不等式的解集为.
16.(12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
解析：设f(x)＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1，
若m2－2m－3＝0，则m＝－1，或m＝3.
当m＝－1时，不合题意；当m＝3时，符合题意．
m2－2m－3≠0时，有
解得：－＜m＜3.
综合以上讨论得实数m的取值范围是.
17．(14分)解关于x的不等式＞0.
解析：原不等式等价于(x－a)(x＋1)(x－2)＞0，
当a＜－1时，解集为(a，－1)∪(2，＋∞)，
当a＝－1时，解集为(2，＋∞)，
当－1＜a＜2时，解集为(－1，a)∪(2，＋∞)，
当a＝2时，解集为(－1,2)∪(2，＋∞)，
当a＞2时，解集为(－1,2)∪(a，＋∞)．
18．(14分)设f(x)＝.
(1)求f(x)的最大值；
解析：(1)f(x)＝＝≤＝＝2，当且仅当2x＝时，
即x＝时，等号成立．
∴f(x)的最大值为2.
(2)证明：对任意实数a、b恒有f(a)＜b2－3b＋.
解析：(2)证明：∵b2－3b＋＝＋3，
∴当b＝时，b2－3b＋有最小值3，由(1)知f(a)有最大值2，且2＜3，
∴对任意实数a，b都有f(a)＜b2－3b＋.
19.(14分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如右图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l：x＋0.5y＝z，并作平行移动．当直线与可行域相交，且经过可行域上的M点，此时与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组
得
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
20．(14分)(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；
证明：(1)由于x≥1，y≥1，
∴x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x(＋xy)2，此式的右边减去左边得y＋x＋(xy)2－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)·(y－1)
∵x≥1，y≥1，∴(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
故所证不等式成立．
(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
证明：(2)令logab＝x，logbc＝y，则 logca＝，
logba＝，logcb＝，logac＝xy，
由1＜a≤b≤c得x＝logab≥1，y＝logbc≥1，
由(1)亦即得到所证的不等式成立．
