数学·必修1(苏教版)
函数的定义域、值域的综合应用
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．
分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．
解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝＝1，
即－＝1， ①
又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0， ②
又∵方程f(x)＝x有两个相等实根，
即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根．
∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0， ③
由①②③可得：
a＝－，b＝1，c＝0.
则f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤；
故3n≤，即n≤.
∴f(x)在[m，n]上单调递增，
假设存在满足条件的m，n，则：
?m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.
又m＜n≤，∴m＝－4，n＝0.
即存在m＝－4，n＝0，满足条件．
点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性．解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决．
?变式训练
1．若函数f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f(x)的保值区间，求函数f(x)＝(x－1)2＋1的保值区间．
解析：①当a
1时，定义域里有1，而值域里没有1，∴不可能；③当1≤a函数单调性和奇偶性的综合应用
奇函数f(x)是R上的减函数，对于任意实数x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范围．
分析：已知条件中给出函数不等式，故要考虑利用奇函数性质和单调性化为不含函数符号的不等式来求解．
解析：由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0得：
f(kx)＞－f(－x2＋x－2)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(kx)＞f(x2－x＋2)．
又∵f(x)在R上是减函数，
∴kx＜x2－x＋2.
即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立．
∴Δ＝(k＋1)2－4×2＜0，
解得－2－1＜k＜2－1.
点评：本题利用函数单调性与奇偶性将函数不等式f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0转化为kx＜x2－x＋2，是解决此题的关键．
?变式训练
2．定义在R上的函数f(x)满足f(0)≠0，且当x>0时，f(x)>1，对任意a，b∈R均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．
(1)求证：f(0)＝1.
证明：令a＝b＝0，得f(0)＝f2(0)，
又∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)求证：对任意x∈R，恒有f(x)>0.
证明：当x<0时，－x>0，
∴f(0)＝f(x)f(－x)＝1，
∴f(x)＝>0，
又∵x≥0时，f(x)≥1>0，
∴对任意x∈R，恒有f(x)>0.
(3)求证：f(x)是R上的增函数．
证明：设x10，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)f(x1)．
∵x2－x1>0，
∴f(x2－x1)>1，又f(x1)>0，
∴f(x2－x1)f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)．
∴f(x)是R上的增函数．
(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围．
解析：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)，又∵f(x)为增函数，∴3x－x2>0?0故x的取值范围是(0,3)．
二次函数的综合问题
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)．
求证：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不等的两实根，且必有一个实根属于(x1，x2)．
分析：证明方程有两实根考虑使用判别式，有一根在(x1，x2)可用函数零点的性质．
证明：由ax2＋bx＋c＝(ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c)得2ax2＋2bx－a(x＋x)－b(x1＋x2)＝0.
由a≠0，故此方程判别式
Δ＝(2b)2－4×2a[－a(x＋x)－b(x1＋x2)]
＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0.
∵x1＜x2，
∴2ax1＋b≠2ax2＋b.
∴Δ＞0.
∴方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不等的两实根．
令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
g(x)是二次函数，
则g(x1)·g(x2)＝·
＝－[f(x1)－f(x2)]2≤0.
∵f(x1)≠f(x2)，
∴g(x1)·g(x2)＜0.
∴g(x)＝0的根必有一个属于(x1，x2)．
点评：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，才能用函数思想来研究方程和不等式．
?变式训练
3．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图象在y轴上截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x－2)＝f(－x－2)得对称轴方程为x＝－2，
∴＝－2, ①
由f(0)＝1得c＝1.②
由在x轴上截得线段长为得|x2－x1|＝＝＝.③
联立①②③可解得a＝，b＝，c＝1.
故f(x)＝x2＋x＋1.
数形结合与分类讨论的应用
对于函数f(x)＝x2＋ax－a＋1，存在x0∈[0,1]，使f(x0)＜0，求a的取值范围．
分析：(1)含参数的二次函数在指定区间上的函数值问题，通常先配方，再分情况进行讨论．
(2)由转化思想可知：f(x)＜0等价于x2＋1＜－a(x－1)．由数形结合可得出结果．
解析：解法一：f(x)的对称轴为：x＝－，
则：f(x)＝－－a＋1.
(1)当0≤－≤1，即－2≤a≤0时，
f(x0)＝f＝－－a＋1＜0
?a＞－2＋2或a＜－2－2，与－2≤a≤0矛盾．
(2)当－＞1，即a＜－2时，
f(x0)＝f(1)＝a＋1－a＋1＝2不可能小于0.
(3)当－＜0，即a＞0时，
f(x0)＝f(0)＝－a＋1＜0，解得a＞1.
综上：a＞1.
解法二：由f(x)＜0?x2＋1＜－a(x－1)，
令y1＝x2＋1，y2＝－a(x－1)，
作出函数y1，y2的图象，在x∈[0,1]上，当y2过点(0,1)及(1,2)时为极限位置．
由下图知：－a＜－1，∴a＞1.
点评：数形结合法解函数问题是将图象与数量紧密结合，这样做有助于理解题意，探求解题思路，检验结果．分类讨论法是对含参数或变量问题进行分类讨论．原则是不重复、不遗漏，逐类进行，但必须综合讨论结果，使步骤完整．
?变式训练
4．已知a＞0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞)
B.∪(1,4)
C.∪(1,2]
D.∪[4，＋∞)
解析：∵不等式x2－＜ax[x∈(－1,1)]恒成立，
∴当x∈(－1,1)时，图象y＝ax在y＝x2－的上方，
∴当a＞1时，a－1≥(－1)2－?1＜a≤2，
当0＜a＜1时，a1≥12－?≤a＜1，
综上可知：≤a＜1或1＜a≤2.
答案：C
转化与化归思想的应用
若函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
分析：经换元将函数转化为：f(t)＝t2＋2t－1.转化后应特别注意t的取值范围，以保证转化的等价性．ax的取值范围又与它的单调性有关．
解析：设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
当a＞1时，t∈，
∴ymax＝f(a)＝a2＋2a－1＝14，
解得：a＝3.
当0＜a＜1时，t∈，
ymax＝f＝＋2·－1＝14，
解得：a＝.
故所求a的取值为3或.
点评：指数函数与二次函数复合而成的初等函数，可以通过换元的方法转化为指数函数或二次函数．
?变式训练
5．若－3≤x≤－，求函数f(x)＝的最小值．
解析：由－3≤x≤－?≤log2x≤3?－≤log2≤2.
f(x)＝
＝－2alog2＝2－a2.
令t＝log2，则函数转化为g(t)＝(t－a)2－a2，t∈[－，2]．
当a<－时，[g(t)]min ＝g＝a＋.
当－≤a≤2时，[g(t)]min ＝g(a)＝－a2.
当a>2时，[g(t)]min ＝g(2)＝4－4a.检测卷参考答案
数学·必修1(苏教版)
章末过关检测卷(二)
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．若二次函数y＝f(x)满足f(5＋x)＝f(5－x)，且方程f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．5 B．10 C．20 D.
解析：∵f(x＋5)＝f(5－x)，∴f(x)的对称轴为x0＝5，x1＋x2＝2x0＝10.
答案：B
2．下列函数为偶函数的是( )
A．y＝x2＋x B．y＝－x3
C．y＝ex D．y＝ln
解析：选项A，C为非奇非偶函数，选项B为奇函数．
答案：D
3．若2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为( )
A. B．4 C．1 D．4或1
解析：由题知?M＝4N，∴＝4.
答案：B
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：由f(0)＝0得b＝－1.
∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：A
5．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是减函数且有最大值4，则f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且最小值为－4 B．增函数且最大值为－4
C．减函数且最小值为－4 D．减函数且最大值为－4
解析：奇函数的图象关于原点对称．
答案：C
6．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
6.1
2.9
－3.5
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析：∵f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内一定存在零点．
答案：C
7．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：选项A为奇函数，选项C，D在(0，＋∞)是减函数．
答案：B
8．下列函数中，是奇函数且定义域与值域相同的函数是( )
A．y＝(ex＋e－x) B．y＝lg
C．y＝－x3 D．y＝－|x|
解析：A项和D项为偶函数，B项和C项为奇函数，而B项的定义域与值域不同，只有C项的定义域和值域均为R.
答案：C
二、填空题(每题5分，共30分)
9．若关于x的方程x2－x－k＝0在(－1,1)上有实根，则k的取值范围是__________．
解析：k＝x2－x＝－，
x∈(－1,1)，k∈.
答案：
10．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
解析：∵y＝f(x)＋x2为奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，在此式中令x＝1得f(－1)＝－3.
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
答案：－1
11．函数y＝(x)2＋x＋1的单调增区间为__________．
解析：定义域为(0，＋∞)，令u＝ x，则y＝u2＋u＋1.u在(0，＋∞)上是减函数，而y在u∈上是减函数，
u＝x≤－，则x≤，即x≥.故原函数的单调增区间为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
解析：∵f(x)为奇函数，x≤0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，
由?－5由?x>5.
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
13．已知函数x＝ln π，y＝log52，z＝，则x，y，z从小到大排列为________．
解析：ln π>ln e＝1，y＝log52＝<，z＝＝，<<1.∴y答案：y14．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是奇函数，则实数a＝________.
解析：由条件知，g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，故g(0)＝0，得a＝－1.
答案：－1
三、解答题(共80分)
15．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
∴x＝1时，f(x)的最小值为1；
x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解析：(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，－a≤－5或－a≥5，∴a≥5或a≤－5.
即a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
16．(12分)已知函数f(x)＝(b≠0，a＞0)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
解析：(1)f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
(2)若f(1)＝，log3(4a－b)＝log24，求a，b的值．
解析：(2)由f(1)＝＝，则a－2b＋1＝0，
又log3(4a－b)＝log24＝1，即4a－b＝3.
由解得a＝1，b＝1.
17.(14分)对于函数f(x)，若存在x0∈R使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
解析：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，
由f(x)＝x?x2－2x－3＝0?x＝－1或x＝3，
∴f(x)的不动点为－1和3.
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解析：(2)由题设知ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，即为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，∴Δ＝b2－4a(b－1)>0?b2－4ab＋4a>0恒成立．
∴(－4a)2－4×4a<0?0故a的取值范围是(0,1)．
18．(14分)设海拔x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．
解析：将x＝0，y＝1.01×105；x＝1 000 , y＝0.90×105, 代入
y＝cekx得：
?
将①代入②得：
0．90×105＝1.01×105e1 000k?k＝×ln，
计算得：k＝－1.15×10－4.
∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将 x＝600 代入，得：y＝1.01×105×，
计算得：y＝0.943×105(Pa)．
答：在600 m高空的大气压约为0.943×105Pa.
19.(14分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1、1.2、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
解析：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．
设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根据已知有
和解得
和
所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f(4)＝1.3，g(4)＝1.35.
显然g(4)更接近于1.37，故选用y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
20．(14分)已知函数f(x)＝3x2－6x－5.
(1)设g(x)＝f(x)－2x2＋mx，其中m∈R，求g(x)在[1,3]上的最小值；
解析：(1)g(x)＝x2＋(m－6)x－5，
对称轴方程为x＝，分<1,1≤≤3，>3三种情况分类讨论，易得，
gmin(x)＝
(2)若对于任意的a∈[1,2]，关于x的不等式f(x)≤x2－(2a＋6)x＋a＋b在区间[1,3]上恒成立，求实数b的取值范围．
解析：(2)不等式可化为2x2＋2ax－(a＋b＋5)≤0，
令φ(x)＝2x2＋2ax－(a＋b＋5)，对称轴x＝－.
由已知得－∈，∴φmax(x)＝φ(3)＝5a－b＋13，
∴只要当a∈[1,2]时，5a－b＋13≤0恒成立即可，
而当a∈[1,2]时，b≥5a＋13恒成立，
∴b的取值范围是[23，＋∞)．
