数学·必修1(苏教版)
元素与集合的关系
已知A＝{x|x＝m＋n·，m，n∈Z}．
(1)设x1＝，x2＝，x3＝(1－3)2，试判断x1，x2，x3与A之间的关系；
(2)任取x1，x2∈A，试判断x1＋x2，x1·x2与A之间的关系；
(3)能否找到x0∈A，使∈A，且|x0|≠1?
分析：分清楚集合A中元素具备什么形式．
解析：(1)由于x1＝＝3＋2，则x1∈A，
由于x2＝＝＝－1＋2，
则x2∈A，由于x3＝(1－3)2＝19－6，
则x3∈A.
(2)由于x1，x2∈A，
设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2·(其中m1，n1，m2，n2∈Z)．
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，
其中m1＋m2，n1＋n2∈Z，则x1＋x2∈A.
由于x1x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m1n2＋m2n1)·，
其中m1m2＋2n1n2，m1n2＋m2n1∈Z，则x1x2∈A.
(3)假设能找到x0＝m0＋n0∈A(其中m0，n0∈Z)符合题意，则：
＝＝＋·∈A，
则∈Z，∈Z .
于是，可取m0＝n0＝1，则能找到x0＝－1＋，又能满足|x0|≠1，符合题意．
点评：解决是否存在的问题主要采用假设法：假设存在某数使结论成立，以此为基础进行推理．若出现矛盾，则否定假设，得出相反的结论；若推出合理的结果，则说明假设正确．这种方法可概括为“假设—推理—否定(肯定)假设—得出结论”．
?变式训练
1．设集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，任取x1∈B，x2∈C，则x1＋x2∈________，x1x2∈________，x1－x2∈________，x2－x1∈________.
(注：从A，B，C中选一个填空)
解析：设x1＝3m＋1，x2＝3n＋2，m，n∈Z，则x1＋x2＝3(m＋n＋1)∈A；x1x2＝9mn＋6m＋3n＋2＝3(3mn＋2m＋n)＋2∈C；x1－x2＝3m－3n－1＝3(m－n－1)＋2∈C；x2－x1＝3n－3m＋1＝3(n－m)＋1∈B.
答案：A C C B
2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来．
解析：(1)A＝?，则方程ax2－3x＋2＝0无实根，
即Δ＝9－8a<0，∴a>.
∴a的取值范围是.
(2)∵A中只有一个元素，
∴①a＝0时，A＝满足要求．
②a≠0时，
则方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实根．
故Δ＝9－8a＝0，
∴a＝，此时A＝满足要求．
综上可知：a＝0或a＝.
二、集合与集合的关系
A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，当B?A时，求实数p的取值范围．
分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．
解析：由已知解得，B＝.
又∵A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B?A，利用数轴．
∴－≤－1.
∴p≥4，即实数p的取值范围为{p|p≥4}．
点评：在解决两个数集包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．
三、集合的综合运算
已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}，B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{(x，y)|x－2y＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}．
(1)判断B、C、D间的关系；
(2)求A∩B.
分析：对集合B进行分解因式，读懂集合语言．
解析：(1)∵x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)，
∴B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}
＝{(x，y)|(x＋y)(x－2y)＝0}
＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}
＝{(x，y)|x－2y＝0}∪{(x，y)|x＋y＝0}＝C∪D.
(2)A∩B＝
＝
＝
或.
＝.
设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合?A(A∩B)＝________.
分析：首先简化集合A和B，再借助数轴求解．
解析：∵A＝{x|－4
3}，
∴A∩B＝{x|－4∴?A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
点评：解集合问题，重要的是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识解决．
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3．已知M，N为集合U的非空真子集，且M≠N，若M∩?UN＝?，则M∪N＝( )
A．M B．N
C．U D．?
答案：B
4．已知全集U＝{实数对(x，y)}，A＝，B＝{(x，y)|y＝3x－2}，求(?UA)∩B.
解析：A＝＝{(x，y)|y＝3x－2，且x≠2}，∴(?UA)∩B＝{(x，y)|x＝2，y＝4}＝{(2,4)}．
空集的地位和作用
已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0}，若A∩R＋＝?，则实数m的取值范围是________[其中R＋＝(0，＋∞)]．
分析：从方程的观点来看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1＝0的解集，而x＝0不是该方程的解，所以由A∩R＋＝?可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，解出m的范围即可．
解析：由于A∩R＋＝?和该方程没有零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，从而有
或Δ＝(m＋2)2－4<0，
解得m≥0或－4－4.
答案：{m|m＞－4}
点评：由于集合的联系性较强，应注意体会和提炼数学思想(如数形结合、方程思想和分类讨论思想)．
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5．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}
(1)若A∩B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
解析：(1)A∩B＝B?B?A，当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；当m＋1≤2m－1时，要使B?A，则?2≤m≤3.
综上，m的取值范围为{m|m≤3}．
(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足A∩B＝?.
当B≠?时，要使A∩B＝?，则必须或?m>4.
综上，m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
集合中的信息迁移题
约定“”与“?”是两个运算符号，其运算法则如下：对任意的a，b∈R，有ab＝a－b，a?b＝.设U＝{c|c＝(ab)＋(a?b)，－2分析：本题的难点在接受题中临时约定的运算符号及其运算法则，关键是要按照规定，把符号“?”与“?”表示的运算转化为通常的“＋，－，×，÷，…”等运算．然后化简集合U及A，最后再由补集的定义求出?UA.
解析：由－2(1)若a＝－1，b＝－1，
则c＝(ab)＋(a?b)
＝(－1)－(－1)＋＝－2；
(2)若a＝－1，b＝0，
则c＝(ab)＋(a?b)
＝(－1)－0＋＝－；
(3)若a＝0，b＝0，
则c＝(ab)＋(a?b)＝0－0＋＝0.
由(1)、(2)、(3)，可知U＝.
下面确定A：由－1可得，a＝0，b＝1，此时，
d＝2(ab)＋＝2×(0－1)＋＝－，所以A＝，所以?UA＝{0，－2}．
点评：在近几年的高考试题和各地的高中模拟考试试题中频频出现新定义型集合，这类问题的求解并不是很难，只要按照其定义方式求解即可．这类题的目的在于培养学生的创新能力、接受临时性定义的能力．
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6．设全集为U，A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：
A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，则(A*B)*A等于( )
A．A B．B
C．(?UA)∩B D．A∩?UB
解析：利用Venn图．
答案：B
7．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
B
c
c
b
c
B
d
d
b
b
D
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
c
d
c
a
c
c
a
d
a
d
a
d
那么d(ac)＝( )
A．a B．b C．c D．d
解析：有定义可得ac＝c，
∴d?(ac)＝d?c＝a.
答案：A
数学·必修1(苏教版)
章末过关检测卷(一)
第1章 集 合
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则( )
A．P?Q B．Q?P C．P??RQ D．Q??RP
解析：∵Q＝{x|－2答案：B
2．设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,4} B．{1,5} C．{2,4} D．{2,5}
解析：∵U＝{1,2,3,4,5，}，A∪B＝{1,3,5}，
∴?U(A∪B)＝{2,4}．
答案：C
3．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为( )
A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对
解析：分情况k＝0和k≠0.
答案：C
4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )
A．{(1,2)} B．(2,1)
C．{(2,1)} D．?
解析：A∩B是点集，即满足的解．
答案：C
5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
答案：D
6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3C．{a|3解析：?3≤a≤4.
答案：B
7．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|－1≤x≤0}，则A∪?UB等于( )
A．{x|x<－1或x>0} B．{x|x<－1或x>1}
C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－2或x≥0}
解析：?UB＝{x|x<－1或x>0}，
∴A∪?UB＝{x|x<－1或x>0}．
答案：A
8．已知A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
解析：A＝{x|x<0或x>2}，∴A∪B＝R.
答案：B
二、填空题(每题5分，共30分)
9．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈A，且x?A∩B}＝________.
解析：A＝{x|－43或x<1}，A∩B＝{x|3∴{x|x∈A且x?A∩B}＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
10．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝________.
答案：{1,3,5}
11．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是________．
解析：A的子集共有26＝64个，而{1,2,3}的子集共23＝8个，这8个均不满足S∩B≠?的条件，所以满足条件的S共有64－8＝56个．
答案：56个
12．已知集合A＝{(x，y)|ax－y2＋b＝0}，B＝{(x，y)|x2－ay＋b＝0}，且(1,2)∈A∩B，则a＝________，b＝__________.
解析：∵(1,2)∈A∩B.
∴?a＝，b＝.
答案：
13．设集合M＝，N＝，则M与N的关系是________．
解析：任取x∈M，则x＝＋＝＝＋∈N，而∈N，而?M，∴M?N.
答案：M N
14．某中小城市1 000户居民中，有彩电的有819户，有空调的有682户，彩电和空调二者都有的有535户，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：如图，有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．
答案：966
三、解答题(共80分)
15．(12分)A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解析：∵A∪B＝A，∴B?A，
当B＝?时，即a＝0时，显然满足条件．
当B≠?时，则B＝，A＝{1,2}，
∴＝1或＝2，从而a＝1或a＝2，
故集合C＝{0,1，2}．
16．(12分)已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.
(1)求A∪B，(?RA)∩B；
解析：(1)A∪B＝{x|1≤x＜10}，
(?RA)∩B＝{x|x＜1或x≥7}∩{x|2＜x＜10}
＝{x|7≤x＜10}．
(2)如果A∩C≠?，求a的取值范围．
解析：(2)当a＞1时，满足A∩C≠?.
因此a的取值范围是(1，＋∞)．
17.(14分)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，非空集合B＝{x|(x－a－1)(x－2a)<0}．若B?A，求实数a的取值范围．
解析：B ≠?，且B?A，∴
或
解得a>1或a≤－2或≤a<1.
∴a的取值范围是.
18．(14分)已知A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若a＝1，求A∩B；
解析：(1)当a＝1时，A＝{x|－3＜x＜5}．B＝{x|x＜－1或x＞5}.
∴A∩B＝{x|－3＜x＜－1}．
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解析：(2)∵A＝{x|a－4＜x＜a＋4}．B＝{x|x＜－1或x＞5}，又A∪B＝R，
∴?1＜a＜3.
∴所求实数a的取值范围是(1,3).
19.(14分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a取何值时，A∩B≠?与A∩C＝?同时成立．
解析：∵B＝{2,3}，C＝{2，－4}，
由A∩B≠?且A∩C＝?知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，
∴a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5，
当a＝－2时，A＝{3，－5}，适合A∩B≠?与A∩C＝?同时成立，
当a＝5时，A＝{2,3}，A∩C＝{2}≠?，故舍去．
所求a的值为－2.
20．(14分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a，a，a，a}满足：
(1)A∩B＝{a1，a4}；
(2)a1＋a4＝10；
(3)a1(4)A与B的所有元素之和为124.
求a1，a2，a3，a4.
解析：∵a1，a2，a3，a4∈N*，∴a≥a1，由A∩B＝{a1，a4}，必有a＝a1，即a1＝1，而由a1＋a4＝10得a4＝9，此时B＝{1，a，a，81}，由A∩B＝{1,9}可知a＝9或a＝9，可得a2＝3或a3＝3.
(1)若a2＝3，则3(2)若a3＝3，则a2＝2，此时所有元素之和为110≠124，不合题意．
综上，即得a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝9.
