数学·必修1(苏教版)
2.2 指数函数
2.2.2 指数函数及其应用
把一张厚度为1毫米的纸对折42次后，这张纸的厚度为地球与月球的距离的十多倍，这种说法对吗？学习本节内容后，你就能回答这个问题了．
1．下列一定是指数函数的是( )
A．形如y＝ax的函数
B．y＝xa(a>0，a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x
D．y＝(a－2)ax
答案：C
2．函数f(x)＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1,1) D．(0,2)
解析：f(x)＝∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为[0，＋∞)，而f(x)在(k－1，k＋1)内不单调，∴即－1＜k＜1.
答案：C
3．(2013·北京卷)函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x－1 D．e－x＋1
解析：和y＝ex关于y轴对称的是y＝e－x，将其向左移一个单位即y＝e－x－1.
答案：C
4．已知a>b，且ab≠0，下列五个不等式：(1)a2>b2，(2)2a>2b，(3)<，(4) >，(5) <中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：(2)(4)(5)成立．
答案：C
5．若f(x)＝(a2－1)x在R上是减函数，则a满足( )
A．|a|>1 B．|a|<2
C．1
解析：由0答案：D
6．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：作方程|y|＝2x＋1的曲线，平移y＝b可得满足条件的b的取值范围．
答案：[－1,1]
7．已知x>1－x，则实数x的取值范围________．
解析：∵a2＋a＋＝(a＋)2＋>1，即y＝在R上为增函数，∴x>1－x?x>.
答案：
8．不等式>的解集是________．
解析：不等式可化为5×2x－5>3×2x＋3?2×2x>8即2x>4＝22.
∴x>2.
答案：(2，＋∞)
9．若函数f(x)＝a＋为奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为奇函数且定义域为R，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，
∴a＝－.
答案：－
10．求函数f(x)＝－＋1，x∈[－3,2]的值域．
解析：令t＝则≤t≤8，原函数化为g(t)＝t2－t＋1＝＋，t∈.
∴g≤g(t)≤g(8)，即≤g(t)≤57.
∴函数的值域为.
11．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8试比较a、b、c的大小．
解析：∵0＜0.8＜1,1.2＞1，
∴0＜0.80.7＜1,0＜0.80.9＜1,1.20.8＞1.
又∵y＝0.8x在R上为减函数，
∴0.80.7＞0.80.9.
∴1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c＞a＞b.
12．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )
解析：函数y＝ax－过点，当a>1时，1－∈(0,1)且为增函数，排除A，B；当0答案：D
13.
函数f(x)＝ax＋b的图象如右图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析：由图知0答案：D
14．若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)＜f(3)＜g(0)
B．g(0)＜f(3)＜f(2)
C．f(2)＜g(0)＜f(3)
D．g(0)＜f(2)＜f(3)
解析：∵f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，①
∴－f(x)－g(x)＝e－x.②
①②联立解得f(x)＝，g(x)＝－.
而f(x)＝在R上递增，又g(0)＝－1，
∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0，
∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D.
答案：D
15．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：令t＝|x－a|，则t＝|x－a|在[a，＋∞)上是增函数，而y＝et为增函数，∴要使f(x)＝e|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，当且仅当a≤1.
答案：(－∞，1]
16．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：当a>1时，有a2＝4，a－1＝m?a＝2，m＝，但此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0答案：
17．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是________．
解析：由题意知－1≥0对任意x∈R恒成立，即≥1对任意x∈R恒成立．
∴由指数函数的性质有x2－2ax－a≥0对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝(－2a)2－4×1×(－a)≤0，解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
18．某物品的价格从1964年的100元增加到2004年的500元，假设该物品的价格增长率是平均的，那么2010年该物品的价格是多少？(精确到元)
解析：从1964年开始，设经过x年后物价为y，物价增长率为a%，则y＝100(1＋a%)x，将x＝40，y＝500代入得，500＝100(1＋a%)40，解得a＝4.1，
故物价增长模型为y＝100(1＋4.1%)x，
到2010年，x＝46，代入上式得，
y＝100(1＋4.1%)46≈635(元)．
故2010年该物品的价格是635元．
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2.2 指数函数
2．2.1 分数指数幂
在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？
1．下列各式中，对x∈R，n∈N*恒成立的是( )
A.＝x B.＝x
C．()n＝x D.＝|x|
解析：＝
答案：D
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．bC．b>c>a D．a解析：将根指数化为相同，再比较被开方数．
答案：D
3．式子＋的化简结果为( )
A．1 B．10 C．100 D.
解析：＋＝＋＝＋＝.
答案：D
4.－＋－(＋)0的值是( )
A．0 B. C．1 D.
解析：原式＝－＋0.5－1＝.
答案：B
5．已知x2＋x－2＝2且x>1，则x2－x－2的值为( )
A．2或－2 B．－2 C．2 D.
解析：(x2＋x－2)2＝(2)2，即x4＋x－4＋2＝8，即x4＋x－4＝6，而(x2－x－2)2＝x4＋x－4－2＝4，
又∵x>1，∴x2>x－2，故x2－x－2＝2.
解析：C
6．计算：＝________.
解析：－5＝－(－1)，2＋＝(＋1)．
答案：－
7．若＝，则a的取值范围是________．
解析：∵＝|2a－1|＝1－2a，
∴2a－1≤0，即a≤.
答案：
8.＋＝________.
解析：原式＝＋＋－＝2.
答案：2
9．化简：（－＋1）（＋＋1）（x－＋1）＝________.
解析：原式＝[(＋1)2－()2](x－＋1)＝(x＋1＋)(x－＋1)＝(x＋1)2－()2＝x2＋x＋1.
答案：x2＋x＋1
10.4·4的结果是________．
解析：[]4·[]4＝·＝a2＋2＝a4.
答案：a4
11．用分数指数幂表示＝________.
解析：原式＝＝
答案：
12．若m＝(2＋)－1，n＝(2－)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝________.
解析：∵m＝2－，n＝2＋，∴原式＝＋＝＋＝＝＝＝.
答案：
13．（ ）·（－ ）6÷（－ ）＝________.
解析：原式＝ ＝.
答案：
14．计算： ·(x>0)．
解析：原式＝
＝ ＝
15.＝________.
解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1
＝(28－1)(28＋1)＋1
＝216－1＋1＝216.
∴原式＝22＝4.
答案：4
16．化简：(a，b>0)的结果是________．
解析：原式＝÷＝
÷＝×＝.
答案：
17．x∈，则＋2＝________.
解析：原式＝|2x－1|＋2|x－2|
＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.
答案：3
18．已知a＝ (n∈N*)，求(＋a)n的值．
解析：∵a＝，
∴a2＋1＝＋1
＝
＝＝.
∴＋a＝＋.
∴(＋a)n＝2013.
19．已知a2x＝＋1，求的值．
解析：原式＝＝a2x＋a－2x－1＝＋1＋－1＝＋－1＝2－1.
20．设x＝＋，求x3＋3bx－2a的值．
解析：设u＝，v＝，则x＝u＋v，u3＋v3＝2a，uv＝＝－b.
x3＝(u＋v)3＝u3＋u3＋3uv(u＋v)＝2a－3bx，
∴x3＋3bx－2a＝0.
21．化简：－.
解析：原式＝－
＝－＋－
＝－＋－－－
＝－2＝－2.
22．化简：＋－.
解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b＝，式子就变得简单些了．令b＝，即a＝b3，原式＝＋－＝＋－＝b－1＋b2－b＋1－b2－b＝－b＝－.
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2.3 对 数 函 数
2．3.1 对 数
2010年我国国民经济生产总值为a亿元，若按平均每年增长10%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2010年的2倍？假设经过x年，则有a(1＋10%)x＝2a，即1.1x＝2，那么如何求指数x呢？
1．(2013·浙江卷)已知x、y为正实数，则( )
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y
B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg xlg y＝2lg x＋2lg y
D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
答案：D
2．(log29)·(log34)＝( )
A. B. C．2 D．4
解析：原式＝·＝＝4.
答案：D
3．)(3－2)＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
解析：∵3－2＝(－1)2＝2＝(＋1)－2.
∴原式＝－2.
答案：C
4．设log83＝p，log35＝q，则lg 5为( )
A．p2＋q2 B.(3p＋2q)
C. D．pq
解析：由题知＝p，
∴p＝，q＝，
∴lg 5＝qlg 3＝q(3plg 2)＝3pqlg ＝3pq(1－lg 5)，
即：lg 5＝3pq－3pqlg 5，∴lg 5＝.
答案：C
5．若y＝log56×log67×log78×log89×log910，则y＝( )
A．1＋log25 B．1＋log52
C．1－log25 D．1－log52
解析：由题知y＝····＝＝log510＝1＋log52.
答案：B
6．若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式中恒成立的有________个．
①(logax)n＝nlogax ②(logax)n＝logaxn
③logax＝－loga ④loga＝－loga
答案：2
7．已知0解析：由00，由0答案：(2,3)
8．x＝log23,4y＝，则x＋2y的值为________．
解析：∵4y＝，∴22y＝，
∴2y＝log2，∴x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.
答案：3
9．若f(x)＝，且f(lg a)＝，求a的值．
解析：由f(lg a)＝得－＝，两边取常用对数得(lg a)2－lg a＝lg ，即2(lg a)2－lg a－1＝0.
∴lg a＝1或lg a＝－，故a＝10或.
10．(lg 5)2＋lg 2lg 50＝( )
A．1 B．2 C．5 D．10
解析：原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 2lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
答案：A
11．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：由韦达定理，lg a＋lg b＝2，lg alg b＝，
∴2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.
答案：D
12．设a、b、c都是正数，且3a＝4b＝6c，则( )
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
解析：设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，
c＝log6t.
∴＝logt3，＝logt4，＝logt6.
∴＋＝logt9＋logt4＝2logt6＝.
答案：B
13．若2m＝3n＝36，则＋＝________.
解析：∵2m＝3n＝36，∴m＝log236，n＝log336，
从而：＋＝log362＋log363＝log366＝.
答案：
14．(2013·上海卷)方程＋＝3x－1的实数解为________．
解析：去分母整理得32x－2·3x－8＝0?3x＝4
∴x＝log34.
答案：log34
15．已知log5[log4(log3x)]＝0，则x＝________.
答案：81
16．计算：.
解析：
原式＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
17．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得到根、；乙写错了常数c，得到根、64.求原方程的根．
解析：原方程可变形为logx＋blog2x＋c＝0.
由于甲写错了常数b，得到的根为和，
∴c＝log2·log2＝6.
由于乙写错了常数c，得到的根为和64，
∴b＝－＝－5.
故原方程为logx－5log2x＋6＝0.
因式分解得(log2x－2)(log2x－3)＝0.
∴log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.
点评：此题取材与学生生活密切相关，将对数与一元二次方程结合．本题在解答时，利用了一元二次方程根与系数的关系，即已知二次项系数为1方程的根为x1、x2时，方程可写成(x－x1)(x－x2)＝x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
18．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求lg的值．
解析：由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)得xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，化为－5·＋4＝0，解得＝4或＝1，又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴>2，故＝4，∴＝4＝()4＝4.
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2.3 对 数 函 数
2．3.2 对数函数及其应用
前面我们提到了放射性物质经过的时间x(年)与物质剩留量y的关系式x＝log0.84y，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之对应，因此，把它可看做x是y的函数，那么得到的这个新函数叫什么函数呢？
1．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：?x>－1且x≠1.
答案：C
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，故log2(3x＋1)>0.
答案：A
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aC．a解析：∵01.
答案：D
4．函数 y＝1＋ln(x－1)(x>1)的反函数是( )
A．y＝ex＋1－1(x>0) B．y＝ex－1＋1(x>0)
C．y＝ex＋1－1(x∈R) D．y＝ex－1＋1(x∈R)
解析：y＝1＋ln(x－1)?ln(x－1)＝y－1?x－1＝ey－1，将x，y互换得y＝ex－1＋1(x∈R)．
答案：D
5．若loga3>logb3>0，则( )
A．0b>1
C．0a>1
答案：D
6．(2013·上海卷)函数y＝log2(x＋2)的定义域是________．
解析：x＋2>0?x>－2.
答案：(－2，＋∞)
7．若函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．
解析：∵x∈[－1,1]，∴≤2x≤2.即f(x)的定义域为，由≤log2x≤2可得：≤x≤4.
答案：[，4]
8．f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于________．
解析：当a>1时，loga(1＋1)＝1，a＝2；当0答案：2
9．f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
解析：令z(x)＝x2－ax＋3a，则函数z(x)在区间上单调递增．
故≤2，即a≤4.
又z(2)＝22－2a＋3a>0，
∴a>－4.
故a的取值范围是(－4,4]．
10．已知函数f(x)＝logx－3log2x＋5，x∈[2,8]，求f(x)的最大值、最小值及相应的x值．
解析：设t＝log2x，x∈[2,8]，则t∈[1,3]．
所以f(t)＝t2－3t＋5＝2＋，
当t＝即log2x＝，x＝2时，f(x)有最小值.
当t＝3即x＝8时，f(x)有最大值是5.
11．若函数y＝loga|x－2|(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为( )
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
解析：本题考查复合函数的单调性．因为函数f(x)＝loga|x－2|(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，所以f(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，故00且a≠1)在区间(2，＋∞)上的解析式为f(x)＝loga(x－2)(a>0且a≠1)，故在区间(2，＋∞)上是一个单调递减函数．
答案：D
12．若f(x)＝lg x，则y＝|f(x－1)|的图象是( )
答案：A
13．设a>1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga2a，则m、n、p的大小关系为( )
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
解析：a2＋1>2a,2a－(a－1)＝a＋1>0，即a2＋1>2a>a－1.
答案：B
14．函数y＝的定义域为________．
解析：由log0.3(5x－4)>0且5x－4>0?0<5x－4<1，x＞?答案：
15．已知奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈(0,1)时，函数f(x)＝2x，则 f(23)＝________.
答案：－
16．若f(x)＝在R上为增函数，则a的取值范围为________．
解析：设y1＝(3－a)x－4a，
y2＝logax，则由题意知：
?1答案：(1,3)
17．设f(x)＝|lgx|，若0f(c)>f(b)，求证：ac<1.
证明：如图为f(x)的图象，若a≥1，则y＝f(x)在[1，＋∞)是增函数，由1≤a若c≤1，则y＝f(x)在(0,1)是减函数，由af(b)>f(c)，亦与题设矛盾，∴c>1，由f(a)>f(c)即|lg a|>|lg c|?－lg a>lg c?lg a＋lg c<0?ac<1.
18．已知常数a(a>0且a≠1)，变量x，y之间有关系：logax＋3logxa－logxy＝3，若y有最小值8，求a的值．
解析：logax＋3logxa－logxy＝3，
∴logax＋－＝3，
logay＝(logax)2－3logax＋3，
∴y＝
当logax＝时，＋有最小值，无最大值．
∴y有最小值时，需a>1，
从而是y的最小值，
∴＝8，∴a＝＝16.
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幂 函 数
我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y＝x，y＝x2，y＝x－1等)“底数为自变量，指数为常数”是否为同一类型，性质是否有区别？”
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝
答案：A
2．
右图所示的是函数y＝(m，n∈N*且m，n互质)的图象，则( )
A．m，n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m，n是偶数，且>1
解析：由图象知y＝为偶函数，且m、n互质，∴m是偶数，n是奇数，又由y＝与y＝x图象的位置知<1.
答案：C
3．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象应是( )
答案：B
4．下列函数中与y＝定义域相同的函数是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
答案：D
5．下图中的曲线C1与C2分别是函数y＝xp和y＝xq在第一象限内的图象，则一定有( )
A．qC．q>p>0 D．p>q>0
答案：A
6．下列四类函数中，具有性质“对任意x>0，y>0都有f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．二次函数
答案：C
7．T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式中正确的是( )
A．T1C．T2答案：D
8．幂函数y＝的反函数为________．
答案：f－1(x)＝x2(x≥0)
9．命题：①函数y＝x3的图象关于原点成中心对称；②函数y＝x4的图象关于y轴成轴对称；③函数y＝(x≠0)的图象关于直线y＝x成轴对称，其中正确命题的个数是__________．
答案：3个
10．四个数，，，从小到大依次排列为__________________．
答案：<<<
11．已知幂函数f(x)＝(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则函数g(x)＝2x＋的最小值是________．
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1.
又m∈Z，∴m＝－1,0.
此时均有f(x)＝x－2时图象关于y轴对称．
∴f(x)＝x－2(x≠0)．
∴g(x)＝2x＋x2＝(x＋1)2－1(x≠0)．
∴g(x)min＝－1.
答案：－1
12．已知幂函数y＝(m2－m－1)，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为________．
解析：∵y＝(m2－m－1)为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∴m＝2满足题意；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，∴y＝1在(0，＋∞)上为常函数，应舍去．
答案：2
13．已知f(x)＝＋ax3＋bx5＋1，且f(2014)＝m，则f(－2014)＝________.
解析：∵f(x)＋f(－x)＝2，∴f(－2014)＋f(2014)＝2.
故f(－2014)＝2－m.
答案：2－m
14．已知0解析：根据指数函数和幂函数的单调性可得
ba>aa>ab；ba>bb>ab.
∴这四个数最大的是ba，最小的是ab.
答案：ba ab
15．函数y＝的值域为________．
解析：可解出＝≥0，∴y<－1或y≥.
答案：(－∞，－1)∪
16．讨论函数f(x)＝的定义域、值域、单调性，奇偶性、最值，并画出大致图象．
解析：∵f(x)＝＝，∴函数的定义域是R，值域为[0，＋∞)，它是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，最小值为0，无最大值．f(x)的大致图象如下图所示．
17．已知点(，3)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，试解下列不等式．
(1)f(x)>g(x)；
(2)f(x)解析：因点(，3)在幂函数y＝f(x)＝xα的图象上，所以3＝()α.所以α＝2，即f(x)＝x2，同理幂函数y＝g(x)＝x－2.于是：
(1)由f(x)>g(x)得x2>x－2，即x4>1，
所以|x|>1，故x>1或x<－1.所以不等式的解集为{x|x＞1或x＜－1}．
(2)由f(x)所以－118．已知函数f(x)＝(x∈R＋)，n为非零有理数，判断f(x)在(0，＋∞)上的增减性，并说明理由．
解析：∵f(x)＝·＝＝1－，
∴f(x)与φ(x)＝x2n有相同的增减性．
当n>0时，φ(x)＝x2n(x∈R＋)为增函数，故f(x)为增函数，
当n<0时，φ(x)＝x2n(x∈R＋)为减函数，故f(x)为减函数．
数学·必修1(苏教版)
2．1 函数的概念和图象
2.1.3 函数的简单性质
在初中，我们学习了二次函数，通过二次函数的图象，知道x在某个范围内取值时，y的值随着x的增加而增加(或减小)，在高中，我们学习了函数的符号语言，那么如何用符号语言来定量地描述函数这一增减性质呢？
1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是( )
A．单调递减的偶函数
B．单调递减的奇函数
C．单调递增的偶函数
D．单调递增的奇函数
解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3在R上单调递减，且是奇函数．
答案：B
2．函数y＝的大致图象只能是( )
答案：B
3．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．
∴f(x)为偶函数，g(x)为奇函数．
答案：B
4．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：∵f(－x)＝＝＝f(x)．
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：D
5．如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是( )
A．f≤f(a2－a＋1)
B．f≥f(a2－a＋1)
C．f＝f(a2－a＋1)
D．以上关系均不确定
答案：B
6．函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在(－∞，0)上为增函数的有______(填序号)．
答案：④
7．已知f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x(1－x)，则x<0时，f(x)＝________.
解析：当x<0时，－x>0，又∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．
答案：x(1＋x)
8．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析：a＝±1时，f(x)不是奇函数，∴f(±1)有意义，由f(－1)＝－f(1)可解得a＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵f(x)为偶函数∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称．
①当x＝0时，－x＝0，
f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)；
②当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
∴由①②③可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
11．定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )
A．2 B. C. D．a2
解析：由条件得f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2即－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，两式相加得g(2)＝2.
∴a＝2，f(2)＝a2－a－2＝4－＝.
答案：C
12．设f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋是偶函数
B．f(x)－是奇函数
C.＋g(x)是偶函数
D.－g(x)是奇函数
解析：∵f(x)和|g(x)|均为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
答案：A
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且知其定义域为[a－1,2a]，则( )
A．a＝3，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0 D．a＝，b＝0
解析：∵b＝0；又a－1＝－2a，∴a＝.
答案：D
14．如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是( )
A．增函数，最小值为－5
B．增函数，最大值为－5
C．减函数，最小值为－5
D．减函数，最大值为－5
解析：奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致，f(－3)＝－f(3)＝－5.
答案：B
15．函数y＝－x2＋|x|的单调减区间为________．
解析：作出函数的图象．
答案：和
特别提醒：切忌写成∪
16．给定四个函数：①y＝x3＋；②y＝(x＞0)；③y＝x3＋1；④y＝.其中是奇函数的有________(填序号)．
答案：①④
17．定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：对任意x，y∈(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝f，求证：f(x)为奇函数．
证明：由x＝y＝0得f(0)＋f(0)＝f＝f(0)，
∴f(0)＝0，任取x∈(－1,1)，则－x∈(－1,1)f(x)＋f(－x)＝f＝f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)在(－1,1)上是奇函数．
18．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解析：∵f(x)在[－2,2]上为偶函数，
∴∴－1≤m＜.
∴实数m的取值范围是.
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2．1 函数的概念和图象
函数的概念、定义域、值域和图象
“神舟七号”载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化；上网费用随着上网的时间变化而变化；近几十年来，出国旅游人数日益增多，考古学家推算古生物生活的年代……这些问题如何描述和研究呢？
1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是( )
答案：B
2．下列四组中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()4
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x－2
解析：选项A、C、D中两个函数的定义域不相同．
答案：B
3．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0?a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0?a＝－3，适合题意．
答案：A
4．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]
C．[a，b] D．[－a，a＋b]
答案：C
5．已知f(x)＝则f(2)＋f(－2)的值为( )
A．6 B．5
C．4 D．2
解析：f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝12＝1，
∴f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.
答案：B
6．函数y＝的定义域为________．
解析：利用解不等式组的方法求解．
要使函数有意义，需解得
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
7．函数f(x)＝的定义域是________
解析：由1－2x>0?x<.
答案：
8．已知f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
解析：∵f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a.
∴4＋2a＝4a?a＝2.
答案：2
9．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，值域为[1,2]，则f(x＋2)的定义域是________，值域是________．
解析：∵f(x)的定义域为[0,1]，∴0≤x＋2≤1，
∴－2≤x≤－1.即f(x＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1,2]．
答案：[－2，－1] [1,2]
10．对于每一个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是________．
解析：在同一坐标系中作出如下图象：图中实线部分为f(x)，则A的纵坐标为f(x)的最大值，
∴f(x)max＝.
答案：
11．方程x2－|x|＋a－1＝0有四个相异实根，求实数a的取值范围．
解析：原方程可化为x2－|x|－1＝－a，画出y＝x2－|x|－1的图象．
∵x≥0时，y＝－.
x＜0时，y＝－.
由图象可知，只有当－<－a<－1时，即a∈时，方程才有四个相异实根．
∴a的取值范围是.
12．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：∵|2x|＝2|x|，∴A满足；2x－|2x|＝2(x－|x|)∴B满足；－2x＝2(－x)，∴D满足；2x＋1≠2(x＋1)；∴C不满足．
答案：C
13．(2013·全国卷)已知f(x)的定义域为(－3,0)，则函数f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
解析：∵f(x)的定义域(－3,0)，∴－3<2x－1<0?－1答案：B
14．如左下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，H是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H与下降时间t(分钟)的函数关系用图象表示只可能是( )
答案：B
15．已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝______.
解析：f(x)＝，f＝，
f(x)＋f＝1.
∴f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝＋1＋1＋1＝.
答案：
16．已知函数f(3x＋2)的定义域是(－2,1)，则函数f(x2)－f的定义域为________
解析：∵f(3x＋2)的定义域为(－2,1)，
∴－2∴
∴－答案：(－，)
17．已知a∈，函数f(x)的定义域是(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)＋f(x)的定义域．
解析：由题设得
即
∵－∴0≤－a<，1≤1－a<，<1a≤1.
∴不等式组的解集为－a∴g(x)的定义域为(－a,1＋a]．
18．已知m，n∈N*，且f(m＋n)＝f(m)·f(n)，f(1)＝2.求＋＋…＋的值．
解析：∵f(1)＝2，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(m，n∈N*)，
∴对于任意x∈N*，有
f(x)＝f(x－1＋1)＝f(x－1)·f(1)＝2f(x－1)．
∴＝2，则＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2 011×2＝4 022.
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2．1 函数的概念和图象
2．1.2 函数的表示方法
要表示一种函数关系，可以有很多的方式，最直截了当的就是一一列出变量之间的所对应的数值．这种表示方法的好处就是一目了然，但不能容易地让人理解变量之间的对应规律．
要想能容易地让人理解变量之间的对应规律，可以使用图示的方式．用图来表示变量之间的依赖关系，可以很直观地说明这种依赖关系的很多性质．图示的缺点就是不能精确地给出数值，也不能精确地表达函数的性质．
最精确的表达方式是给出函数关系的解析表达式．有了解析表达式，就可以对已知数值进行确定的数学计算，从而得到未知量的精确数值．更进一步，通过对解析表达式的数学分析，可以得出函数性质的精确的表达．
这几种方法各有千秋，这是本节要学习的内容。
1．如图，在△AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动．设OE＝x，过E作OB的垂线l，记△AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
解析：当0≤x≤2时，S＝x2，排除B、C；
当2＜x≤3时，S＝×3×1－(x－3)2＝(－x2＋6x－6)；当x＞3时，S＝×3×1＝.
答案：D
2．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s，横轴表示该同学出发后的时间t，则比较符合该同学行进实际的是( )
解析：依题意：s表示该同学与学校的距离，t表示该同学出发后的时间，当t＝0时，s最远，排除A、B，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．选D.
答案：D
3．g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f＝( )
A．1 B．3 C．15 D．30
解析：由g(x)＝得：1－2x＝?x＝，代入得：
＝15.
答案：C
4．定义两种运算：ab＝，a?b＝，则函数f(x)＝的解析式为( )
A．f(x)＝，x∈[－2,0)∪(0,2]
B．f(x)＝，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．f(x)＝－，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．f(x)＝－，x∈[－2,0)∪(0,2]
解析：由题知2?x＝，
x?2＝，则f(x)＝，
又4－x2≥0，∴－2≤x≤2，
则f(x)＝＝－，－2≤x≤2，且x≠0.
答案：D
5．已知函数f(n)＝(n∈N*)，则f(5)＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：f(5)＝f[f(10)]＝f(7)＝f[f(12)]＝f(9)＝f[f(14)]＝f(11)＝11－3＝8.
答案：D
6．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x的解的个数为________．
解析：x>0时，x＝f(x)＝2；x≤0时，x2＋3x＝x?x＝0或－2.
答案：3个
7．已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y关于x的解析式是________．
答案：y＝x
8．若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24(a，b为常数)，则5a－b＝________.
解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3.
又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
∴?或
∴5a－b＝2.
答案：2
9．已知f＝，求f(x)的解析式．
解析：令＝t，则x＝，
∴f(t)＝＝，
∴f(x)＝.
由于t＝＝－1＋≠－1，∴f(x)＝(x≠－1)．
10．已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c
＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c.
∵f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，
∴9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.
比较两端系数，得
?
∴f(x)＝x2－4x＋8.
11．已知二次函数f(x)的图象经过A(0,2)，B(1.0)，C(3,2)三点，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把A，B，C三点坐标代入得?
∴f(x)＝x2－3x＋2.
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一位代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一位代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：当x＝56时，y＝5，排除C，D；当x＝57时，y＝6，排除A.∴只有B正确．
答案：B
13．任取x1、x2∈[a，b]且x1≠x2，若f＞[f(x1)＋f(x2)]，则f(x)在[a，b]上是凸函数，在以下图象中，是上凸函数的图象是( )
解析：只需在图形中任取自变量x1，x2，分别标出它们对应的函数值及对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．
答案：D
14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝A，C为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )
A．75,25 B．75.16
C．60,25 D．60,16
解析：由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f(4)＝＝30?C＝60，f(A)＝＝15?A＝16.
答案：D
15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为________，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x值是________
解析：f[g(1)]＝f(3)＝1，
当x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足；
当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝1，不满足．
∴x＝2.
答案：1 2
16．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．
解析：x＜1时，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0?x≤－2或0≤x＜1；x≥1时，f(x)≥1?4－≥1?≤3?x≤10?1≤x≤10.
∴x≤－2或0≤x≤10.
答案：(－∞，－2]∪[0,10]
17．定义运算a*b＝则对x∈R，函数f(x)＝x*(2－x)的解析式为f(x)＝________.
答案：
18．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图甲表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示：
t/天
5
15
20
30
Q/件
35
25
20
10
(1)根据提供的图象(图甲)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)在所给直角坐标系(图乙)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
解析：(1)根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为：
P＝
(2)描出实数对(t，Q)的对应点．
从图象发现：点(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kt＋b.
由点(5,35)，(30,10)确定出l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知，点(15,25)，(20,20)也在直线l上．
∴日销售量Q与时间t的一个函数关系式为
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N)．
(3)设日销售金额为y(元)，
则y＝
因此y＝
若0＜t＜25(t∈N)，则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30(t∈N)，则当t＝25时，ymax＝1 125.
因此第25天时销售金额最大．
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2．1 函数的概念和图象
2.1.4 映射的概念
函数实质上是定义域A(非空数集)到其值域B(非空数集)，按照某个对应法则f的一个对应，能否将函数的概念拓展为不是数集的对应？
1．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，如图，能表示集合A到集合B的映射的是( )
解析：因为象集为{y|1≤y≤2}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．
答案：D
2．已知f：A→B是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2＋2x－3，k∈B且k在A中没有原象，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－1,3)
C．[－4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4≥－4，即象集为[－4，＋∞)∴当k<－4时，k就没有原象．
答案：A
3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：M→N，在f作用下(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N为( )
A．{(x，y)|x＋y＝2，x>0，y>0}
B．{(x，y)|xy＝1，x>0，y>0}
C．{(x，y)|xy＝2，x<0，y<0}
D．{(x，y)|xy＝2，x>0，y>0}
解析：2x·2y＝2x＋y＝21＝2.
答案：D
4．给出以下对应：
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A到B的映射的是________(填序号)．
答案：(1)(2)(3)
5．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若5→5，且7→11，则当x→20时，x＝________.
解析：由?即y＝3x－10.当y＝20时，易得x＝10.
答案：10
6．从集合A＝{1,2,3,4}到B＝{5,6,7}可建立________个不同的映射．
解析：1选象有3种选法，同样的，2,3,4都有3种选象的方法且互不影响．
∴共有3×3×3×3＝81个不同映射．
答案：81
7．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．
解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.
答案：21 6
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c，2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．
解析：由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9，2c＋3d＝23,4d＝28，∴a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.
答案：6,4,1,7
9．某次数学考试中，学号为i(1≤i≤4，且i∈N)的四位同学的考试成绩f(i)∈{91,93,95,97,99}，且满足f(1)解析：若f(1)答案：15
10．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，已知m，n∈N*,1的象是4,7的原象是2，试求p，m，q，n的值．
解析：由题知 ∴p＝3，q＝1，
∴y＝3x＋1，
∴或
∵m，n∈N*，
∴(舍去)或
∴m＝5，n＝2.
∴p＝3，q＝1，n＝2，m＝5.
11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(x∈R)就是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)就是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对任意b∈B，它至多有一个原象．
其中正确命题是__________(写出所有正确命题序号)．
答案：②③
12．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y≥2}，x∈A，y∈B，对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，那么f：A→B是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射．
解析：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，即在f下，A中的元素变换成集合{y|y≥1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y≥2}，所以A中的部分元素x∈(0,2)在B中无对应元素．
所以f：A→B不是A到B的映射．
将B改为{y|y≥1}，A与f不变，则f：A→B成为A到B的一个映射．
13．由等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，求f(4,3,2,1)．
解析：为计算方便，在等式x4＋4x3＋3x2＋2x＋1＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4中，分别令x＝0，－1，－2,1得?
∴f(4,3,2,1)＝(0，－3,4，－1)．
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2．5 函数与方程
2.5.2 用二分法求方程的近似解
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何才能迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路，大约有200根电线杆，想一想，维修线路的工人师傅怎样工作才合理？
1．方程|x2－3|＝a的实数解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由图可知y＝|x2－3|与y＝a不可能是一个交点．
答案：A
2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0(aA．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
解析：画y＝f(x)的大致图象分析，也可取m，n，a，b的特殊值，很容易判断f(x)在(a，b)内可能有两个零点．
答案：C
3．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间无零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
解析：由二分法求函数零点的原理可知选D.
答案：D
4．奇函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的三个零点是x1，x2，x3，满足x1x2＋x2x3＋x3x1＝－2，则b＋c＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，∴b＝0，故f(x)＝x3＋cx有一个零点是0，不妨设x1＝0，则x2，x3是x2＋c＝0的二根，故x2x3＝c，由x1x2＋x2x3＋x3x1＝－2得c＝－2，故b＋c＝0－2＝－2.
答案：－2
5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12
10
－2
4
－5
－10
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有__________个．
解析：由表知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点．
答案：3
6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(a解析：画出草图，可知α答案：α7．电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是__________(只写出一个正确答案)．
答案：二分法
8．设x0是方程ax＝logax(0解析：在同一坐标系中作出函数y＝ax和y＝logax的图象，可以看出：
x0<1，logax0<1，∴x0>a，a答案：a
9．方程lnx＋2x＝6的根必定属于区间( )
A．(－2,1) B.
C. D.
解析：构造函数f(x)＝ln x＋2x－6，计算f＝ln 2.5－1<0，f(4)＝ln 4＋2>0，f·f(4)<0，故选B.
答案：B
10．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象交点个数为( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：在同一坐标系中作出f(x)＝2ln x和g(x)＝x2－4x＋5的图象，由图象可见它们有2个交点．
答案：B
11．(2013·湖南卷)借助计算器或计算机用二分法求方程440·x＝68的近似解．(精确到0.001)
解析：令f(x)＝440·x－68.
∵f(0)＝－68<0，f(1)>0，
说明方程f(x)＝0在区间(0,1)有一个解．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，
用计算器可算得f(0.5)>0.
因为f(0)·f(0.5)<0，所以x0∈(0,0.25)，
同理，可得x0∈(0,0.125)．
x0∈(0,0.062 5)，
x0∈(0.031 25,0.062 5)，
x0∈(0.046 875,0.062 5)，
x0∈(0.046 875,0.054 687 5)，
x0∈(0.046 875,0.050 781 25)，
x0∈(0.046 875,0.048 828 125)，
x0∈(0.047 851 562 5,0.048 828 125)．
由于|0.048 828 125－0.047 851 561 25|<0.001，
此时区间(0.047 851 562 5,0.048 828 125)的两个端点精确到0.001的近似值都是0.048，
所以方程440·x＝68精确到0.001的近似解约为0.048.
12．(1)方程2x3－6x2＋3＝0有几个解？如果有解，全部解的和为多少？
解析：(1)设函数f(x)＝2x3－6x2＋3，
因为f(－1)＝－5<0，f(0)＝3>0，f(1)＝－1<0，
f(2)＝－5<0，f(3)＝3>0且函数f(x)＝2x3－6x2＋3的图象是连续的曲线．
所以方程2x3－6x2＋3＝0有三个实数解．
∵f(－1)·f(0)<0，
∴在区间(－1,0)内有一个解．
取区间(－1,0)的中点x1＝－0.5，
用计算器可算得f(－0.5)＝1.25>0.
因为f(－1)·f(－0.5)<0，
所以x0∈(－1，－0.5)．
同时可得x0∈(－0.75，－0.5)，
x0∈(－0.75，－0.625)，
x0∈(－0.687 5，－0.625)，
x0∈(－0.656 25，－0.625)，
x0∈(－0.656 25，－0.640 625)，
x0∈(－0.648 437 5，－0.640 625)，
x0∈(－0.644 531 25，－0.640 625)．
由于|(－0.640 625)－(－0.644 531 25)|<0.01，
此时区间(－0.644 531 25，－0.640 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.64，所以方程2x3－6x2＋3＝0在区间(－1,0)且精确到0.01的近似解约为－0.64.
同理可求得方程2x3－6x2＋3＝0在区间(0,1)和(2,3)内且精确到0.01的近似解分别为0.83,2.81.
所以，方程2x3－6x2＋3＝0的三个解的和为－0.64＋0.83＋2.81＝3.
(2)探究方程2x3－6x2＋5＝0,2x3－6x2＋8＝0的全部解的和，你由此可以得出什么结论？
解析：(2)利用同样的方法可求得方程2x3－6x2＋5＝0和2x3－6x2＋8＝0的所有解的和也为3.
一般地，对于一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有三个根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－.
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2．5 函数与方程
2．5.1 函数的零点
已知二次函数y＝x2－2x－3，令y＝0即x2－2x－3＝0时，这是一元二次方程，那么这个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系？
1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f＝lg －<0，f(2)＝lg 2>0.
答案：D
2．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：：x≤0时由x2＋2x－3＝0?x＝－3；x>0时由－2＋lnx＝0?x＝e2.
答案：C
3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )
A．f(m－1)>0
B．f(m－1)<0
C．f(m－1)＝0
D．f(m－1)与0的大小不能确定
解析：结合图象易判断．
答案：A
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B. (－1,0)
C. (0,1) D．(1,2)
解析：因为f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以零点在区间(0,1)上，选C.
答案：C
5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________
解析：由4x－2x＋1－3＝0?(2x＋1)(2x－3)＝0?2x＝3, ∴x＝log23.
答案：log23
6．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点是__________．
解析：利用定义可求解．
答案：1，
7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．
解析：由零点定义可求解．
答案：3
8．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)，当2解析：根据f(2)＝loga2＋2－bf(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－4＝0，
∴x0∈(2,3)，故n＝2.
答案：2
9．证明：方程x·2x＝1至少有一个小于1的正根．
证明：令f(x)＝x·2x－1，
则f(x)在区间(－∞，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线．
当x＝0时，f(x)＝－1<0.当x＝1时，f(x)＝1>0.
f(0)·f(1)<0，故在(0,1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足010．求函数y＝(x2－x)2＋32(x－x2)＋60的零点．
解析：由(x2－x)2＋32(x－x2)＋60＝0得(x2－x－2)(x2－x－30)＝0?x2－x－2＝0或x2－x－30＝0，由x2－x－2＝0得x＝－1或2，由x2－x－30＝0得x＝－5或6，∴原函数的零点为－1,2，－5,6.
11．实数a，b，c是图象连续不断的函数y＝f(x)的定义域中的三个数，且满足aA．2个 B．奇数个
C．偶数个 D．至多2个
解析：由函数零点存在性判定定理并结合图象可得．
答案：C
12．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k的取值范围是________．
解析：y＝(x－1)3(x<2)递增，值域(－∞，1)，y＝(x≥2)递减，值域为(0,1]，若f(x)＝k有两不同实根，则k∈(0,1)．
答案：(0,1)
13．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则函数所有零点之和是__________．
解析：由偶函数图象对称性的特点，结合函数零点的定义可得．
答案：0
14．(2013·天津卷)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．
解析：由2x|log0.5x|－1＝0?|log0.5x|＝，画出y＝|log0.5x|和y＝的图象，可知它们有两个交点．
答案：2
15．求证：函数f(x)＝2x－在(0,1)内有且只有一个零点．
证明：f(x)＝2x－＝2x＋1－(x≠1)．
设－1＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－－＋＝－＋.
∵－1＜x1＜x2，
∴－＜0，x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.
∴－＋＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
而f(0)＝20－2＝－1<0，
f(1)＝21－＝>0，
即f(0)·f(1)<0.
所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点且只有一个零点．
16．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，试判断f(x1)和f(x2)的符号．
解析：由2x＋＝0?2x＝，分别画出g(x)＝2x和h(x)＝的图象，可见当x1∈(1，x0)时，h(x1)>g(x1)，∴f(x1)＝g(x1)－h(x1)<0；当x2∈(x0，＋∞)时，g(x2)>h(x2)，∴f(x2)＝g(x2)－h(x2)>0.
故f(x1)为负数，f(x2)为正数．
17．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求实数a的取值范围．
解析：令f(x)＝3x2－5x＋a，由已知：
即
解得：－12∴a的取值范围是{a|－12＜a＜0}．
18．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解析：(1)因为a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－x－3，所以x2－x－3＝x，解得f(x)的不动点为－1,3.
(2)函数f(x)恒有两个相异的不动点，即函数f(x)＝x，即ax2＋bx＋(b－1)＝0(a≠0)有两个零点．则Δ1＝b2－4a(b－1)>0(b∈R)恒成立，即b2－4ab＋4a>0(b∈R)，∴Δ2＝16a2－16a<0，解得0
数学·必修1(苏教版)
函数模型及其应用
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？
1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场( )
A．不赚不亏 B．赚了80元
C．亏了80元 D．赚了160元
解析：960＋960－－＝－80.
答案：C
2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________．
解析：设矩形长为x m，则宽为(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值．
答案：9 m2
3．在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为__________．
解析：溶液的浓度＝＝＝
c%，解得y＝x＝x.
答案：y＝x
4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售．这样仍可获得25%的纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y与原标价x之间的函数关系式为________
解析：由题意得20%y－0.75x＝0.7x×25%?y＝x.
答案：y＝x
5．如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则存x期后，y与x之间的函数关系是________．
解析：1期后y＝a＋ar＝a(1＋r)；
2期后y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；…归纳可得x期后y＝a(1＋r)x.
答案：y＝a(1＋r)x
6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为________万元．
解析：1年后价值为：a－ab%＝a(1－b%)，2年后价值为：a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2，
∴n年后价值为：a(1－b%)n.
答案：a(1－b%)n
7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示．
(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元；
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为__________；
(3)月用电量为260度时，应交电费__________元．
解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．
答案：(1)60 (2)y＝x＋10 (3)140
8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12 m3的部分
3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分
6元/m3
超过18 m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为__________m3.
解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则
y＝
即y＝
∴48＝6x－36，∴x＝14.
答案：14
9．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围．
解析：(1)y＝120×m·[1＋(2x)%]×(8%－x%)＝
－0.024m(x2＋42x－400)(0(2)－0.024m(x2＋42x－400)≥120×m×8%×78%，
即x2＋42x－88≤0，(x＋44)(x－2)≤0，
解得－44≤x≤2.
又∵010．
有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?
解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5,2.5)，C点的坐标为(10,0)，所以设抛物线的解析式为
y＝a(x－5)2＋2.5，①
把(10,0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5，
解得a＝－，y＝－(x－5)2＋2.5.
当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－(x－5)2＋2.5，
即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.
显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8.
OC－x＝10－8＝2.
故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部．
11．某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h)．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式．(注：收益＝实际电量×(实际电价－成本价))
解析：(1)设下调后的电价为x元/(kW·h)，依题意知用电量增至＋a(kW·h)．电力部门的收益为：y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
解析：(2)依题意有(x－0.3)≥[a(0.8－0.3)]×(1＋20%)且0.55≤x≤0.75.
整理得?0.60≤x≤0.75，即当电价最低定为0.60元/(kW·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
12．为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，求k的值及f(x)的表达式．
解析：设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝，而建造费为6x，故f(x)＝20×C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单
价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销
售量/桶
480
440
440
360
320
280
240
请根据上数据做出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解析：由表可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元之后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为：480－40(x－1)＝520－40x，由x>0和520－40x>0?0于是得：y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200.
由二次函数性质知，当x＝6.5时y有最大值，所以当单价定为11.5元/桶时，就可获得最大利润．
14．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x个，付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．
解析：由优惠办法(1)可得函数关系式为
y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N)，
由优惠办法(2)可得
y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N)，
对以上两种优惠办法作比较得
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，x∈N)．
令y1－y2＝0，得x＝34.
可知当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；
当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)更省钱；
当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)更省钱．
15．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
解析：设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为
y＝(20＋2x)(300－10x)
＝－20x2＋600x－200x＋6 000
＝－20(x2－20x＋100－100)＋6 000
＝－20(x－10)2＋8 000，
由此得到，当x＝10时，ymax＝8 000.
即每间租金为20＋10×2＝40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8 000元．
16．如图，△ABO为正三角形，直线x＝t截三角形△ABO左侧的阴影图形面积为S，当直线自左向右匀速移动时(0≤t≤a)，阴影图形面积S关于t的函数图象大致是( )
解析：由已知可求出S关于t的函数的关系式：
S＝
答案：A
17．
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地面上，y轴垂直于地面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程．
解析：(1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0得x＝＝≤＝10.
∴炮弹的最大射程为10千米．
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解析：(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2成立．即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，由Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6，此时k＝＝>0(不考虑另一根)．
∴当a不超过6千米，炮弹可以击中目标．
18．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间
t(小时)之间的函数关系式；
解析：(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0,0)、(0.1,1)，∴在t∈[0,0.1]时，表达式为y＝10t.
∵点(0.1,1)也在y＝上，∴a＝0.1
∴当t≥0.1时，y＝.
∴函数解析式y＝
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
解析：(2)依题意，如果学生进入教室，则有y＜0.25.
∴＜，即＜.
又∵y＝是减函数，
∴2t－0.2＞1.∴t＞0.6.
因此至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
