向量的减法
教学目标:1.理解向量减法的含义,会做两个向量的差.
2.过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟,数学发展的过程及其思想.
教学过程:
一,情景创设与教学活动
问题1.向量的加法运算法则是什么
问题1.数的减法运算是如何定义的
二.数学建构
向量减法概念
三.数学运用
例1. 如图已知向量不共线,求做向量.
问题3:若知向量是共线向量,求作向量,由例1得到如果两个向量有相同的起点,则它们的差向量的作图方法是:
.
问题4:若,则成立,向量是否有成立 你能证明吗
例2. 如图,是平行四边形的对角线的交点,若,,
试证明..
例3.求证:当两个向量不共线时:
⑴
⑵
2.练习:练 1,2,3,4,5
四.课堂小结
1.向量减法是向量加法的逆运算.
2.向量减法的性质: 即,可把向量减法运算转化为向量加法的运算.
由于向量加减法都是用几何法(作图)来定义的,不管是三角形法则还是平行四边形法则与几何意义密不可分,因此,解决向量加法,减法问题,数形结合必不可少.
五.作业
4
课课练 1-8
PAGE
2课 题：1.2.1 任意角的三角函数（二）
学习目标：
1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.?
一、复习引入：
1._________叫做的正弦 记作： __________
_________叫做的余弦 记作： __________
________叫做的正切 记作： __________
________叫做的余切 记作： __________
________叫做的正割 记作： _________
_________叫做的余割 记作： _________
以上六种函数，统称为三角函数.
2.定义域：
y=sinx _________________;y=cosx______________________;
y=tanx___________________;y=cotx______________________;
y=secx___________________;y=cscx_______________________.
3.三角函数线
回忆如何作角的正弦，余弦，正切线.
二、知识准备：
1. 三角函数在各象限内的符号规律：
第一象限：
∴sin___0,cos___0,tan__0,cot____0,sec____0,csc___0
第二象限：
∴sin___0,cos___0,tan___0,cot___0,sec___0,csc___0
第三象限：
∴sin___0,cos___0,tan___0,cot___0,sec___0,csc___0
第四象限：
∴sin___0,cos___0,tan___0,cot___0,sec___0,csc___0
记忆法则：
_____________________________________________
2. 终边相同的角的同一三角函数值相等
诱导公式一
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、范例分析：
例1 确定下列三角函数值的符号?
(1)cos250° （2） （3）tan（－672°） (4)
例2 求下列三角函数的值
(1)sin1480°10′ (2) （3）.?
?
例3 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．
四、课堂练习：
1.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
2. .x取什么值时,有意义
3．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cos0 B：tansin0
C：coscot0 D：cotcsc0
5．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
6．已知，则为第几象限角？
六、课后作业：
课本P23 3，4（1），5，6（2），（4）苏教版必修4第一章 三角函数（第10课时） 江苏省睢宁高级中学2006-2-14
课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（二）
学习目标：
能熟练掌握诱导公式一至四，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
一、复习引入：
诱导公式一
公式二：
公式三：
公式四：
二、范例分析：
例1．化简：
例2．求证：
例3．求证
例4．已知．求：的值．
例5．已知,求:
的值.
备选例题1．已知的值．
备选例题2．已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值．
三、课堂练习及作业：
1．已知sin(+π)＝ －，则的值是（ ）
（A） (B) －2 (C)－ (D)±
2．，β，γ是三角形的三个内角，则下列各式中始终表示常数的是（ ）
（A）sin(+β)+sinγ (B)cos(β+γ)- cos
(C)sin(+γ)-cos(-β)tanβ (D)cos(2β+γ)+ cos2
3．已知，则的值等于 ．
4．求证．
5．设f(x)=， 求f ()的值．
1.2.3三角函数的诱导公式（二）第1页（共2页）苏教版必修4第一章 三角函数 江苏省西亭高级中学
课 题：1.1.2弧度制（一）
学习目标：
1.理解1弧度的角、弧度制的定义.?
2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.?
3.熟记特殊角的弧度数
一、问题情境：
度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？
规定_________________作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制.
二、知识准备：
1．定义：______________________________称为1弧度的角。它的单位是________, 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360=_______ rad ∴180=_________rad
∴ 1=____________rad
1rad=____________
三、范例分析：
例1 把化成弧度
例2 把化成度
熟记：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π
例3用弧度制表示：
1 终边在轴上的角的集合
2 终边在轴上的角的集合
3 终边在坐标轴上的角的集合
四、练习：
1.下列各对角中终边相同的角是( )
A.（ｋ∈Ｚ） B.－和π
C.－和 D.
2.若α＝－3，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 .
5.7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 .
6.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .
7.已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A∩B.
8.现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.
五、课后作业：书第10页 № 3,6,7
第2页（共3页）睢宁中学学案——高一数学 第三章 三角恒等变换
3.1.1两角和与差的余弦
教学目标:1.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；
2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；
3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
教学重点:余弦的差角公式的推导.
教学难点:余弦的差角公式的推导.
教学过程:
一、创设情境
1.能否用的三角函数与的三角函数来表示 如何表示
在直角坐标系中,以轴为始边分别作角,其终边分别与单位圆交于,,则 ,
设向量 ;
,
则
= ;
=
二、建构数学
1.两角差的余弦公式
2.两角和的余弦公式
〖思考〗”用代替”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义 你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗
说明:(1)两角和(差)的余弦公式体现的是角与角之间的关系 (2)公式中的角具有任意性;
三.数学应用
1.利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:
(1) (2)
2.利用两角和(差)的余弦公式,求.
3.已知,求的值.
练习:课本练习1,2,3
四.小结
1.熟练掌握并运用两角和(差)的余弦公式;
2.两角和(差)的余弦公式体现的是两个角之间的关系;
3.不一定成立.
五.作业
课本习题3.1(1)的1,2,3
3.1.2两角和与差的正弦(一)
教学目标:1.能用余弦的和差角公式推导出正弦的和差角公式,并从推导的过程中体会到化归思想的作用;
2.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的求值.
教学过程:
一、复习回顾
1.两角和(差)的余弦公式
2.(1)化简:= ;
(2)化简:= ;
(3)求值:= ;
(4)求值:= .
二、创设情境
1.对于上题(4)中的求值,能否不将其转化成两角和的余弦公式来计算 有没有两角和(差)的正弦公式
2.两角和正弦公式的推导:
三、建构数学
1.两角和的正弦公式
2.两角差的正弦公式
〖思考〗能不能利用同角三角函数的关系,从推导出 这样做有什么困难
四、数学应用
1.已知,求的值.
2.已知均为锐角,求的值.
练习:课本练习的1,2,3,4,5,6,7
3.求函数的最大值.
练习:
1.函数的最小值为 ;此时的集合为 ;
2.函数的周期为 ;最大值为 ;单调减区间为 ;
3.函数的最大值为 ;最小值 ;
4.函数(均为正数)的最小值为 .
四.小结
熟练掌握并运用两角和(差)的正弦公式;
五.作业
课本习题3.1(2)的1,2,3,4
3.1.2两角和与差的正弦(二)
教学目标:1.能用正弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简,求值,及恒等式证明;
2.进一步体会转化与变换的数学思想.
教学过程:
一、复习回顾
1.两角和(差)的余弦公式
2.两角和(差)的正弦公式
二、数学应用
1.求证:
2.求值:
3.已知求的值
4.已知都为锐角,,,求和的值
5.已知,求的值
四.小结
熟练掌握并运用两角和(差)的正弦公式;
五.作业
课本习题3.1(2)的5,6,7,8
3.1.3两角和与差的正切（1）
教学目标：会由正余弦的和差角公式推导出正切的和差角公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用。
教学过程：
一 问题情景：
回顾课本95页例2中求tan15o的过程，我们先分别求出sin15o和cos15o，再由同角三角函数的关系求出tan15o。问：能否由tan45o和tan30o直接求出tan15o？
二 学生活动：
1 回答上述问题
2 利用S(α+β)和C(α+β)，推导两角和与差的正切公式tan(α+β)和tan(α-β)。
三 建构数学：
tan(α+β)= ，（T(α+β)）； tan(α-β)= ，（T(α-β)）。
两角和与差的正切公式在结构上有什么特点？
四 数学应用：
例1 已知tanα,tanβ是方程x2+5x-6=0的两根，求tan(α+β)的值。
例2 求证：
例3 如图：三个相同的正方形相接，求证：α+β=。
五 练习：
课本104页 练习1，2，3，4，5
六 小结：
两角和与差的公式。
七 作业：课本105页 习题1，2，5，7。
3.1.3两角和与差的正切（2）
教学目标：能用正切的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
一 回顾：
T(α+β)和T(α-β)
二 数学应用：
例4 在斜三角形ABC中，求证：tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC
思考：一般的，当角A，B，C满足什么条件时，能使等式tanA + tanB + tanC= tanA tanB tanC
成立？
例5 如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45o，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD。
例6 课本106页 11
三 练习：
课本105页 练习1，2，3，4
四 小结：
熟练运用两角和与差的正切公式及其变形式。
五 作业：课本106页 习题3，4，6，8，9
3.2二倍角的三角函数（1）
教学目标：能从和角公式推导出倍角公式，理解化归思想在公式推导中的作用。
教学过程：
一 问题情景：
1 函数y=sinx与y=sin2x图象之间的位置关系。
2 角α的三角函数与角2α的三角函数之间有怎样的关系？
二 学生活动：
由S(α+β)，C(α+β)，T(α+β)公式中，令β=α可以得到的结果：
sin2α= ;cos2α= ;tan2α=
三 数学建构：
倍角公式：
sin2α= （S2α）；
cos2α= = = （C2α）；
tan2α= （T2α）。
四 数学应用：
例1 已知sinα=，α∈，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
例2 求证：
例3 化简
cos20ocos40ocos60ocos80o;
五 练习：
课本108页 练习1，2，3，4
思考：在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？
六 小结倍角公式及运用
七 作业：
课本110页 习题1，2，3，8。
3.2二倍角的三角函数（2）
教学目标：灵活运用二倍角公式进行三角恒等变换。
教学过程：
一 回顾：
二倍角公式
二 学生活动（数学应用）：
例1 化简
例2 求证：
例6.在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
三 练习：
课本110页 练习1，2，3。
四 小结：
二倍角公式进行三角恒等变换，体会化归转化思想和函数思想在解题中的应用。
五 作业：
课本 110页 习题 4，5，6，7。
3.3几个三角恒等式
教学目标：
1.通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发数学发现的欲望和信心
2．提高三角变换的能
3．了解积化和差、和差化积公式，以及万能公式、半角公式
教学过程；
一、问题情境
问题1：在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如
＋ =
同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如
你能探索出来么？
二、学生活动
思考并解决上述问题（根据需要教师加以指导）
注意证明过程中的代换与转化思想
问题2：你还能发现其他类似的恒等式么 ？
这组公式我们称为和差化积公式
问题3：你能证明它们么？（可以选择其中的2个证明）
问题4：前面我们探索并证明了和差化积公式，那么由它们你能发现并证明另外一组与之相对应的公式么？如还有其他的么？（可以选择其中的2个证明）
三、数学理论
和差化积公式：（1）
（2）
（3）
（4）
积化和差公式：（1）
（2）
（3）
（4）
了解万能公式课本P113 链结 ，半角公式P115 T3
小结：（1）各组公式的灵活应用
（2）转换与代换思想的应用
作业：课堂情况决定
复习与小结
教学目标：
1．理解本章的知识结构；
2．能够灵活的应用各组公式解决化简、求值和证明问题，以及简单的应用问题；
3．进一步理解从已知到未知的化归思想
教学过程：
一、复习回顾
本章的知识结构
二、例题讲解
例1．（1）化简
（2）
（3）已知，且，
求
例2．（1）证明：
（2）在△ABC中，
①求证：
②已知，求C的度数。
（3）探求
求值：
例3．已知函数y=，x∈R
（1） 求函数的最小正周期
（2） 求函数的最大值
例4．如图，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.
作业：课本P117，1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，
6课 题：1.2.1 任意角的三角函数（一）
学习目标：
1.理解并掌握各种三角函数的定义.?
2.理解三角函数线的定义并进行简单的应用.
一、问题情境：
我们已经学过锐角三角函数，知道它们都以锐角为自变量，以比值为函数值．怎样将锐角的三角函数推广到任意角？
二、知识准备
1． 三角函数概念
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是
r=___________________________.
规定：比值____________叫做的正弦，记作： sin=_____________.
比值____________叫做的余弦，记作： cos=_____________.
比值____________叫做的正切，记作： tan=_____________.
问题；对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)与P的位置选取是否有关系？___________________
当时，α的终边在_________轴上，终边上任意一点P的_________都等于0，所以
确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数
2．三角函数线
（1）有向线段及有向线段的数量
（2）三角函数线
正弦线：
余弦线：
正切线：
3.三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin
cos
tan
4．拓展
比值叫做的余切 记作：
比值叫做的正割 记作：
比值叫做的余割 记作：
三、范例分析
例1 课本例1
例2 试用三角函数线研究x,sinx,tanx(x为锐角)的大小关系.
四、课堂练习
1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
2.以5cm为单位长度作单位圆．分别作出 225°， 330°角的正弦线、余弦线、正切线，量出它们的长度，从而写出这些角的正弦值、余弦值、正切值．
3．课本P16 1，2
五、课后作业
课本P23 1，2（2）（4）苏教版必修4第一章 三角函数（第11课时） 江苏省西亭高级中学2006-2-12
课 题：1.2.3正弦、余弦的诱导公式（三）
学习目标：
能熟练掌握诱导公式五、六，并能进行简单的三角函数式的求值、化简及论证。
1、 复习引入：
公式1-4统称为同名变换诱导公式，它们具有怎样的特征？
2、 知识准备：
问题：角的终边有怎样的位置关系？________________________________
由三角函数的定义可以得到
公式五 公式六
说明（1）公式的记忆原则是__________________________________
(2)你能猜想角的诱导公式吗？
三、范例分析：
例1课本P22例4
例2
例3
例4
例5
四、课堂练习：
1．课本P23 1-4
2．求证：
五、作业：P24 15
1.2.3正弦、余弦的诱导公式（三）第2页（共2页）苏教版必修4第一章 三角函数 江苏省睢宁高级中学
课 题：1.2.2 同角三角函数的基本关系(三)
学习目标：
1．进一步熟练同角三角函数的基本关系式。
2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角恒等式的证明。
3．通过对三角恒等式的证明使学生了解证明的常用方法及各种方法的灵活性，培养学生灵活的思维能力和提高学生的运算变形能力。
一、复习引入：
1．“知二求一”的求值的两种题形（1）已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。（2）根据已知的三角函数值可以分象限讨论。
在化简求值类型中两种技巧的应用（1）开平方运算时的注意符号的正确处理，一般通过角所在的象限确定符号。（2）强调（指出）切化弦技巧：1分子、分母是正
余弦的一次（或二次）齐次式， 2“化1法”。
2．练习：已知，求
二、范例分析
例1已知
例2求证：
证一：
证二：
思考：图形证法，进一步的观察发现它们等于____________.
例3课课练P10 15
例4课课练P11 第16题
备选例题．若关于x的方程2cos2 x sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围.
三、课堂练习：
1．已知
2．求证：
3．课课练习题选讲
四、课后作业：本书P24 习题1.2 11、12
1．2．2同角三角函数基本关系式（三）第2页（共2页）向量的线形运算习题
1．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则
等于 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量反向，下列等式中成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则 （ ）
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
4．已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( )
A．3 B．－3 C．0 D．2
5．下列各式计算正确的有 （ ）
(1)(－7)6a=-42a (2)7(a+b)－8b=7a+15b
(3)a－2b+a+2b=2a (4)若a=m+n,b=4m+4n,则a∥b
A．1个 B．2个 C．3个? D．4个
6．下列各式叙述不正确的是 （ ）
A．若a≠λb,则a、b不共线(λ∈R) B．b=3a(a为非零向量),则a、b共线
C．若m=3a+4b,n=a+2b,则m∥n D．若a+b+c=0,则a+b=-c
7．在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是
.
8．一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为4 km/h,则河水的流速的大小为 .
9．已知菱形ABCD的边长为2,则|－+|=_____________
10．已知向量 是不共线向量，，问是否存在这样的实数使向量共线？
11．i、j是两个不共线的向量,已知=3i+2j，=i+λj, =-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.
PAGE
- 1 -单元复习
教学目标：
1. 掌握本单元知识（向量的坐标表示、向量的数量积、向量的应用）及相互联系，明了本单元的知识结构；
2. 能综合应用本单元的知识解决有关问题
教学过程：
一、复习回顾
平面向量的基本原理、坐标表示及运算、向量的数量积、向量的应用等
二、课前预习
1．（1）已知向量=（1，2），求与模相等，且夹角为45的向量.
（2）=（3，0），=（k，5）且与的夹角为，求k的值.
2. 已知分别是x轴、y轴方向的单位向量，
求证：四边形ABCD为平行四边形.
三、例题分析
1． 已知矩形相邻的两个顶点A（－1，3），B（－2，4），若点D在x轴上，求顶点C，D的坐标。
2．（1）已知=4，=3，且求。
（2）已知与夹角为120，||=4，||=2。如果与相互垂直，求实数k的值.
3．已知长度相等的三个非零向量满足，求每两个向量的夹角。
练习：1.已知A（－2，4），B（－3，1），C（－3，－4）且CM=3CA，CN=2CB
求点M、N的坐标及向量的坐标。
2． 已知等腰直角三角形ABC中，角C为直角，|AB|=2.求下列向量的数量积：
（1）AC·AB （2） CA·AB （3）BC·（CA+AB） （4）（AB－AC）·AC
3.已知的夹角为60，且（。求证：。
4．已知点A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），试用向量的方法求出AC和BD的交点的坐标.睢宁中学高一期中复习试题（A）
一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.的值是 （ ）
A. B.－ C. D.－
2.如图，向量＝a, ＝b, ＝,则向量等于 ( )
A. a＋b B. a－b
C. b－a D. 不确定
3.把函数y＝sin(2x＋)的图像上各点的横坐标变为原来的，再把所得图像向右平移，则 所 得 图 像 的 周 期 和 初 相 分 别 为 ( )
A.3π， B. ， C.， D.3π，
4. （ ）
A. B. C. D.
5. ,下列等式中恒成立的是 A. B.
C. D.
6.函数为增函数的区间是 ( )
A. B. C. D.
7.函数 的值域是 ( )
A. B. C. D.
8.已知,则的值是 ( )
A. B.－ C.2 D.－2
9.已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小正值为 （ ）.
A、 B、 C、 D、
10.设cos1000=k，则tan800是 （ ）
A、 B、
C、 D、
11.若函数 （A＞0，ω＞0）在处取最大值，则 （ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
12.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13.已知则_______.
14.若 ,则角的取值集合为____________.
15.已知函数,则使恒成立的最小正数c为 .
16.函数的定义域为____________.
17.若,则角的终边的位置在_______________.
18.若,则.
三、解答题 (本大题共6小题，共66分)
19.（本小题满分10分）求函数的定义域.
20.（本小题满分10分）化简
21.（本小题满分10分）求值
22.（本小题满分12分）已知,求的值
23.（本小题满分12分）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移(厘米)与摆动时间(秒)的函数关系为：
(I)作出它的图像(一个周期区间)；
(II)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？
(III)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
24.（本小题满分12分）已知函数（其中），求：
函数的最小正周期;
函数的单调区间;
函数图象的对称轴和对称中心．苏教版必修4第一章 三角函数 江苏省西亭高级中学
课 题：1.1.1 任意角（二）
学习目标：
1．巩固角的形成，正角、负角、零角等概念，熟练掌握掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示方法；
2．掌握所有与角终边相同的角（包括角）、象限角、终边在坐标轴上的角的表示方法；
3．体会运动变化观点，逐渐学会用动态观点分析解决问题；
一、复习引入：
1．角的概念的推广
“正角”_____________________
“负角”_________________________
“0角”__________________________
2．“象限角及轴线角”
3．终边相同的角
所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
S=___________________________________
二、范例分析：
例1写出终边在y轴上的角的集合.
解：终边在y正半轴、负半轴上所有角分别是：
探究：怎么将二者写成统一表达式？
引申1：写出所有轴上角的集合
引申2：写出四个象限角平分线上角的集合
例2．用集合的形式表示象限角
第一象限的角表示为______________________
第二象限的角表示为______________________
第三象限的角表示为______________________________
第四象限的角表示为______________________________
例3 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
例4 已知是第二象限角，问是第几象限角？2是第几象限角？分别加以说明。
\
三、练习及作业：
1.若Ａ＝｛α｜α＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ｝；
B＝｛α｜α＝ｋ·180°，ｋ∈Ｚ｝；
C＝｛α｜α＝ｋ·90°，ｋ∈Ｚ｝，则下列关系中正确的是( )
A.Ａ＝Ｂ＝Ｃ B.Ａ＝ＢＣ
C.ＡＢ＝Ｃ D.ＡＢＣ
2.若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.若α与β的终边互为反向延长线，则有( )
A.α＝β＋180° B.α＝β－180°
C.α＝－β D.α＝β＋（2ｋ＋1）180°，ｋ∈Ｚ
4.终边在第一或第三象限角的集合是 .
5.α为第四象限角，则2α在 .
6.角α＝45°＋ｋ·90°的终边在第 象限.
7.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界)
第3页（共3页）课题：平面向量的坐标运算
教学目标：掌握平面向量的正交分解及其坐标的意义与运算
教学重点：坐标的运算
教学难点：坐标的意义
教学过程：
1、 问题情境
问题1 平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数对（它的坐标）惟一表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，是否都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示？
问题2 若向量以原点为起点，则如何用坐标刻画向量？若向量不以原点为起点呢？
1、 学生活动
回答上述的问题
1、 建构数学
1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、Y轴方向相同的两个单位向量作为基底，则对于平面上的一个向量a有且只有
2．
问题3 的坐标吗？
1、 数学理论
由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得
1． 两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
1． 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，
1． 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
1、 数学应用
例题
例1 已知A（-1，3），B（1，-3），C（4，1），D（3，4），求向量OA，OB，AO，CD的坐标。
思考：四边形OCDA是平行四边形吗？
例2 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C、D的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。
例3 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P是直线P1P2上一点，且
（-1），求点P的坐标。
练习：P741—6。
1、 反思与小结
1．直角坐标平面内的每一个向量，都可以用一对有序实数对（它的坐标）表示惟一表示。
2．向量坐标运算的本质是向量的线性运算。
3．例3与P67的例4的区别与联系。
七．作业
P76-77 1、2、4、5、8、9。向量的数量积（2）
课 题：向量的数量积（2）
教学目的：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、情境:
复习引入：
(1)两个非零向量夹角的概念:
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
(3)“投影”的概念：
(4)向量的数量积的几何意义：
(5)两个向量的数量积的性质：
二、讲解新课：
（一）知识建构:
设向量,,和实数,则向量的数量积满足下列运算律:
（1） ；
（2） ；
（3） .
思考:向量的数量积满足结合律吗
（二）知识应用：
例1.已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角.
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
例3.四边形中， ，，，，且
，试问四边形是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
三、课堂练习：
1．已知,,与的夹角为，则·= ；
2．,,向量与的位置关系为 （ ）
（A）平行 （B）垂直 （C）夹角为 ?（D）不平行也不垂直
3．已知,,且与的夹角为，则 ＝ ；
四、小结：
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的性质解决相关问题.
五、作业
1.已知,,且与垂直，则的夹角是 ；
2．已知,,与之间的夹角为，那么向量的模为 ；
3.已知向量、的夹角为，||=2,||=1,则|+|·|-|=
4.已知||=1,| |=,(1)若∥,求·；(2)若、的夹角为，求|+|； (3)若-与垂直，求与的夹角.
5.设、是两个单位向量，其夹角为，求向量与的夹角.
6.对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.课 题：13.1三角函数的图象和性质（1）
教学目标：
1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，理解正、余弦、正切函数周期性的意义；
2会求一些简单三角函数的周期；；
3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
教学过程：
1、 复习引入：1。三角函数有那些性质？
二、知识准备：sin(x＋2kπ)= __________，cos(x＋2kπ)＝___________； (k∈Z)知：
周期性:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个_____________T，使得当x取__________________________ 时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，_____________ T叫做这个函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个__________________________，那么这个_____________就叫做f(x)的最小正周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝__________，
注意：
1体会定义中x取值的任意性
2并非所有的周期函数都有最小正周期
3无论是周期还是最小正周期，都是针对x而言的
三、范例分析
例1 课本例1
例2 课本例2
四、课堂练习
1、课本P27 1，2，3，4
2、求函数 y=|sinx| 的周期：
3、若函数y=sinx的周期为π ， 求 的值
4、求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=3sin(+)
五、课后作业
课本P46 1，10
《数学之友》, 《课课练》相关练习
课 题：13.2三角函数的图象和性质（2）
教学目的：
1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．
2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．
3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．
教学过程：
一、问题情境：
为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的函数的图象。怎样作出正弦函数的图象？
今天我们要研究怎样作正弦函数、余弦函数的图象，作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．
二、知识准备
1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
2．用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
3、阅读教材P27 -28
4、怎样作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象: 阅读教材P29
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
5．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，
常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
探究：
（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同
（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
6．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例2介绍方法
三、范例分析：
例1课本P31例1
例2 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， (2)y=-cosx，x∈[0，2π]，
例2 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：
四、课堂练习：P33 1，2，3
五、小结 本节课我们学习了用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数，余弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，并用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．
六、课后作业：P46 2
课 题：13.2三角函数的图象和性质（3）
教学目的：
1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性的意义；
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
教学过程：
一、复习引入：
1．怎样用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象、怎样作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象：
2、 y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做___________和_____________.
3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
（1）y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同
（2）将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式
二、知识准备：
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作：
y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝_____________，k∈Z时，取得最小值－1
(3)周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
(4)奇偶性
由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx
可知：y＝sinx为奇函数 y＝cosx为偶函数
∴正弦曲线关于_____________对称,余弦曲线_____________轴对称
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐_____，sinx的值由_____增大到_____.
当x∈［，］时，曲线逐渐______，sinx的值由____减小到_____
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间_______________________ (k∈Z)上都是增函数，
其值从－1增大到1；在每一个闭区间_____________________. (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间_____________. (k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间_____________. (k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
三、范例分析：
例1课本例2
例2 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
(1)y＝cosx＋1，x∈R；
(2)y＝sin2x，x∈R
例3求函数y＝－cosx的单调区间
四、课堂练习：
1．教材P33 4 、5、6、7：
2． 求下列函数的最值：
1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值
4．求下列函数的定义域：
1 y=lg(2sinx+1)+ 2 y=
五、小结 正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用，解决一些相关问题
六、课后作业：P46 3、4
课 题：1.3.2三角函数的图象和性质（4）
教学目的：
1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；
3掌握正弦函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
教学过程：
一、复习引入：
1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
3．定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，
分别记作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R
4．值域
正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1
5．周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
6．奇偶性
y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
7．单调性
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
二、范例分析：
例1不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)．
例2 求函数y＝的值域
例3f(x)＝sinx图象的对称轴是
例4(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin(－2x)在什么区间是减函数
三、课堂练习：
1函数y＝cos2（x－）＋sin2（x＋）－1是( )
A奇函数而不是偶函数 B偶函数而不是奇函数
C奇函数且是偶函数 D非奇非偶函数
2函数y＝sin（2x＋）图象的一条对称轴方程是( )
Ax＝－ Bx＝－ Cx＝ Dx＝
3函数y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 ．
4函数y＝sin2xtanx的值域为
5函数y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值为( )
A0 B －1 Cπ D
6求函数y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期
7求函数f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值
8已知f（x）＝，问x在［0，π］上取什么值时，f（x）取到最大值和最小值
四、小结 在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误
五、课后作业：
课 题： 1.3.2三角函数的图象和性质（5）
教学目的：
1．理解并掌握作正切函数图象的方法．
2．理解并掌握用正切函数的图象解最简三角不等式的方法．
教学过程：
一、复习引入：
正切线：
首先练习正切线，画出下列各角的正切线：
正切线是AT．
现在我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：
正切函数的图象：
1．首先考虑定义域：
2．为了研究方便，再考虑一下它的周期：
阅读教材P33-34回答下列问题：
正切函数的性质：
1．定义域：
2．值域：
3．观察：当从小于，时，
当从大于，时，
4．周期性：
5．奇偶性：是 函数
6．单调性：在开区间 内，函数单调递增
三、范例分析：
例1比较与的大小
例2讨论函数的性质
例3求函数y＝的定义域
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
四、课堂练习：1、教材P35 1、2、3、4
2函数y＝tan（ax＋）（a≠0）的最小正周期为( )
3函数y＝sinx＋tanx，x∈［－，］的值域为
4作出函数y＝｜tanx｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间
五、小结 本节课我们研究了正切函数的图象和性质，并能在解题中应用
六、课后作业：
1正切函数在其定义域上有最值吗
．
2在下列函数中，同时满足的是( )
①在(0，)上递增；②以2π为周期；③是奇函数
Ay＝tanx By＝cosx
Cy＝tanx Dy＝－tanx
3函数y＝tan(2x＋)的图象被平行直线 隔开，与x轴交点的坐标是 与y轴交点的坐标是 ，周期是 ，定义域的集合是 ，值域的集合是 ，它是非奇非偶函数
4、教材P49 第9题
课 题：13.3函数y=Asin(ωx+φ) 的图象（1）
教学目的：
1理解振幅的定义及振幅变换和周期变换的规律;
2会用五点法画出函数y=Asinx和y=Asinωx的图象，明确A与ω对函数图象的影响作用；并会由y=Asinx的图象得出y=Asinx和y=Asinωx的图象
教学过程：
一、复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋)的函数解析式(其中A，ω，都是常数)下面我们讨论函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R的简图的画法
二、讲解新课：
例1画出函数y=2sinx xR；y=sinx xR的图象（简图）
解：画简图，我们用“五点法”∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：
x 0 2
sinx 0 1 0 -1 0
2sinx
sinx
作图：
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是 ;
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍而得(横坐标不变)
(2)y＝sinx，x∈R的值域是 ;
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍而得(横坐标不变)
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
2．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A
3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折
A称为振幅，这一变换称为振幅变换
例2 画出函数y=sin2x xR；y=sinx xR的图象（简图）
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图,在[0, ]上作图,列表：
2x 0 2
x
y=sin2x -1
作图
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，列表：
0 2
x 2
sin 1
作图
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的
(2)函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)而得到
引导, 观察启发: 与y=sinx的图象作比较
1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
三、课堂练习：
四、小结 通过本节学习,要理解并学会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换，即会画y＝Asinx，y＝sinωx的图象，并理解它们与y＝sinx之间的关系
五、课后作业：
1如果y＝cosx是增函数，且y＝sinx是减函数，那么x的终边在( )
A第一象限 Ｂ第二象限 Ｃ第三象限 Ｄ第四象限
2在［－π，π］上既是增函数，又是奇函数的是( )
Ay＝sinx Ｂy＝cosx Ｃy＝－sinx Ｄy＝sin2x
课 题：13.3函数y=Asin(ωx+φ) 的图象（2）
教学目的：
1理解相位变换中的有关概念；
2会用相位变换画出函数的图象；
3会用“五点法”画出y＝sin(x＋)的简图
教学过程：
一、复习引入：
1．振幅变换:y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02．周期变换:函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）．ω决定了函数的周期
我们随着学习三角函数的深入，还会遇到形如y＝sin(x＋)的三角函数，这种函数的图象又该如何得到呢 今天，我们一起来探讨一下
二、讲解新课：
例 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R y＝sin(x－)，x∈R的简图
解：列表
x -
x+
sin(x+)
描点画图
x
x－
sin(x–)
通过比较，发现：
(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向 平行移动个单位长度而得到
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向 平行移动个单位长度而得到
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
三、课堂练习：
1(1)y＝sin(x＋)是由y＝sinx向左平移 个单位得到的
(2)y＝sin(x－)是由y＝sinx向右平移 个单位得到的
(3)y＝sin(x－)是由y＝sin(x＋)向右平移 个单位得到的
2若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为( )
Ay＝sin(x＋) By＝sin(x＋) Cy＝sin(x－) Dy＝sin(x＋)－
3将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是( )
Ay＝sin(2x＋) By＝sin(2x－) Cy＝sin(2x＋) Dy＝sin(2x－)
4若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝ ；
四、小结 通过本节学习要理解并掌握相位变换画图象
五、课后作业：
1已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2，当x＝时取得最小值－2，那么( )
2如图，已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象(的部分)，则函数的表达式为( )
Ay＝2sin（）By＝2sin（）
Cy＝2sin（2x＋）Dy＝2sin（2x－)
3函数y＝2sin（）在一个周期内的三个“零点”横坐标是( )
课 题：13.3函数y=Asin(ωx+φ) 的图象（3）
教学目的：
1会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
2会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；
3会求一些函数的振幅、周期、最值等
教学过程：
一、复习引入：
1．振幅变换:
2．周期变换:
3 相位变换:
二、讲解新课：
例1 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图
解：(五点法)由T＝，得T＝π 列表：
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
即：y＝sinx y＝sin(x＋)
y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋)
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A倍(横坐标不变)
另外，注意一些物理量的概念:
A ：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；
ωx＋：称为相位x＝0时的相位 称为初相
例2已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图象，那么
Aω＝，＝ Bω＝，＝－ Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－
例3已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
Ay＝2sin(3x－) By＝2sin(3x＋) Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－)
三、课堂练习：
1已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式
2已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜）在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式
3若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是( )
Ay＝sin(2x＋)＋1 By＝sin(2x－)＋1
Cy＝sin(2x－)＋1 Dy＝sin(x＋)＋1
四、小结 平移法过程：
两种方法殊途同归
(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换
（2）y=sinx周期变换 y=sinωx相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换
五、课后作业P46 7、8
课 题：13.4三角函数的应用
教学目的：
1 。会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；
2．体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
教学过程
一、复习引入：
1．振幅变换:
2．周期变换:
3 相位变换:
2、 讲解新课：
例1教材P42例1
例2教材P43例2
例3教材P44例3
三、课堂练习：
练习1 如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+B
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式
评注：①本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，匠心独具
②此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，ω，φ和B，它们的计算方法为：
ω与周期有关，可通过T=求得，而关键一步在于如何确定φ？通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于φ的简单三角方程，但φ到底取何值值得考虑若得方程sinφ=，那么φ是取，还是取π呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上，若在上升的曲线上，φ就取，否则就取π，而不能同时取两个值
练习2 已知函数y=sin2x+cos2x-2
(1)用“五点法”作出函数在一个周期内的图象
(2)求这个函数的周期和单调区间
(3)求函数图象的对称轴方程
(4)说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的
练习3P45 1、2、3
四、小结 ：
五、课后作业P46 11、14
y
x
o
1
-1
y
x
o
1
-1
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
横坐标伸 长或缩短
横坐标 伸长或缩短
沿x轴平 移|φ|个单位
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=sinωx
得y=sin(x+φ)
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
横坐标不变
纵坐标变为 倍
横坐标变为 倍
纵坐标不变
左移 个单位
-1
1
o
x
y
PAGE
1苏教版必修4第一章 三角函数（第9课时） 江苏省西亭高级中学2006-2-15
课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（一）
学习目标：
1．通过本节内容的教学，使学生掌握180 +，-，180 -，角的正弦、余弦、正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦值的求解、三角函数奇偶性的判定；
2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.
一、复习引入：
由三角函数的定义可以得到这样的结论：终边相同角的三角函数值____________,故有
公式一:
公式（一）的作用：可以把任意角的正弦、余弦、正切化为________之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在________内找出与角终边相同的角，再把它写成公式（一）的形式，然后得出结果。
二、知识准备：
①如图，与-的终边位置关系是___________________
若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为__________（如图4-5-2）．由三角函数的定义，即可得
sin=y， cos=x, tan=
sin(-)=______, cos(-)=_________ tan(-)=________
根据三角函数定义有
公式二：
②与终边的位置关系是________________________
根据三角函数定义有
公式三：
③与终边的位置关系是________________________
根据三角函数定义有
公式四：
说明：（1）四组公式的记忆 +k·360 （k∈Z），-，180 ±，的三角函数值，等于的________，前面加上一个___________________符号．
(2)你能用公式二、三、四中的任意两组证另一组吗？
三、范例分析：
例1．求值： （1）sin；(2)cos（3）sin(－)；(4)tan (-15600)
例2．化简
例3．判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=1-cosx; (2)g(x)=x-sin3x （3） 课课练P8 11
四、课堂练习：
1.P21 1-3
2．求下式的值：2sin(－1110 ) －sin960 +
3．化简sin(－2)+cos(－2－π)·tan(2－4π)所得的结果是（ ）
（A）2sin2 (B)0 (C)－2sin2 (D) －1
五、作业：
1．P24 13，14，
2．当时，求的值．
1.2.3三角函数的诱导公式（一）第2页（共2页）向量的数量积（1）
课 题：向量的数量积（1）
教学目的：掌握向量的数量积及其几何意义；掌握向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、问题情境：
1.问题：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？
2.实例:一个物体在力的作用下发生了位移,那么该力对此物体所做的功为多少
力做的功：，是与的夹角.
二、讲解新课：
（一）概念形成与知识建构：
1．两个非零向量夹角: ，叫做向量与的夹角.
注：当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记.
2．平面向量数量积（或内积）的定义： ，记作，即，（０≤θ≤π）.规定与任何向量的数量积为0.
注:当与同向时，= ；当与反向时， ；
特别地, 或.
(二)探究：
两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别:
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，书写时符号“· ”不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.
(三)知识应用:
例1. 判断正误，并简要说明理由
①；②；③＝；④；⑤若，则对任一非零,有；⑥=０，则与至少有一个为；⑦对任意向量,,都有；⑧与是两个单位向量，则.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
例2. 已知向量与向量的夹角为,,,分别在下列条件下求:
(1) ； （2）； （3）∥； (4) .
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
三、课堂练习：课本:P80 练习:1、2、3
四、小结:
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质，并能运用它们解决相关的问题
五、作业：课本:P82 习题2.4:1、2、3、4、5
链接：课本:P79-80
（1）“投影”的概念和向量的数量积的几何意义；
（2）两个向量的数量积的性质.课题：向量平行的坐标表示
教学目标：理解用坐标表示的平面向量共线的条件，体会数形结合的思想。
教学重点：平面向量共线的条件简单应用
教学难点：平面向量共线的条件的证明
教学过程：
1、 问题情境
我们知道，对于两个非零向量，如果有一个实数，使，那么。
问题1 能否向量形式坐标化？即利用坐标关系来刻画向量共线？
二、学生活动
问题2 向量a=（1，4），b=（-2，8）是否平行？
问题3 设=（x1，y1）， =（x2，y2），x1，y1不同时为零，如果∥，那么相应向量的坐标有什么关系？如果x1y2-x2y1=0，那么向量有什么关系？
三、建构数学
数学语言表述上述结论
四、数学应用
例题
1．已知向量a=（4，3），b=（6，y），且a∥b，求实数y的值。
2．已知A（0，-2），B（2，2），C（3，4），求证：A、B、C三点共线。
3．已知a=（1，0），b=（2，1），当实数k为何值时，向量ka-b与a+3b平行？并确定此时它们时同向还是反向？
4．已知点O，A，B，C的坐标分别为（0，0）、（3，4）、（-1，2）、（1，1），是否存在常数t，使得成立，解释你所得结论的几何意义。
练习 P76 2
五、反思小结
1． 平面向量共线的条件：
设=（x1，y1）， =（x2，y2），（≠），如果∥，那么 x1y2-x2y1=0。反过来，如果x1y2-x2y1=0，那么∥。
2． 如果去掉≠的条件，结论是否成立？
六、课外作业
课本P77 3、6、7、10、11、12。课题：平面向量基本定理
教学目标：了解平面向量基本定理及其意义
教学重点：基本定理的简单应用
教学难点：基本定理的得出与证明
教学过程：
1、 问题情境
问题1 ABCD的对角线AC和BD交于点M，，试用基底a，b表示。
问题2 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？
问题3 相关的旧知是什么？（平面向量的共线定理）
2、 学生活动
回答上述问题
3、 数学建构
1． 由作图可得
2． 探索：对于向量，是否是惟一的一组？
4、 数学理论
1． 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。
2． 基底、正交分解等概念。
5、 数学应用
例题
1． 同步导学练P123 例1
已知三角形OAB中，点C和点B关于A对称，D是OB上靠近B的三等分点，设，用表示.
2． 例2 设是平面内的一组基底，如果
求证：A、B、D三点共线。
3． 同步导学练P123 例2
设是两个不共线的非零向量，记，，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？
练习
课本P71 1—4。
6、 反思与小结
1． 平面向量基本定理
2． 平面向量基本定理与向量共线定理的比较。
3． 三点共线的证明方法。
4． 练习3的基本图形与结论。
7、 作业
同步导学练123—124。苏教版必修4第一章 三角函数 江苏省西亭高级中学
课 题：1.1.2弧度制（二）
学习目标：
1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力
3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．
一、复习引入：
初中学过的弧长公式：l=_______________；
扇形面积公式:S=________________________.
二、知识准备：
1． 弧长公式：
由公式： l=_____________.
2．扇形面积公式 S=_________________.
证：
三、范例分析：
例1．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
例2． 直径为20cm的圆中，求下列各圆心角所对的弧长 ⑴ ⑵-
例3． 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
四、练习及作业：
1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍 D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2.时钟经过一小时，时针转过了( )
A. rad B.－ rad C. rad D.－rad
3.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( )
4.圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来
的 倍.
5.若α＝－216°，l＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l，半径为r).
6.在半径为的圆中，圆心角为周角的的角所对圆弧的长为 .
7.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.1∶8
8.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对圆心角α是( )
A.α＝ B.α＜ C.α＝ D.α＝120
9.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.
10.已知扇形AOB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则弦AB的长等
于 cm.
11.已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .
12.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.
13.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少
第3页（共3页）向量的概念及表示
教学目标：
1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；
2．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念
3．通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.
教学过程：
1、 情景创设与学生活动
问题1：湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？
O B
A
问题2：下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3：物理中，速度，力用什么表示？
2、 建构数学
1．向量的概念及表示
（1） 向量的定义：
（2） 向量的表示：
（3） 向量的大小及表示
（4） 零向量：
（5） 单位向量：
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
问题4：在平行四边形ABCD中，向量与CD，AB与DC有什么关系？
2、向量的关系
（1） 平行向量
（2） 相等向量
（3） 相反向量
问题5：1.向量能否平移？
2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？
3、 数学应用：
1．例题讲解
例1．下列命题中真命题是（ ）
A．任何两个非零向量的单位向量都是相等的向量
B．任何两个非零向量的单位向量是相等向量或互为相反向量
C．一个非零向量的单位向量有两个，它们互为相反向量
D．任何非零向量的单位向量的模相等
例2．判断下列命题中正确的是（ ）
（1） 已知∥，那么向量，的方向相同或相反
（2） 已知向量与向量CD是共线向量，那么四点A，B，C，D必在同一直线上；
（3） 任何两个向量必可比较大小
例3．已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：
（1） 试找出与FE共线的向量；
（2） 确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC向量相等么？
例4．如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？（AB除外）
2．练习：课本59页 练习及习题2.1 2
4、 课堂小结：
（1） 向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；
（2） 数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。数量是只有大小的量，而向量是既有大小又有方向的量；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模可以比较大小；记号“”是没有意义的，而||＞||才有意义。
五、作业课本59页 习题2.1 1，3，4，5苏教版必修4第一章 三角函数 江苏省睢宁高级中学
课 题：1.1.1 任意角
学习目标：
1．掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。
3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
一、问题情境：
1．复习：初中是如何定义角的？
2．情境：生活中很多实例会不在范围，你能举出一些吗？
3．问题：这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？
二、知识准备：
1．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由_______________，绕着______________________，就形成角α．___________________叫做角α的始边，____________________叫做角α的终边，___________________叫做角α的顶点．
⑵．“正角”与“负角”“0角”
我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，
特别地，当一条射线______________时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角.
⑶意义
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1 角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角
2．“象限角及轴线”
角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）
3．终边相同的角
⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同
⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和：
390=______+____360 330=______+_____360
⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
三、范例分析：
例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角
例2写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在间的角写出来：（1） （2） （3）。
四、课堂练习：
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？
2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．
五、练习及作业：书第10页习题1.1 № 1，2
1.下列命题中正确的是( )
A.终边在y轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同
2.与120°角终边相同的角是( )
A.－600°＋k·360°，ｋ∈Ｚ B.－120°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
C.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈Ｚ D.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ
3.若角α与β终边相同，则一定有( )
A.α＋β＝180° B.α＋β＝0°
C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z
4.与1840°终边相同的最小正角为 ，与－1840°终边相同的最小正角是 .
5.今天是星期一，100天后的那一天是星期 ，100天前的那一天是星期 .
6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).
7.在直角坐标系中，作出下列各角
(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°
8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．
求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.
9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.
(1)560°24′ （2）－560°24′ （3）2903°15′
(4)－2903°15′ （5）3900° （6）－3900°
区间角的关系.
第1页（共4页）苏教版必修4第一章 三角函数 江苏省睢宁高级中学
课 题：1.2.2 同角三角函数的基本关系(二)
学习目标：
1．进一步熟练同角三角函数的基本关系式。
2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简求值。
3．要求学生通过运用同角三角函数的基本关系化简求值，从中了解一些三角运算的基本
技巧。
一、复习拓展：
1.同角三角函数关系式
（1）平方关系：__________________
类似的有__________________,____________________
（2）商数关系：__________________,类似的有________________
(3 )倒数关系：_____________,____________,_______________
2．练习：已知
二、范例分析：
例1化简，其中是第二象限角。
练习：化简
总结：
例2已知，求
总结：
例3已知，求
变式：已知，求
三、课堂练习：
1． 化简：（1） （2）
2． 已知，求（1） （2）
（3）
3．已知 求
五、课后作业：书P24 习题1.2 9、10、18
PAGE
2向量的加法
教学目标：
1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和；
2．掌握两个向量加法的交换率和结合率，并会用它们进行向量运算.
教学过程：
一、情景创设和学生活动
问题1：利用向量的表示，从景点O到景点A的位移为OA，从景点A到景点B的位移为AB，那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB，向量OA，AB，OB三者之间有何关系？
O
B
A
问题2：一架飞机向北飞行200千米后，改变航向向东飞行200千米，飞机飞行的路程和位移分别是多少？
二、数学建构和数学理论
1． 向量减法的概念：（三角形法则）
问题3：数的加法运算有那些性质？向量的加法也有类似的性质么？你能验证么？
2． 向量加法的性质：
验证下面的性质：
（1） a＋0 = 0 ＋ a
（2） a ＋（－a）= （－a）＋ a = 0
（3） 加法满足交换率： a ＋ b = b ＋ a
（4） 加法满足结合率： （ a ＋ b） ＋ c = a ＋ （b ＋c ）
问题4：通过对 a ＋ b = b ＋ a 的验证能得到什么结论 ？
问题5：如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是多少？
三、数学应用
1．例题讲解
例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1） OA ＋ OC （2）BC ＋ FE （3） OA ＋ FE
例2．在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地度过长江，其航向应如何确定？
变式：若渡船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
例3．下列各式正确的是 （ ）
A．若a，b同向，则有| a | ＋ | b | = | a＋b |
B．a ＋ b 与| a | ＋ | b |表示的意义相同
C．若a，b不共线，则有| a ＋ b | ＞ | a | ＋ | b |
D．| a | ＜ | a ＋ b | 恒成立
3． 练习：63页 1，2，3，4
四、课堂小结：
向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，这两种运算是等价的。三角形法则要求参加运算的向量是依次“首尾相连”，平行四边形法则要求“共起点”.在实际运算中，可根据具体情况灵活选用.
五、作业： 68页 1，2，3苏教版必修4第一章 三角函数（第7课时） 江苏省睢宁高级中学
课 题：1.2.2 同角三角函数的基本关系(一)
学习目的：
1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式
2．正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值运算
3．通过利用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养学生融会贯通
前后数学知识的能力，进一步感受数学的整体性、连贯性。
一、问题情境：
1． 复习：
（1）任意角的三角函数的定义：
比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
比值叫做的正切 记作：
（2）三角函数的定义与点P在终边上的位置无关。
2．情境：计算下列各式的值：
=_______ = ________
=_________ ,tan =__________
=_________ ,tan =___________
3．问题：通过上述几个问题的计算，你能归纳出与，与，之间有什么关系吗？
二、知识准备
1．猜想： _____________________________________
2．理论证明：（采用定义）
3．注意点：
（1） 同角三角基本关系式，对一切恒成立；
仅对__________时成立，即三角恒等式就是指这个意义下的恒等式；
（2） 同角三角关系式反映的是“同角”三角函数之间的内在联系；这里的“同
角”与角的表达形式无关。如： ， 等。
（3） 应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，应注意他们的如下变形
形式：如，，
1=___________________
，.
（4） 同角三角函数基本关系式在三个方面的应用。
① “知二求一”即根据一个角的某一三角函数值，求出这个角的其他三
角函数值；
② 化简三角函数式；
③ 证明有关的三角恒等式。
三、范例分析
例1已知，且是第二象限角，求的值。
例2已知，求的值。
例3已知为非零实数，用表示，。
四、课堂练习
1． 已知，且是第三象限角，求的值。
2． 已知，求的值
3． 已知cos=a，求，tan的值
五、课后作业 课本第23页 习题第7、8题
PAGE
2向量数量积的坐标表示(3)
课 题：平面向量数量积的坐标表示(3)
教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示；⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式；⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
教学过程：
一、问题情境：
1．知识回顾:
(1)两个非零向量夹角的概念:
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
(3)平面向量数量积的运算律:
2.问题:
若两个向量，，如何用，的坐标来表示它们的数量积？
二、知识建构：
1.平面两向量数量积的坐标表示:
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 .
特别地, 设，则 ,即 .
2.平面内两点间的距离公式
思考:能否用向量方法推导出两点、间的距离公式
3. 两向量夹角的余弦（）
设两个非零向量，，它们的夹角是θ，由向量数量积的定义,可得
cos = ,
特别地，若，则；反之，若，则.
三、讲解范例：
例1.设 ， ，求.
例2.已知(1, 2)，(2, 3)，(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.
例3.已知 = (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9与 = 4的向量.
例4.已知＝（2，1），＝（3，－１），求与的夹角θ.
例5.在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC直角三角形，求k的值.
四、课堂练习：
课本P82:练习:1-8
五、小结:
两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示.
六、作业：
课本P83:习题:6-15向量的数乘
质点从O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用3a来表示。
这里，3a是何种运算的结果？
向量数乘的定义：
向量的数乘满足的运算律：
例一 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b。
例二 计算：
(1)3(a-b)-2(a+2b)
(2)2（2a+6b-3c）-3（-3a+4b-2c）
思考：向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？
练习p66 1、2、3、4
作业：习题2.2：5、6
（第二课时）向量共线定理
例三 如图D、E分别为三角形ABC的边AB，AC的中点，求证：BC与DE共线，并将DE用BC线性表示。
向量共线定理：
证明：
例四 如图三角形OAB中，C为直线AB上一点，AC= CB（ =-1）求证：OC= 。
思考：两个不共线向量可以表示平面内的任一向量吗？
练习：p68 1、2、3
作业：p68习题2.2 7、8、9
复习：
掌握本单元知识（向量的有关概念，向量的加法、减法和数乘运算，向量共线定理）及其相互联系，明了本单元的知识结构，能综合运用本单元的知识解决有关问题。
例题分析
例一：在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a，BC=b，AC=c，求向量a+b+c，a+b-c，b-a-c的模。
例二：已知由不共线向量u、v确定的三个向量a=u+v，b=3u-2v，c=2u+3v，若a=mb+nc，试求m，n的值。
例三：如图，AD、BE、CF分别是三角形ABC的中线，若AD=m，BC=a，试用m和a表示：（1）AB（2）CA（3）BE (4) CF
练习：p69 10、11
作业：p69 12、13向量的应用
教学目标：1.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
2.体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
教学过程
一．问题情境
回顾所学的向量:①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁;③向量也是解决许多物理问题的有力工具.
二.向量的应用
例1.如图所示,无弹性的细绳的一端分别固定在处,同质量的细绳下端系着一个称盘,且使得试分析三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)
例2.已知:,
求证:
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3.已知直线经过点和,用向量方法求的方程.
思考:把改为,我们如图可以得到证明三点共线的一种方法.
练习:1,2,4
小结:本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
作业:课本习题:2.5 1,2,3,4
PAGE
1睢宁高级中学
三角函数训练题
一、选择题
1若角α满足sinαcosα<0,cosα-sinα<0,则α在( )
A第一象限 B第二象限
C第三象限 D第四象限
2集合M={x|x=,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是( )
AMN BNM
CM=N DM∩N=
3已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )
A(1)、(2) B(2)、(3)
C(1)、(3) D(2)、(4)
4设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于( )
A B- C D-
5若cos(π+α)=-π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )
A- B C D±
6已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( )
A若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ
C若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
7已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A2 B C2sin1 Dsin2
8如果sinx+cosx=,且0A- B-或- C- D或-
9已知①1+cosα-sinβ+sinαsinβ=0,②1-cosα-cosβ+sinαcosβ=0则sinα的值为( )
A B C D
二、填空题
10tan300°+cot765°的值是_______
11已知tanα=3,则sin2α-3sinαcosα+4cos2α的值是______
12若扇形的中心角为,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______
13若θ满足cosθ>-,且sinθ<0,则角θ的取值集合是______
三、解答题
14 设一扇形的周长为C(C>0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？
15 设90°<α<180°,角α的终边上一点为P(x,),且cosα=x,
求sinα与tanα的值
16 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根，求
的值
17已知sinα-cosα= ,求cos4α+sin4α的值
18已知是第三象限角，且f()=
(1)化简f()
(2)若cos()=
PAGE
1睢宁中学高一期中复习试题（B）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分
1．已知，则角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．cos75·cos15的值是（ ）
A． B． C． D．
3．与向量=（12，5）平行的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（ ）
A. B. C. D .
5．若向量=（1，1），=（1，－1），=（－1，－2），则=（ ）
A． B． C． D．
6．已知=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为时，a有e方向上的投影长度为 （ ）
A．4 B．4 C．4 D．8+2
7. △ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程有一根为1，则△ABC一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
8．已知的值为 ( )
A．－2 B．2 C． D．－
9．设，，，当，且时，点在（ ）
A．线段AB上 B．直线AB上
C．直线AB上，但除去A点 D．直线AB上，但除去B点
10．函数y＝cos(－2x)的单调递增区间是 A．[kπ＋，kπ＋π] B．[kπ－π，kπ＋]
C．[2kπ＋，2kπ＋π] D．[2kπ－π，2kπ＋]（以上k∈Z）
11．把函数y=sin2x的图象按向量平移后得到函数的图象，则向量a可以是（ ）
A． B． C． D．
12.已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分
13．若=_______________.
14. = .
15．△ABC中，= .
16. 已知向量a＝（2，－1）与向量b共线，且满足a·b＝－10，则向量b＝_______________
17. 一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔顶的仰角为，由此处向铁塔的方向前进30m，测得铁塔顶的仰角为2，再向铁塔的方向前进，又测得铁塔顶的仰角为4．如果测量仪的高为1．5m，则铁塔的高为 m．
18. 给出下列四个命题：
①存在实数，使sin·cos=1；②是奇函数；③是函数的图象的一条对称轴；④函数的值域为.其中正确命题的序号是 .
三、解答题, 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.
19.(本题满分12分)
（1）已知，且是第二象限的角,求和;
（2）已知求的值.
20. (本题满分12分)
已知向量=()，=()．
(1)求的取值范围；
(2)若，求．
21. (本题满分14分)
已知是方程( p为常数)的两个根．
(1)求tan()；
(2)求．
(可利用的结论：)
22.利用向量数量积的运算证明：半圆上的圆周角是直角
23. (本题满分14分)是否存在实数，使得函数是奇函数，且在上是增函数？
如果存在请写出任意两个值，如果不存在请说明理由。