宜宾市叙州区2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．若复数满足，则
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，为中点，那么向量=
A． B． C． D．
5．已知，则
A． B． C． D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是
A． B． C． D．
7．设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则
A．2 B． C． D．
8．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，，，，若该棱锥的体积为，则此球的表面积为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（多选）关于平面向量，下列说法中错误的是
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
10．若复数，则下列说法错误的是
A．在复平面内对应的点位于第二象限
B．
C．的共轭复数
D．
11．已知函数，给出下列结论，其中正确的是
A．的图象关于直线对称；
B．若，则；
C．在区间上单调递增；
D．的图象关于点成中心对称.
12．在中，D在线段上，且，.若，，则
A． B．的面积为
C．的周长为 D．为钝角三角形
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数的虚部是______．
14．正四棱锥的所有棱长均为2，则该棱锥的高为___________.
15．已知，则tan=___.
16．已知函数，且，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平而直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为和，，.
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值.
18．（12分）已知函数
⑴ 求函数的最小正周期和单调增区间；
⑵ 当时,求函数的值域.
19．（12分）已知函数.
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2）若，求实数的值.
20．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围．
21．（12分）若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，
(1)求值：
(2)从下列条件①，条件②，条件③三个条件中选择一个作为已知，求的值，
条件①若；
条件②若；
条件③若
22．（12分）已知在定义域内单调的函数满足恒成立.
(1)设，求实数的值；
(2)解不等式；
(3)设，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围，并指出取等时的值.宜宾市叙州区2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题参考答案
1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B
9．ACD 10．ABD 11．AC 12．CD
13． 14． 15． 16．0
17．(1)由已知得，，
所以：，，，
所以所求余弦值为．
(2)因为，，而向量与向量有垂直，
所以，所以．所以
18．解：
.
（1）函数的最小正周期为.
要求函数的增区间，只需，解得：，
所以递增区间为，.
（2）因为，所以.所以，
所以的值域为.
19．解：由题意得，
由，
解得又因为，所以或
所以在内的单调递增区间为和
由.可得，得，
由.可得，
所以解得或.
当时，，故舍去.综上可得.
20．解：（1）中，由，
利用正弦定理
可得，
因为，所以，
又，所以或；
（2）若为锐角三角形，由（1）知，且外接圆的半径为，
由正弦定理得，可得，
由正弦定理得，
所以；因为，
所以，
又为锐角三角形，则，且，
又，则，所以；所以；
所以，即周长的取值范围是．
21．解：（1）解：由，
得，则，
化简得 ，
由余弦定理得，即，化简得；
（2）选条件①若，则，解得或，
当，由（1）得，
此时，当时，由（1）知不成立；
若选条件②，
则，结合（1）化简得，
解得或，当时，，；
当，，；
若选条件③若，
由（1）知：，则，
即，即，
联立解得，所以.
22．解：（1）由题意得，，
由于在上单调递增，观察得的解为，
（2）由于在定义域内单调，所以为常数，
由（1）得，在上单调递增，
，
故原不等式可化为，由得，故原不等式的解集为
（3）
可化为对恒成立，
设，
则，，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故当时， ，
故，当且仅当时等号成立。
