福州市鼓楼区格致中学鼓山校区2022-2023学年（下）九年级期中数学试卷
参考答案
1-10：DCABA BDABB
11.x≥8 12.x（y-1）（y+1） 13.33 14.12π 15.3 16.
17.
18.证明：∵AB=CD，∴AC=BD，
在△ACE和△DBF中，AE＝DF，∠A＝∠D，AC＝DB，
∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E=∠F．
19.由2+x＞7-4x,得：x＞1，
由，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
20.（1）解：如图，△ABC即为所求；
（2）证明：在Rt△ABC中，
21.解：（1）由题意得：n=7÷35%=20（人），故2a=20-1-2-3-6=8，
解得a=4，答案为：20；4；
（2）把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为（分），
（3）
=100+175
=275（人），
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人．
22.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，
∵BC=BC，∴∠A=∠D，
又∵∠DEC=∠ABC，∴∠D+∠DEC=90°，∴∠DCE=90°，∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A=∠D，AC=2BC，∴tanA=tanD，
即
解得CE=4，即线段CE的长为4．
23.解：（1）依题意得：
解得：m=150，
经检验，m=150是原方程的解，且符合题意．
答：m的值为150．
（2）由（1）得：m-30=120，
设购进冰墩墩吉祥物x件，则购进雪容融吉祥物（200-x）件，
由题意得：
解得：x≤120，
设利润为y元，
由题意得：y=（190-150）x+（140-120）（200-x）=20x+4000，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=120时，y的值最大，
此时200-x=80，
答：购进冰墩墩吉祥物120件，雪容融吉祥物80件，才能获得最大利润．
24.（1）解：在正方形ABCD中，
∵AD=AB=BC，∠DAE=∠ABF=90°，E、F分别为边AB、BC 的中点，
∴
∴AE=BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴AF=DE，∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE，
∴AF=DE，AF⊥DE；
（2）如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=AB，∠DCF=∠ABF=90°，DC∥AB，
∵F为CB中点，
∴CF=FB，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴∠DFC=∠AFB，
由（1）已证△DAE≌△ABF，
∴∠AFB=∠DEA，
又∵DC∥AB，
∴∠CDE=∠DEA，
∴∠CDE=∠CFD，
又∵由（1）已证AF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠DGF+∠DCF=90°+90°=180°，
∴D、G、F、C四点共圆，
∴∠DGC=∠CFD，
∴∠DGC=∠CDE，
∴DC=CG，
∵CH平分∠DCG，
∴H为DG中点；
（3）解：设正方形ABCD的边长为2a,则由（1）和（2）可得：AD=AB=2a,AE=BF=CF=a,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴
在△DGA与△DAE中，
∵∠DGA=∠DAE=90°，∠ADG=∠EDA，
∴△DGA∽△DAE，
：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y=ax2+4ax+4a-3，
∵y=ax2+4ax+4a-3=a（x+2）2-3，
∴C2的顶点坐标为（-2，-3）；
（2）①设点P的横坐标为m,
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m,4am2+am+4a-3），N（m,am2+4am+4a-3），
∴MN=|4am2+am+4a-3-（am2+4am+4a-3）|=|3am2-3am|，
∵MN=6a,
∴|3am2-3am|=6a,
解得m=-1或m=2，
∴P（-1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y=a（x+2）2-3，
∴当x=-2时，y=-3，
当x=a-4时，y=a（a-4+2）2-3=a（a-2）2-3，
当x=a-2时，y=a（a-2+2）2-3=a3-3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a-4≤-2≤a-2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a-2）2-3；函数的最小值为-3，福州市鼓楼区格致中学鼓山校区2022-2023学年（下）九年级期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列为负数的是（ ）
A．|-2| B． C．0 D．-5
2．据统计，2021年我省出版期刊杂志总印数3400万册，其中3400万用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×108 B．0.34×108 C．3.4×107 D．34×106
3．一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4．下列各式中，计算结果等于a9的是（ ）
A．a3+a6 B．a3 a6 C．a10-a D．a12÷a2
5．一元二次方程x2+x-1=0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=（ ）
A．α-90° B．180°-α C．α-45° D．270°-α
7．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA=4，PB=6，则OP=（ ）
A. B.4 C. D.5
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2，x0；且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（-1，y1），C（1，y1），正确结论是（ ）
A．y1＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
填空题（每小题4分，共24分）
（4分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
（4分）分解因式：xy2-x= .
（4分）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n值是 .
（4分）已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则该扇形的面积是 .
15.（4分）如图， OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若OC=AC，则k= .
16．（4分）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是 .
三、解答题（本大题共9小题，满分86分）
17．（8分）计算：
18．（8分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M．求证：∠E=∠F．
19．（8分）解不等式组：
20．（8分）（1）如图，锐角α和线段m,用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC（保出作图痕迹，不写作法）．
（2）根据（1）中所画图形证明sin2α+cos2α=1．
21．（8分）第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有500名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，
D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n= ，a= ；
（2）八年级测试成绩的中位数是 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若，求线段CE的长．
23．（10分）第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，冰墩墩和雪容融吉祥物在市场热销．某特许商店准备购进冰墩墩和雪容融吉祥物若干，其进价和售价如下表：
已知用3000元购进冰墩墩吉祥物的数量与用2400元购进雪容融吉祥物的数量相同．
（1）求m的值；
（2）若要购进两种吉祥物共200件，且为宣传接下来的冬季残疾人奥林匹克运动会，因此购进的雪容融吉祥物的数量不能低于冰墩墩吉祥物数量的．怎样进货才能获得最大利润？
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB，BC的中点分别为E，F，连接DE，AF交于点G，连接CG，CH平分∠DCG交DE于H．
（1）探索AF与DE的关系；
（2）求证：点H为DG中点；
（3）求的值.
25．（14分）新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+1．已知抛物线C1：y=4ax2+ax+4a-3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN=6a时，求点P的坐标；
②当a-4≤x≤a-2时，C2的最大值与最小值的差为2a,求a的值．
