数学·必修1(人教A版)
一、目标解读
函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．
函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．
函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．
本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．
指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．
通过本章的学习达到以下基本目标：
①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．
⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
⑦了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
⑧了解幂函数的概念，结合函数y＝xα (α＝1,2,3，，－1)的图象，了解它们的变化情况．
二、主干知识
(一)指数与指数幂的运算
1．整数指数幂的概念．
(1)正整数指数幂的意义：
(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．
(3)负整数指数幂：
a－n＝(a≠0，n∈N*)．
2．整数指数幂的运算性质：
①am·an＝am＋n；②(am)n＝amn；③(ab)n＝anbn.
3．如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞0，且n∈N*.
(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时a的n次方根用符号表示．
(2)方根的性质：①当n是奇数时，＝a；
②当n是偶数时，＝|a|＝
4．分数指数幂．
(1)正数的分数指数幂的意义：设a＞0，m，n∈N*，n＞1，规定
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
5．有理指数幂的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(二)指数函数及其性质
1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质(见下表)：
函数
y＝ax(a＞1)
y＝ax(0＜a＜1)
图象
定义域
R
R
值域
x＞0时，y＞1,
x＜0时，0＜y＜1
定点
过点(0,1)
过点(0,1)
单调性
单调递增
单调递减
(三)对数与对数运算
1．如果ax＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：
(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N；
(2)以无理数e＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数logeN简记为ln N.
2．指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.
3．对数的性质．
(1)在指数式中N＞0，故0和负数没有对数，即式子logaN中N必须大于0；
(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1，所以loga1＝0，即1的对数为0；
(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.
4．对数恒等式．
(1)如果把ab＝N中的b写成logaN形式，则有
(2)如果把x＝logaN中的N写成ax形式，则有logaax＝x.
5．对数的运算性质．
设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，简记为：积的对数＝对数的和；
(2)loga＝logaM－logaN，简记为：商的对数＝对数的差；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(四)对数函数及其性质
1．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象、性质(见下表)：
函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
图象
定义域
R＋
R＋
值域
R
R
单调性
增函数
减函数
过定点
(1,0)
(1,0)
(1)当a＞1时，若x＞1，则logax＞0，若0＜x＜1，则logax＜0；
(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则logax＞0，若x＞1，则logax＜0.
3．函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
(五)幂函数
1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．
3．幂函数的性质．
(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．
(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．
(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，图象为双曲线型；当α＝0,1时，图象为直线型．
1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
2．有理指数幂的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
答案：
?跟踪训练
解析：由平方差公式化简即得答案．
答案： －27
答案：－6a
3．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是________．
答案：
1．设a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x；alogaN＝N; logaax＝x.
2．设a>0，a≠1, M>0，N>0 ，则有
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，
(2)loga＝logaM－logaN，
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．设a>0，a≠1，b>0，b≠1，则logax＝.
设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A. B．10
C．20 D．100
解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，又∵m＞0，∴m＝.
答案：A
?跟踪训练
4．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：α＋1＝2，故α＝1，选B.
答案：B
5．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
答案：C
6．已知函数f(x)＝则f＝( )
A．4 B.
C．－4 D．－
7．设g(x)＝则g＝________.
解析：
答案：
1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是，过定点(0,1)．
当a>1时，指数函数y＝ax是R上的增函数；当0
2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域是，值域是R，过定点(1,0)．
当a>1时，对数函数y＝logax是上的增函数；当0 函数y＝的定义域为( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞)
解析：由log0.5(4x－3)＞0且4x－3＞0可解得＜x＜1，故A正确．
答案：A
?跟踪训练
8．函数y＝2x的图象大致是( )
答案：C
9．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：x－1＞0，得x＞1，选B.
答案：B
10．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案：A
研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．
设函数的集合P＝f(x)＝log2(x＋a)＋
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个
解析：当a＝0，b＝0；a＝0，b＝1；a＝，b＝0; a＝，b＝1；a＝1，b＝－1；a＝1，b＝1时满足题意，选B.
答案：B
?跟踪训练
11．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．
答案：B
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案：B
13．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.
解析：由条件知，g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，故g(0)＝0，得a＝－1.
答案：－1
数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．
一、数形结合思想
直线y＝1与曲线y＝x2－＋a有四个交点，则a的取值范围是 _______ .
解析：曲线y＝x2－|x|＋a关于y轴对称，当x≥0时，y＝x2－x＋a＝2＋a－，结合图象要使直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，需
解得1＜a＜.故a的取值范围是.
答案：
?跟踪训练
14．已知c＜0，下列不等式中成立的一个是( )
A．c＞2c B．c＞c
C．2c＜c D．2c＞c
解析：在同一直角坐标系下作出y＝x，y＝x，y＝2x的图象，显然c＜0时，x＜2x＜x，即c＜0时，c＜2c＜c.
答案：C
15．下列函数图象中，正确的是( )
答案：C
16．已知y＝f (x)是偶函数，当x>0时，y＝f (x)是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x)＝0的实根的个数是_________个．
答案：2
二、转化与化归的思想
设a＝，b＝，试比较a、b的大小．
解析：如果比较a－b与0或与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．
由于a、b两数的结构特点可构造函数f(x)＝，则a＝f(33)，b＝f(34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小．
f(x)＝＝＝
＝＋.
∵3x＋1在R上递增，∴在R上递减．
∴ f(x)＝＋在R上递减．
∴ f(33)＞f(34)，即a＞b.
?跟踪训练
17．解方程：(lg 2x)·(lg 3x)＝lg 2·lg 3.
解析：原方程可化为
(lg 2＋lg x)(lg 3＋lg x)＝lg 2·lg 3，
即lg2x＋lg 6·lg x＝0，
解得lg x＝0或lg x＝－lg 6.
∴x＝1或x＝，
经检验x＝1，x＝都是原方程的解．
∴原方程的解为x1＝1或 x2＝.
18．比较log0.30.1和log0.20.1的大小．
解析：log0.30.1＝＞0，
log0.20.1＝＞0.
∵log0.10.3＜log0.10.2，
∴log0.30.1＞log0.20.1.
19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3, 则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有 ______________ (填序号)．
答案：①②④
三、分类讨论思想
若a>0，且a≠1，p＝loga(a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系为( )
A．p＝q
B．pC．p>q
D．a>1时，p>q；0解析：要比较p、q的大小，只需先比较a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小的a值的分界点为使(a3＋a＋1)－(a2＋a＋1)＝a2(a－1)＝0的a值：a＝1，当a>1时，a3＋a＋1>a2＋a＋1，此时loga(a3＋a＋1)>loga(a2＋a＋1)，即p>q.
当0loga(a2＋a＋1)，即p>q.
可见，不论a>1还是0q.
答案：C
?跟踪训练
20．已知函数f(x)＝ 若f(a)＝，则a＝( )
A．－1 B.
C．－1或 D．1或－
解析：讨论a>0和a≤0两种情况．
答案：C
21．已知函数f(x)＝logax在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a等于( )
A. B.
C.或 D．不同于A、B、C答案
解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a的取值有关，故应对a进行分类讨论．
(1)当a>1时，f(x)在[2，π]上是增函数，最大值是f(π)，最小值是f(2)，据题意，f(π)－f(2)＝1，即logaπ－loga2＝1，∴a＝.
(2)当0∴a＝.
由(1)(2)知，选C.
答案： C
22．已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2试比较f(x)和g(x)的大小．
解析：f(x)－g(x)＝logx.
(1)当?x＞，或?0＜x＜1，
即x>或0g(x)．
(2)当＝1即x＝时，f(x)＝g(x)．
(3)当?1＜x＜，或?x∈?，即1综上所述：①当x∈(0,1)∪时，f(x)＞g(x)；
②当x＝时，f(x)＝g(x)；
③当x∈时，f(x)＜g(x)．
23．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
(1)求定义域；
(2)讨论函数的单调区间．
解析：(1)由ax－1＞0?ax＞1，当a＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a＜1时，函数定义域为(－∞，0)．
点评：底数含字母a，要进行分类讨论．
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2.2 对 数 函 数
2．2.1 对数与对数运算(一)
?基础达标
1．若x＝log27，则x等于( )
A．－ B．－
C. D.
2．对数式loga－2(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
3．若lg x＝0，则x＝________；若lg x＝1，则x＝________.
答案：1 10
4．若ln x＝1，则x＝______；若ln(ln x)＝0，则x＝______.
答案：e e
5．若log3＝0，则x＝________.
答案：－4
6．求下列对数式中x 的值：
(1)log2x＝－；
(2)logx3＝－.
?巩固提高
7．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
9．若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝__________.
1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实现化难为易，化繁为简．
2．进行化简求值变形时，必须紧扣对数的概念与对数的性质．
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2.2.2 对数与对数运算(二)
?基础达标
1．lg a与lg b互为相反数，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．ab＝1 D.＝1
答案：C
2．在log(a－2)2中，a的取值范围是________．
3．已知log5[log4(log3x)]＝0，则x＝________.
答案：81
4．求值：log23×log38＝________.
5．(log29)·(log34)＝( )
A. B. C．2 D．4
6．设lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )
A. B.
C. D.
?巩固提高
7．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2 lg 5的值是( )
A．4 B．1 C．6 D．3
答案：B
9．求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
10．求值：(log32＋log92)·(log43＋log83)．
1．条件代数式的求值问题包括以下三个方面：①若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手；②若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；③若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止．
2．利用换底公式统一对数的底数，即化异为同是处理含不同底的对数的常用方法．
3．在化简、求值、证明等问题中，要把换底公式与对数的运算性质结合起来．
4．有时需将对数式写成log35后解决有关问题．
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对数函数及其性质(一)
?基础达标
1．函数y＝的定义域是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
2．已知函数f(x)＝则f的值是( )
A．9 B. C．－9 D．－
3．y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为( )
A．a> B.C．a＞1 D.1
4．比较下列各小题中两个值的大小：
(1)log106 ______log108；
(2)log0.56______log0.54；
(3)log0.10.5______log0.10.6；
(4)log1.50.6 ______log1.50.4.
答案：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞
5．已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1)若log3m＜log3n，则m________n；
(2)若log0.3m＞log 0.3n，则m________n.
答案：(1)＜ (2)＜
6．比较下列各小题中两个值的大小：
(1)log20.3______0；(2)log0.75______0；
(3)log34______0; (4)log0.60.5______0.
答案：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞
?巩固提高
7．设函数f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )
解析：由f(3)g(3)＜0，故可排除B、D，
又∵f(x)与g(x)单调性必相同，
故选C.
答案：C
8．(1)若logab>0，则a，b的取值范围是__________或____________；
(2)若logab<0，则a，b的取值范围是__________或______________．
答案：(1)a，b∈(0,1) a，b∈(1，＋∞)
(2)a∈(0,1)，b∈(1，＋∞) b∈(0,1)，a∈(1，＋∞)
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)y＝；
(3)y＝log(x－1)(16－4x)．
1．对数函数的概念和意义，常见对数函数的图象．
2．对数函数的性质(定义域、奇偶性、单调性等)的研究．
3．体会研究具体函数及其性质的过程与方法(如数形结合、由具体到一般等)．
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对数函数及其性质(二)
?基础达标
1．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点( )
A．(1,0) B．(0,1)
C. D.
答案：A
答案：①(－∞，－1) ②(1，＋∞)
3．已知函数y＝log4x，则：
①当y＞时，x∈__________；
②当1＜y＜2时，x∈__________.
答案：①(2，＋∞) ②(4,16)
4．函数y＝()x的反函数是____________；函数y＝ln x的反函数是____________．
答案：
5．当a>1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只能是( )
解析：取a＝2知，A，C，D不正确．故选B.
答案：B
解析：
答案：
?巩固提高
7．图中曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案：A
8．函数f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)的图象必不过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
9．作y＝|lg x|和y＝lg|x|的图象．
分析：由图象的对称变换可得函数y＝|lg x|与y＝lg |x|的图象．
解析：分别作出y＝lg|x|和y＝|lg x|的图象，如图(1)和图(2)所示．
点评：y＝lg|x|为偶函数，从而图象关于y轴对称．
y＝|lg x|的值域为[0，＋∞)，从而把y＝lg x，x轴下方的图象翻折到x轴上方．
10．已知：f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；
(3)若f(x)在(1，＋∞)内恒为正，试比较a－b与1的大小．
解析：
(2)设x2＞x1＞0，a＞1＞b＞0，
∴f(x2)－f(x1)＝
∴f(x2)＞f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)是增函数．
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，要使f(x)＞0，
须f(1)≥0，则a－b≥1.
1．处理与反函数有关的问题时，只需清楚指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
2．在指定区间上研究对数函数的性质时，一定要结合相应函数的图象．
3．处理含对数式的复合函数时，应弄清它是由哪些基本函数复合而成的．
4．对数函数的性质是一般函数性质的具体化，研究与对数函数相关的函数性质时，要注意底数和真数的限制条件．
5．紧紧抓住函数的图象，以及函数图象的变换是处理较复杂函数的最好方法.
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2.3 幂 函 数
2．3.1 幂函数的图象、性质与应用
?基础达标
1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )
A．y＝－x3 B．y＝x－3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
答案：B
答案：B
3．函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A. B．－ C．4 D．－4
答案：①＜ ②＜ ③＞ ④＜
答案：A
?巩固提高
8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y＝xα的图象是一条直线；(2)幂函数y＝xα的图象都经过(0,0)和(1,1)点，则正确的判断是( )
A．(1)对(2)错 B．(1)错(2)对
C．(1)(2)都错 D．(1)(2)都对
答案:C
9．上图所示的曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，，2四个值，则相应图象依次为：______.
答案:C4，C2，C3，C1
10．设f(x)＝(a－3)x(a＋1)(a－2)，当a为何值时，
(1)f(x)为常数函数？
(2)f(x)为幂函数？
(3)f(x)为正比例函数？
答案:
1．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．
2．将幂指式写成可以看出x的取值范围．
3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性.
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2.3.2 幂函数(习题课)
?基础达标
1．设函数y＝x|x|，x∈R，则此函数( )
A．是奇函数又是减函数
B．是偶函数又是增函数
C．是奇函数又是增函数
D．是偶函数又是减函数
解析：∵y＝x|x|＝
答案：C
答案：B
3．函数y＝的递增区间是__________ .
答案：[－1，＋∞)
4．函数y＝的定义域是________，在区间________上是减函数．
答案：{x|x∈R，x≠0} (0，＋∞)
5．若幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则这个函数的解析式为________．
答案：
6．若函数f(x)＝(t＋2)xt－1是幂函数，则这个函数的解析式为__________．
解析：t＋2＝1，∴t＝－1，
∴f(x)＝x－2.
答案：f(x)＝x－2
7．用描点法作出幂函数y＝xα的图象，并说明函数的定义域和单调性．
分析：首先作出函数的图象，根据图象研究其性质．
解析：五个幂函数的图象如下图所示．
(1)y＝x－1的定义域为{x|x∈R，x≠0}，
在区间(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减．
(2)y＝x定义域为R，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．
(4)y＝x2的定义域为R，在区间(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(5)y＝x3的定义域为R，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．
点评：
?巩固提高
点评：①②③④⑤
9．函数y＝的递减区间是________．
(1)指出函数的定义域和值域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)指出函数的递增区间和递减区间．
答案：(1)定义域是R，值域是[0，＋∞)
(2)偶函数
(3)[0，＋∞)是递增区间，(－∞，0]是递减区间
1．研究与幂函数相关的函数的性质时，应抓住图象的变化规律，应用图象研究性质．
2．由幂函数与其他函数复合而成的函数，要清楚复合的过程．
3．注意函数性质的综合应用.
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本章概述
学习内容
1.指数函数
(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景．
(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
2．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．
(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．
(3)了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
3．幂函数
通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝xα的图象，了解它们的变化情况．
4．学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题
(1)指数幂的学习，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，理解有理指数幂及其运算性质，了解实数指数幂的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．
(2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
(3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.
知识结构
2.1 指 数 函 数
2．1.1 指数与指数幂的运算(一)
?基础达标
1．化简下列各式：
(1) ＝______________；
答案：π－3
(2) ＝______________.
答案：a2
答案：C
解析：＝
＝21－2n＋6＝27－2n
＝2n－7.
答案：D
5．设a≥0，化简：＝____________ ，由此推广可得：＝________(m，n，p∈N*)．
答案：a2 am
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6．若8＜x<12，则＋＝_______________________________________________________.
解析：＋(∵8＜x＜12)＝x－8＋12－x＝4.
答案：4
7．设a，b∈R，下列各式总能成立的是( )
A．(－)6＝a－b
B.＝a2＋b2
C.－＝a－b
D.＝a＋b
答案：B
?巩固提高
10．已知0<2x－1<3，化简＋2|x－2|.
解析：由0<2x－1<3，得∴＋2|x－2|＝＋2|x－2|＝2x－1－2(x－2)＝3.
1．熟记整数幂的运算性质．
2．理解n次方根与根式的概念．
3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．
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2.1.2 指数与指数幂的运算(二)
?基础达标
1．化简[(－)2]－的值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：[(－)2]－＝3－＝.
答案：C
2. ＝成立的条件是( )
A．x＜1 B．x≠1
C.≥0 D．x≥2
解析：?∴x≥2.
答案：D
3．(－2)100＋(－2)101等于( )
A．－1 B．2100
C．(－2)100 D．－2100
解析：(－2)100＋(－2)101
＝(－2)100＋(－2)(－2)100
＝(－2)100[1＋(－2)]
＝－(－2)100＝－2100.
答案：D
4．若x2＝9，则x＝________；若x3＝8，则x＝________________________________________________________________________.
答案：±3 2
5．已知a＋a－＝3，则a2＋a－2＝________________________________________________________________________.
6．设b＞0，用分数指数幂表示下列各式：
(1)b2·＝________；
(2)＝________.
答案：
7．计算2－＋＋－的结果是( )
A．1 B．2 C. D．2－
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8．求值：2××＝________.
9．化简下列各式：
解析：
.
解析：
10．已知x∈R，a＞0，设ax＋a－x＝u，将下列各式分别用u表示：
1．进行指数幂运算时，要将指数化为正指数，还要善于利用幂的运算法则．
2．注意根式运算与有理数指数幂的相互转化．
3．利用指数幂的运算性质进行化简变化时，要注意次序．
4．含有绝对值或偶次方根的运算，必要时需要分类讨论.
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指数函数及其性质(一)
?基础达标
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)
解析：由1－2x≥0，得2x≤1，由指数函数y＝2x的性质可知x≤0.
答案：C
2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )
A．5天 B．6天
C．8天 D．9天
答案：D
3．若0＜a＜1，b＜－2，则函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
4．函数＝y的定义域是________．
6．某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p%，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是____________________．
答案：y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m)
?巩固提高
7．已知a，b＞1，f(x)＝ax，g(x)＝bx，当f(x1)＝g(x2)＝2时， 有x1＞x2，则a，b的大小关系是( )
A．a＝b B．a＞b
C．a＜b D．不能确定
解析：∵a＞1，b＞1，
由图示知b＞a.
答案：C
.
9．若函数f(x)＝ax－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标．
分析：研究f(x)＝ax的图象和f(x)＝ax－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导．
解析：将指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝ax－1＋3的图象，因为y＝ax的图象恒过(0,1)，故相应的y＝ax－1＋3恒过定点(1,4)．
1．熟记指数函数的图象和性质．
2．研究与指数函数相关的函数性质时，要用好指数函数的图象和性质，有时需要把一些式子当成一个整体．
3．在实际问题中，抽象出指数函数的模型后，需注意定义域以及函数的性质．
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指数函数及其性质(二)
?基础达标
1．已知指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于( )
A. B．2
C．4 D.
解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，
∴端点处取得最大、小值，
∴a0＋a＝3，故a＝2.
答案：B
2．下列不等关系中，正确的是( )
A.＜1＜ B.＜＜1
C．1＜＜ D.＜＜1
3．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( )
A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)．故选C.
答案：C
4．将函数y＝2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．
答案：y＝2x－1＋2
5．函数y＝x－2x在区间[－1, 1]上的最大值为________．
解析：∵y＝x－2x在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x＝－1时，有最大值为.
答案：
?巩固提高
7．函数y＝|2－x－2|的图象是( )
答案：D
8．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围为( )
A．(－∞，1) B.
C．(0,2) D．R
解析：∵a2＋a＋2＝2＋＞1，
∴由题设知x＞1－x，解得x＞.
答案：B
9．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝__________.
解析：∵f(－x)＝a－＝a－，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴a－＝－a?2a＝1?a＝.
答案：
解析：令t＝x2－4x＋3，则y＝3t.
(1)当x∈[2，＋∞)时，t＝x2－4x＋3是x的增函数，而y＝3t是t的增函数 ，故y＝3x2－4x＋3的单调递增区间是[2，＋∞)．
(2)当x∈(－∞，2]时，t＝x2－4x＋3是x的减函数，而y＝3t是t的增函数，故y＝3x2－4x＋3的单调递减区间是(－∞，2]．
1．比较指数式的大小，多用指数函数的单调性．
2．注意函数图象由简单到复杂的变换过程．
3．研究较复杂的函数性质时，首先要搞清它是由哪些简单函数复合而成的，这样容易理解整体性质．
4．解决综合性问题，应分步分类逐步解决.
