数学·必修1(苏教版)
元素与集合的关系
已知A＝{x|x＝m＋n·，m，n∈Z}．
(1)设x1＝，x2＝，x3＝(1－3)2，试判断x1，x2，x3与A之间的关系；
(2)任取x1，x2∈A，试判断x1＋x2，x1·x2与A之间的关系；
(3)能否找到x0∈A，使∈A，且|x0|≠1?
分析：分清楚集合A中元素具备什么形式．
解析：(1)由于x1＝＝3＋2，则x1∈A，
由于x2＝＝＝－1＋2，
则x2∈A，由于x3＝(1－3)2＝19－6，
则x3∈A.
(2)由于x1，x2∈A，
设x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2·(其中m1，n1，m2，n2∈Z)．
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，
其中m1＋m2，n1＋n2∈Z，则x1＋x2∈A.
由于x1x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)
＝(m1m2＋2n1n2)＋(m1n2＋m2n1)·，
其中m1m2＋2n1n2，m1n2＋m2n1∈Z，则x1x2∈A.
(3)假设能找到x0＝m0＋n0∈A(其中m0，n0∈Z)符合题意，则：
＝＝＋·∈A，
则∈Z，∈Z .
于是，可取m0＝n0＝1，则能找到x0＝－1＋，又能满足|x0|≠1，符合题意．
点评：解决是否存在的问题主要采用假设法：假设存在某数使结论成立，以此为基础进行推理．若出现矛盾，则否定假设，得出相反的结论；若推出合理的结果，则说明假设正确．这种方法可概括为“假设—推理—否定(肯定)假设—得出结论”．
?变式训练
1．设集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，任取x1∈B，x2∈C，则x1＋x2∈________，x1x2∈________，x1－x2∈________，x2－x1∈________.
(注：从A，B，C中选一个填空)
解析：设x1＝3m＋1，x2＝3n＋2，m，n∈Z，则x1＋x2＝3(m＋n＋1)∈A；x1x2＝9mn＋6m＋3n＋2＝3(3mn＋2m＋n)＋2∈C；x1－x2＝3m－3n－1＝3(m－n－1)＋2∈C；x2－x1＝3n－3m＋1＝3(n－m)＋1∈B.
答案：A C C B
2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝?，求实数a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来．
解析：(1)A＝?，则方程ax2－3x＋2＝0无实根，
即Δ＝9－8a<0，∴a>.
∴a的取值范围是.
(2)∵A中只有一个元素，
∴①a＝0时，A＝满足要求．
②a≠0时，
则方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实根．
故Δ＝9－8a＝0，
∴a＝，此时A＝满足要求．
综上可知：a＝0或a＝.
二、集合与集合的关系
A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，当B?A时，求实数p的取值范围．
分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．
解析：由已知解得，B＝.
又∵A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B?A，利用数轴．
∴－≤－1.
∴p≥4，即实数p的取值范围为{p|p≥4}．
点评：在解决两个数集包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．
三、集合的综合运算
已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}，B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{(x，y)|x－2y＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}．
(1)判断B、C、D间的关系；
(2)求A∩B.
分析：对集合B进行分解因式，读懂集合语言．
解析：(1)∵x2－xy－2y2＝(x＋y)(x－2y)，
∴B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}
＝{(x，y)|(x＋y)(x－2y)＝0}
＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}
＝{(x，y)|x－2y＝0}∪{(x，y)|x＋y＝0}＝C∪D.
(2)A∩B＝
＝
＝
或.
＝.
设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合?A(A∩B)＝________.
分析：首先简化集合A和B，再借助数轴求解．
解析：∵A＝{x|－4
3}，
∴A∩B＝{x|－4∴?A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
点评：解集合问题，重要的是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识解决．
?变式训练
3．已知M，N为集合U的非空真子集，且M≠N，若M∩?UN＝?，则M∪N＝( )
A．M B．N
C．U D．?
答案：B
4．已知全集U＝{实数对(x，y)}，A＝，B＝{(x，y)|y＝3x－2}，求(?UA)∩B.
解析：A＝＝{(x，y)|y＝3x－2，且x≠2}，∴(?UA)∩B＝{(x，y)|x＝2，y＝4}＝{(2,4)}．
空集的地位和作用
已知集合A＝{x|x2＋(m＋2)x＋1＝0}，若A∩R＋＝?，则实数m的取值范围是________[其中R＋＝(0，＋∞)]．
分析：从方程的观点来看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1＝0的解集，而x＝0不是该方程的解，所以由A∩R＋＝?可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，解出m的范围即可．
解析：由于A∩R＋＝?和该方程没有零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，从而有
或Δ＝(m＋2)2－4<0，
解得m≥0或－4－4.
答案：{m|m＞－4}
点评：由于集合的联系性较强，应注意体会和提炼数学思想(如数形结合、方程思想和分类讨论思想)．
?变式训练
5．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}
(1)若A∩B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
解析：(1)A∩B＝B?B?A，当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；当m＋1≤2m－1时，要使B?A，则?2≤m≤3.
综上，m的取值范围为{m|m≤3}．
(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足A∩B＝?.
当B≠?时，要使A∩B＝?，则必须或?m>4.
综上，m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
集合中的信息迁移题
约定“”与“?”是两个运算符号，其运算法则如下：对任意的a，b∈R，有ab＝a－b，a?b＝.设U＝{c|c＝(ab)＋(a?b)，－2分析：本题的难点在接受题中临时约定的运算符号及其运算法则，关键是要按照规定，把符号“?”与“?”表示的运算转化为通常的“＋，－，×，÷，…”等运算．然后化简集合U及A，最后再由补集的定义求出?UA.
解析：由－2(1)若a＝－1，b＝－1，
则c＝(ab)＋(a?b)
＝(－1)－(－1)＋＝－2；
(2)若a＝－1，b＝0，
则c＝(ab)＋(a?b)
＝(－1)－0＋＝－；
(3)若a＝0，b＝0，
则c＝(ab)＋(a?b)＝0－0＋＝0.
由(1)、(2)、(3)，可知U＝.
下面确定A：由－1可得，a＝0，b＝1，此时，
d＝2(ab)＋＝2×(0－1)＋＝－，所以A＝，所以?UA＝{0，－2}．
点评：在近几年的高考试题和各地的高中模拟考试试题中频频出现新定义型集合，这类问题的求解并不是很难，只要按照其定义方式求解即可．这类题的目的在于培养学生的创新能力、接受临时性定义的能力．
?变式训练
6．设全集为U，A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：
A*B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，则(A*B)*A等于( )
A．A B．B
C．(?UA)∩B D．A∩?UB
解析：利用Venn图．
答案：B
7．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
B
c
c
b
c
B
d
d
b
b
D
a
b
c
d
a
a
a
a
a
b
a
b
c
d
c
a
c
c
a
d
a
d
a
d
那么d(ac)＝( )
A．a B．b C．c D．d
解析：有定义可得ac＝c，
∴d?(ac)＝d?c＝a.
答案：A
数学·必修1(苏教版)
章末过关检测卷(一)
第1章 集 合
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则( )
A．P?Q B．Q?P C．P??RQ D．Q??RP
解析：∵Q＝{x|－2答案：B
2．设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,4} B．{1,5} C．{2,4} D．{2,5}
解析：∵U＝{1,2,3,4,5，}，A∪B＝{1,3,5}，
∴?U(A∪B)＝{2,4}．
答案：C
3．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为( )
A．1 B．0 C．0或1 D．以上答案都不对
解析：分情况k＝0和k≠0.
答案：C
4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )
A．{(1,2)} B．(2,1)
C．{(2,1)} D．?
解析：A∩B是点集，即满足的解．
答案：C
5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
答案：D
6．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3C．{a|3解析：?3≤a≤4.
答案：B
7．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|－1≤x≤0}，则A∪?UB等于( )
A．{x|x<－1或x>0} B．{x|x<－1或x>1}
C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－2或x≥0}
解析：?UB＝{x|x<－1或x>0}，
∴A∪?UB＝{x|x<－1或x>0}．
答案：A
8．已知A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－A．A∩B＝? B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
解析：A＝{x|x<0或x>2}，∴A∪B＝R.
答案：B
二、填空题(每题5分，共30分)
9．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈A，且x?A∩B}＝________.
解析：A＝{x|－43或x<1}，A∩B＝{x|3∴{x|x∈A且x?A∩B}＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
10．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩?UN＝{2,4}，则N＝________.
答案：{1,3,5}
11．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是________．
解析：A的子集共有26＝64个，而{1,2,3}的子集共23＝8个，这8个均不满足S∩B≠?的条件，所以满足条件的S共有64－8＝56个．
答案：56个
12．已知集合A＝{(x，y)|ax－y2＋b＝0}，B＝{(x，y)|x2－ay＋b＝0}，且(1,2)∈A∩B，则a＝________，b＝__________.
解析：∵(1,2)∈A∩B.
∴?a＝，b＝.
答案：
13．设集合M＝，N＝，则M与N的关系是________．
解析：任取x∈M，则x＝＋＝＝＋∈N，而∈N，而?M，∴M?N.
答案：M N
14．某中小城市1 000户居民中，有彩电的有819户，有空调的有682户，彩电和空调二者都有的有535户，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：如图，有彩电无空调的有819－535＝284户；有空调无彩电的有682－535＝147户，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966户．
答案：966
三、解答题(共80分)
15．(12分)A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解析：∵A∪B＝A，∴B?A，
当B＝?时，即a＝0时，显然满足条件．
当B≠?时，则B＝，A＝{1,2}，
∴＝1或＝2，从而a＝1或a＝2，
故集合C＝{0,1，2}．
16．(12分)已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.
(1)求A∪B，(?RA)∩B；
解析：(1)A∪B＝{x|1≤x＜10}，
(?RA)∩B＝{x|x＜1或x≥7}∩{x|2＜x＜10}
＝{x|7≤x＜10}．
(2)如果A∩C≠?，求a的取值范围．
解析：(2)当a＞1时，满足A∩C≠?.
因此a的取值范围是(1，＋∞)．
17.(14分)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，非空集合B＝{x|(x－a－1)(x－2a)<0}．若B?A，求实数a的取值范围．
解析：B ≠?，且B?A，∴
或
解得a>1或a≤－2或≤a<1.
∴a的取值范围是.
18．(14分)已知A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若a＝1，求A∩B；
解析：(1)当a＝1时，A＝{x|－3＜x＜5}．B＝{x|x＜－1或x＞5}.
∴A∩B＝{x|－3＜x＜－1}．
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解析：(2)∵A＝{x|a－4＜x＜a＋4}．B＝{x|x＜－1或x＞5}，又A∪B＝R，
∴?1＜a＜3.
∴所求实数a的取值范围是(1,3).
19.(14分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a取何值时，A∩B≠?与A∩C＝?同时成立．
解析：∵B＝{2,3}，C＝{2，－4}，
由A∩B≠?且A∩C＝?知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，
∴a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5，
当a＝－2时，A＝{3，－5}，适合A∩B≠?与A∩C＝?同时成立，
当a＝5时，A＝{2,3}，A∩C＝{2}≠?，故舍去．
所求a的值为－2.
20．(14分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a，a，a，a}满足：
(1)A∩B＝{a1，a4}；
(2)a1＋a4＝10；
(3)a1(4)A与B的所有元素之和为124.
求a1，a2，a3，a4.
解析：∵a1，a2，a3，a4∈N*，∴a≥a1，由A∩B＝{a1，a4}，必有a＝a1，即a1＝1，而由a1＋a4＝10得a4＝9，此时B＝{1，a，a，81}，由A∩B＝{1,9}可知a＝9或a＝9，可得a2＝3或a3＝3.
(1)若a2＝3，则3(2)若a3＝3，则a2＝2，此时所有元素之和为110≠124，不合题意．
综上，即得a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝9.
数学·必修1(苏教版)
函数的定义域、值域的综合应用
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(m＜n)，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由．
分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合．
解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，
∴f(x)的图象的对称轴为直线x＝＝1，
即－＝1， ①
又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0， ②
又∵方程f(x)＝x有两个相等实根，
即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个相等的实根．
∴Δ＝(b－1)2－4ac＝0， ③
由①②③可得：
a＝－，b＝1，c＝0.
则f(x)＝－x2＋x＝－(x－1)2＋≤；
故3n≤，即n≤.
∴f(x)在[m，n]上单调递增，
假设存在满足条件的m，n，则：
?m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.
又m＜n≤，∴m＝－4，n＝0.
即存在m＝－4，n＝0，满足条件．
点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性．解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决．
?变式训练
1．若函数f(x)的定义域和值域都是[a，b]，则称[a，b]为f(x)的保值区间，求函数f(x)＝(x－1)2＋1的保值区间．
解析：①当a1时，定义域里有1，而值域里没有1，∴不可能；③当1≤a函数单调性和奇偶性的综合应用
奇函数f(x)是R上的减函数，对于任意实数x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范围．
分析：已知条件中给出函数不等式，故要考虑利用奇函数性质和单调性化为不含函数符号的不等式来求解．
解析：由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0得：
f(kx)＞－f(－x2＋x－2)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(kx)＞f(x2－x＋2)．
又∵f(x)在R上是减函数，
∴kx＜x2－x＋2.
即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立．
∴Δ＝(k＋1)2－4×2＜0，
解得－2－1＜k＜2－1.
点评：本题利用函数单调性与奇偶性将函数不等式f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0转化为kx＜x2－x＋2，是解决此题的关键．
?变式训练
2．定义在R上的函数f(x)满足f(0)≠0，且当x>0时，f(x)>1，对任意a，b∈R均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．
(1)求证：f(0)＝1.
证明：令a＝b＝0，得f(0)＝f2(0)，
又∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)求证：对任意x∈R，恒有f(x)>0.
证明：当x<0时，－x>0，
∴f(0)＝f(x)f(－x)＝1，
∴f(x)＝>0，
又∵x≥0时，f(x)≥1>0，
∴对任意x∈R，恒有f(x)>0.
(3)求证：f(x)是R上的增函数．
证明：设x10，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)f(x1)．
∵x2－x1>0，
∴f(x2－x1)>1，又f(x1)>0，
∴f(x2－x1)f(x1)>f(x1)，即f(x2)>f(x1)．
∴f(x)是R上的增函数．
(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围．
解析：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)，又∵f(x)为增函数，∴3x－x2>0?0故x的取值范围是(0,3)．
二次函数的综合问题
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)．
求证：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不等的两实根，且必有一个实根属于(x1，x2)．
分析：证明方程有两实根考虑使用判别式，有一根在(x1，x2)可用函数零点的性质．
证明：由ax2＋bx＋c＝(ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c)得2ax2＋2bx－a(x＋x)－b(x1＋x2)＝0.
由a≠0，故此方程判别式
Δ＝(2b)2－4×2a[－a(x＋x)－b(x1＋x2)]
＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0.
∵x1＜x2，
∴2ax1＋b≠2ax2＋b.
∴Δ＞0.
∴方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不等的两实根．
令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
g(x)是二次函数，
则g(x1)·g(x2)＝·
＝－[f(x1)－f(x2)]2≤0.
∵f(x1)≠f(x2)，
∴g(x1)·g(x2)＜0.
∴g(x)＝0的根必有一个属于(x1，x2)．
点评：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，才能用函数思想来研究方程和不等式．
?变式训练
3．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图象在y轴上截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(x－2)＝f(－x－2)得对称轴方程为x＝－2，
∴＝－2, ①
由f(0)＝1得c＝1.②
由在x轴上截得线段长为得|x2－x1|＝＝＝.③
联立①②③可解得a＝，b＝，c＝1.
故f(x)＝x2＋x＋1.
数形结合与分类讨论的应用
对于函数f(x)＝x2＋ax－a＋1，存在x0∈[0,1]，使f(x0)＜0，求a的取值范围．
分析：(1)含参数的二次函数在指定区间上的函数值问题，通常先配方，再分情况进行讨论．
(2)由转化思想可知：f(x)＜0等价于x2＋1＜－a(x－1)．由数形结合可得出结果．
解析：解法一：f(x)的对称轴为：x＝－，
则：f(x)＝－－a＋1.
(1)当0≤－≤1，即－2≤a≤0时，
f(x0)＝f＝－－a＋1＜0
?a＞－2＋2或a＜－2－2，与－2≤a≤0矛盾．
(2)当－＞1，即a＜－2时，
f(x0)＝f(1)＝a＋1－a＋1＝2不可能小于0.
(3)当－＜0，即a＞0时，
f(x0)＝f(0)＝－a＋1＜0，解得a＞1.
综上：a＞1.
解法二：由f(x)＜0?x2＋1＜－a(x－1)，
令y1＝x2＋1，y2＝－a(x－1)，
作出函数y1，y2的图象，在x∈[0,1]上，当y2过点(0,1)及(1,2)时为极限位置．
由下图知：－a＜－1，∴a＞1.
点评：数形结合法解函数问题是将图象与数量紧密结合，这样做有助于理解题意，探求解题思路，检验结果．分类讨论法是对含参数或变量问题进行分类讨论．原则是不重复、不遗漏，逐类进行，但必须综合讨论结果，使步骤完整．
?变式训练
4．已知a＞0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞)
B.∪(1,4)
C.∪(1,2]
D.∪[4，＋∞)
解析：∵不等式x2－＜ax[x∈(－1,1)]恒成立，
∴当x∈(－1,1)时，图象y＝ax在y＝x2－的上方，
∴当a＞1时，a－1≥(－1)2－?1＜a≤2，
当0＜a＜1时，a1≥12－?≤a＜1，
综上可知：≤a＜1或1＜a≤2.
答案：C
转化与化归思想的应用
若函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
分析：经换元将函数转化为：f(t)＝t2＋2t－1.转化后应特别注意t的取值范围，以保证转化的等价性．ax的取值范围又与它的单调性有关．
解析：设t＝ax，则y＝f(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，
当a＞1时，t∈，
∴ymax＝f(a)＝a2＋2a－1＝14，
解得：a＝3.
当0＜a＜1时，t∈，
ymax＝f＝＋2·－1＝14，
解得：a＝.
故所求a的取值为3或.
点评：指数函数与二次函数复合而成的初等函数，可以通过换元的方法转化为指数函数或二次函数．
?变式训练
5．若－3≤x≤－，求函数f(x)＝的最小值．
解析：由－3≤x≤－?≤log2x≤3?－≤log2≤2.
f(x)＝
＝－2alog2＝2－a2.
令t＝log2，则函数转化为g(t)＝(t－a)2－a2，t∈[－，2]．
当a<－时，[g(t)]min ＝g＝a＋.
当－≤a≤2时，[g(t)]min ＝g(a)＝－a2.
当a>2时，[g(t)]min ＝g(2)＝4－4a.检测卷参考答案
数学·必修1(苏教版)
章末过关检测卷(二)
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．若二次函数y＝f(x)满足f(5＋x)＝f(5－x)，且方程f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．5 B．10 C．20 D.
解析：∵f(x＋5)＝f(5－x)，∴f(x)的对称轴为x0＝5，x1＋x2＝2x0＝10.
答案：B
2．下列函数为偶函数的是( )
A．y＝x2＋x B．y＝－x3
C．y＝ex D．y＝ln
解析：选项A，C为非奇非偶函数，选项B为奇函数．
答案：D
3．若2loga(M－2N)＝logaM＋logaN，则的值为( )
A. B．4 C．1 D．4或1
解析：由题知?M＝4N，∴＝4.
答案：B
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：由f(0)＝0得b＝－1.
∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：A
5．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是减函数且有最大值4，则f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且最小值为－4 B．增函数且最大值为－4
C．减函数且最小值为－4 D．减函数且最大值为－4
解析：奇函数的图象关于原点对称．
答案：C
6．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
6.1
2.9
－3.5
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析：∵f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内一定存在零点．
答案：C
7．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
解析：选项A为奇函数，选项C，D在(0，＋∞)是减函数．
答案：B
8．下列函数中，是奇函数且定义域与值域相同的函数是( )
A．y＝(ex＋e－x) B．y＝lg
C．y＝－x3 D．y＝－|x|
解析：A项和D项为偶函数，B项和C项为奇函数，而B项的定义域与值域不同，只有C项的定义域和值域均为R.
答案：C
二、填空题(每题5分，共30分)
9．若关于x的方程x2－x－k＝0在(－1,1)上有实根，则k的取值范围是__________．
解析：k＝x2－x＝－，
x∈(－1,1)，k∈.
答案：
10．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
解析：∵y＝f(x)＋x2为奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，在此式中令x＝1得f(－1)＝－3.
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
答案：－1
11．函数y＝(x)2＋x＋1的单调增区间为__________．
解析：定义域为(0，＋∞)，令u＝ x，则y＝u2＋u＋1.u在(0，＋∞)上是减函数，而y在u∈上是减函数，
u＝x≤－，则x≤，即x≥.故原函数的单调增区间为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
解析：∵f(x)为奇函数，x≤0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，
由?－5由?x>5.
答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
13．已知函数x＝ln π，y＝log52，z＝，则x，y，z从小到大排列为________．
解析：ln π>ln e＝1，y＝log52＝<，z＝＝，<<1.∴y答案：y14．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是奇函数，则实数a＝________.
解析：由条件知，g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，故g(0)＝0，得a＝－1.
答案：－1
三、解答题(共80分)
15．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
∴x＝1时，f(x)的最小值为1；
x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解析：(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，－a≤－5或－a≥5，∴a≥5或a≤－5.
即a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
16．(12分)已知函数f(x)＝(b≠0，a＞0)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
解析：(1)f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
(2)若f(1)＝，log3(4a－b)＝log24，求a，b的值．
解析：(2)由f(1)＝＝，则a－2b＋1＝0，
又log3(4a－b)＝log24＝1，即4a－b＝3.
由解得a＝1，b＝1.
17.(14分)对于函数f(x)，若存在x0∈R使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
解析：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，
由f(x)＝x?x2－2x－3＝0?x＝－1或x＝3，
∴f(x)的不动点为－1和3.
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解析：(2)由题设知ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，即为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，∴Δ＝b2－4a(b－1)>0?b2－4ab＋4a>0恒成立．
∴(－4a)2－4×4a<0?0故a的取值范围是(0,1)．
18．(14分)设海拔x m处的大气压强是 y Pa，y与 x 之间的函数关系式是 y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．
解析：将x＝0，y＝1.01×105；x＝1 000 , y＝0.90×105, 代入
y＝cekx得：
?
将①代入②得：
0．90×105＝1.01×105e1 000k?k＝×ln，
计算得：k＝－1.15×10－4.
∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将 x＝600 代入，得：y＝1.01×105×，
计算得：y＝0.943×105(Pa)．
答：在600 m高空的大气压约为0.943×105Pa.
19.(14分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1、1.2、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
解析：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．
设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根据已知有
和解得
和
所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f(4)＝1.3，g(4)＝1.35.
显然g(4)更接近于1.37，故选用y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
20．(14分)已知函数f(x)＝3x2－6x－5.
(1)设g(x)＝f(x)－2x2＋mx，其中m∈R，求g(x)在[1,3]上的最小值；
解析：(1)g(x)＝x2＋(m－6)x－5，
对称轴方程为x＝，分<1,1≤≤3，>3三种情况分类讨论，易得，
gmin(x)＝
(2)若对于任意的a∈[1,2]，关于x的不等式f(x)≤x2－(2a＋6)x＋a＋b在区间[1,3]上恒成立，求实数b的取值范围．
解析：(2)不等式可化为2x2＋2ax－(a＋b＋5)≤0，
令φ(x)＝2x2＋2ax－(a＋b＋5)，对称轴x＝－.
由已知得－∈，∴φmax(x)＝φ(3)＝5a－b＋13，
∴只要当a∈[1,2]时，5a－b＋13≤0恒成立即可，
而当a∈[1,2]时，b≥5a＋13恒成立，
∴b的取值范围是[23，＋∞)．
数学·必修1(苏教版)
模块综合检测卷
(测试时间：120分钟 评价分值：150分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{3} B．{4} C．{3,4} D．{1,3,4}
解析：∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，
∴ A∪B＝{1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{4}．选B.
答案：B
2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是( )
答案：A
3．已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．[2,2] D．[－2,1]
解析：∵A＝{x|－2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}．
答案：D
4．函数y＝log2x－1的定义域是( )
A.∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞)
C. D.
解析：由?x＞且x≠1.
答案：A
5．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上是单调减函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系是( )
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)＞f(a＋1)
C．f(b－2)＜f(a＋1) D．不能确定
解析：∵y＝loga|x＋b|是偶函数，b＝0，
∴y＝loga|x|，
又在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴0＜a＜1，
∴f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，f(a＋1)中1＜a＋1＜2，
∴f(2)＜f(a＋1)，即：f(b－2)＜f(a＋1)．
答案：C
6．下列不等式正确的是( )
A.＜＜ B. ＜＜
C.＜＜ D. ＜＜
答案：A
7．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
解析：f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝f(b)，则g(b)∈(－1,1]．
即－b2＋4b－3>－1?2－答案：B
8．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A．(0,4] B. C. D.
解析：∵ymin＝－，f(0)＝f(3)＝－4，
∴m∈.
答案：C
二、填空题(每题5分，共30分)
9．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，则集合C＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}中元素个数为________．
解析：∵A∪B＝{1,2,3,4,5}中有5个元素．
A∩B＝{2,3}中有2个元素，∴C中有10个元素．
答案：10个
10．函数y＝lg 的定义域是__________．
解析：由题知∴2≤x＜4且x≠3.
答案：[2,3)∪(3,4)
11．函数y＝(x∈R)的值域为__________．
解析：y＝＝＝1－，
∵x2＋10≥10,0＜≤，
∴－≤－＜0，∴0≤y＜1.
答案：[0,1)
12．已知[1,3]是函数y＝－x2＋4ax的单调递减区间，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题知对称轴x＝2a≤1，a≤.
答案：
13．函数f(x)＝log2(x2－4x＋3)的单调递减区间是________．
解析：由x2－4x＋3>0得x<1或x>3.
令t＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，t在(－∞，2)上单调递减，y＝log2t为增函数，结合定义域得x<1.
答案：(－∞，1)
14．设a＝，b＝，C＝log3，则a，b，c从小到大排列为________
解析：∵a＝log32，b＝log3，c＝log3
y＝log3x是增函数，而2>>，∴a>b>c.
答案：c三、解答题(共80分)
15．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0，
(1)求F(x)的表达式；
解析：(1)∵f(x)＝ax2＋bx＋1，f(－1)＝0，
∴a－b＋1＝0.
又∵对任意实数x，均有f(x)≥0，
∴Δ＝b2－4a≤0，∴(a＋1)2－4a≤0，
∴a＝1，b＝2，
∴f(x)＝x2＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解析：(2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
在[－2,2]上是单调函数，
∴≥2或≤－2，
即k≥6或k≤－2.
∴k的取值范围是{k|k≥6或k≤－2}．
16．(12分)已知集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|x＋y＝3,0≤x≤3}，若A∩B是单元素集，求实数m的取值范围．
解析：∵A∩B是单元素集，∴y＝3－x，x∈[0,3]与函数y＝－x2＋mx－1的图象有且只有一个公共点．
亦即x2－(m＋1)x＋4＝0在[0,3]内有唯一解．
(1)?m＝3；
(2)令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则f(0)f(3)<0?m>；
(3)若x＝0，方程不成立；
(4)若x＝3，则m＝，此时x2－x＋4＝0的根为3和，在[0,3]上有两个根，不合题意．
综上，m的取值范围是{3}∪.
17.(14分)已知f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
解析：(1)∵＞0，∴＜0，即(x＋1)(x－1)<0.
∴－1＜x＜1.∴f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)证明：f(x)为奇函数；
解析：(2)∵f(x)的定义域关于原点对称且f(x)＝loga，
∴f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝
－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)求使f(x)＞0成立的x的取值范围．
解析：(3)当a＞1时，f(x)＞0，则＞1，＋1＜0，＜0，∴2x(x－1)＜0，∴0＜x＜1.
因此，当a＞1时，使f(x)＞0成立的x的取值范围为(0,1)．
当0＜a＜1时，f(x)＞0，则0＜＜1，解得－1＜x＜0.
因此，当0＜a＜1时，使f(x)＞0的x的取值范围为(－1,0)．
18．(14分)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)求f(x)的解析式；
解析：(1)依题意?
∴f(x)＝.
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性；
解析：(2)取任意x1，x2∈(－1,1)，设x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
由x2>x1?x2－x1>0，由x1，x2∈(－1,1)?x1x2<1.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解析：(3)由f(t－1)＋f(t)<0及f(x)为奇函数可得f(t)<－f(t－1)＝f(1－t)，由(2)f(x)在(－1,1)上是增函数，∴有?0故不等式f(t－1)＋f(t)<0的解集为.
19.(14分)某商品在近100天内，商品的单价f(t)(元)与时间t(天)的函数关系式如下：
f(t)＝
销售量g(t)与时间t(天)的函数关系式是：g(t)＝－＋(0≤t≤100，t∈Z)．
求这种商品在这100天内哪一天的销售额最高．
解析：依题意，该商品在近100天内日销售额为F(t)与时间t(天)的函数关系式为：
F(t)＝f(t)·g(t)＝
若0≤t＜40，t∈Z时，则F(t)＝·＝
－(t－12)2＋，
当t＝12时，F(t)max＝(元)；
②若40≤t≤100，t∈Z，
则F(t)＝
＝(t－108)2－，
∵t＝108＞100，
∴F(t)在[40,100]上递减，F(t)max＝F(40)＝768.
∵＞768，
∴第12天销售额最高．
20．(14分)已知函数f(x)＝为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)记集合E＝{y|y＝f(x)，x∈{－1,1,2}}，λ＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5－，判断λ与E的关系；
(3)当x∈(m>0，n>0)时，若函数f(x)的值域为[2－3m,2－3n]，求m，n的值．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即＝
?2(a＋1)x＝0.
∵x∈R且x≠0，∴a＋1＝0即a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝，易得f(－1)＝0，f(1)＝0，
f(2)＝，∴E＝.而λ＝(lg 2)2＋lg 2lg 5＋lg 5－＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5－＝lg 2＋lg 5－＝∈E.
(3)∵f(x)＝＝1－，取任意x1、x2∈(0，＋∞)，设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－－＝－＝＝.
∵0＜x1＜x2，∴x1＋x2＞0，
x1－x2＜0，xx＞0.
∴＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又∵m＞0，n＞0，∴＞0，＞0.
∴f(x)在上单调递增，
∴?
?m＝，n＝.
