黑龙江省佳木斯市佳一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

佳一中2022—2023学年度高二下学期期中考试
数学试题
时间：120分钟 总分：150分
一．单选题（共8道小题，每题5分，共40分）
1．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
3．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，求（ ）
A．0.15 B．0.30 C．0.70 D．0.25
5．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
6．若曲线在上存在垂直y轴的切线，则实数m取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．直线分别与直线，曲线交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
8．一酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8．还知道A同学无论中午去几楼餐厅就餐，晚上选择在一楼与三楼就餐的概率均相等．那么，A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
二．多选题（共4道小题，每题5分，共20分）
9．如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
10．对任意实数x，有，则（ ）
A． B． C． D．
11．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）
A．4 个空位全都相邻的坐法有720种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种
C．4个空位均不相邻的坐法有1800种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种
12．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ）
A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为
B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手中有白、红球各1个的概率为
C．经过6次试验后试验停止的概率为
D．经过8次或9次试验后试验停止的概率最大
三．填空题（共4道小题，每题5分，共20分）
13．的展开式中常数项是______（用数字作答）．
14．从一个装有大小和质地相同的4个白球和2个黑球的袋子中，不放回地抽取两次，每次取一球，若第一次已经取到了白球，则第二次又取到白球的概率为______．
15．直线与曲线相切，则______．
16．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，每次从该口袋中不放回地任取一个球，拿出红球即停止摸球，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望______．
四．解答题（共6道大题，共70分）
17．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数．
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的期望和方差．
18．银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率．
19．设函数，其中，且．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中．
（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
21．学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天“得分不低于3分”的概率为，求p为何值时，取得最大值，并求出该最大值．
22．已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．
数学参考答案
1．B 2．A 3． C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D
ACD 10． AC 11． AC 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）由题可知，随机变量可能的取值有，
所以
分布列如下：
0 1 2
（2）．
18．解：（1） （2）
19．解：（1）当时，定义域为．
所以．当时，；当时，．
因此的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）因为，所以，即解得．
于是就是，即在上恒成立．
令，则．
当时，，所以，在上单增．
因此，．故实数的取值范围是．
20．（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A，“该考生报考乙
大学恰好通过一门笔试科目“为事件，
根据题意可得，
（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，
根据题意可知，，所以，，
，
，
．
则随机变量的分布列为：
0 1 2 3
，
若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，
所以，又因为，所以，
所以，的取值范围是．
21．（1）解：可取5，6，7，8，9，10，
，，
，，
，，
分布列如下：
5 6 7 8 9 10
所以；
（2）解：设一天得分不低于3分为事件，
则，
则恰有3天得分不低于3分的概率，
则
，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值为．
22．解：（1）函数的定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，设，则，
当时，，单调递增，，则恒成立，在上单调递增；
当时,令，解得，单调递减；令，解得，单调递增，∴，∴，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递增；
（2）依题意，，则，
两式相除得，，设，则，，，
∴，，
∴，
设，则，
设，则，
∴在单调递增，则，
∴，则在单调递增，
又，即，而，
∴，即的最大值为3．