数学·必修1(苏教版)
集合的含义及其表示
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？
1．下列说法正确的是( )
A．我校爱好足球的同学组成一个集合
B．{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合
C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D．数1,0,5，，，， 组成的集合有7个元素
答案：C
2．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
答案：C
3．下列四个关系中，正确的是( )
A．a∈{a，b} B．{a}∈{a，b}
C．a?{a} D．a?{a，b}
答案：A
4．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集．
答案：D
5．若A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
6．集合M中的元素都是正整数，且若a∈M，则6－a∈M，则所有满足条件的集合M共有( )
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
解析：由题意可知，集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个．
答案：B
7．下列集合中为空集的是( )
A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2－1＝0}
C．{x∈R|x2＋x＋1＝0} D．{0}
答案：C
8．设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4∈A，则a＝( )
A．－3或－1或2 B－3或－1
C．－3或2 D．－1或2
解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}．∴a＝－3或2.
答案：C
9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有( )
A．a＋b∈P
B．a＋b∈Q
C．a＋b∈M
D．a＋b不属于P、Q、M中任意一个
解析：∵a∈P，b∈Q，∴a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，∴a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z，∴a＋b∈Q.
答案：B
10．由下列对象组成的集体，其中为集合的是________(填序号)．
①不超过2π的正整数；
②高一数学课本中的所有难题；
③中国的高山；
④平方后等于自身的实数；
⑤高一(2)班中考500分以上的学生．
答案：①④⑤
11．若a＝n2＋1，n∈N，A＝{x|x＝k2－4k＋5，k∈N}，则a与A的关系是________．
解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当n∈N时，n＋2∈N.
答案：a∈A
12．集合A＝{x|x∈R且|x－2|≤5}中最小整数为_______．
解析：由|x－2|≤5?－5≤x－2≤5?－3≤x≤7，∴最小整数为－3.
答案：－3
13．一个集合M中元素m满足m∈N＋，且8－m∈N＋，则集合M的元素个数最多为________．
答案：7个
14．下列各组中的M、P表示同一集合的是________(填序号)．
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；
②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；
③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{a|a＝x2－1，x∈R}；
④M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}．
答案：③
15．已知集合A＝{x|x∈R|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值．
解析：(1)若a2－1＝0，则a＝±1.当a＝1时，x＝－，此时A＝，符合题意；当a＝－1时，A＝?，不符合题意．
(2)若a2－1≠0，则Δ＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0?a＝，此时A＝，符合题意．综上所述，a＝1或.
16．若集合A＝又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2014＋b2013的值．
解析：由题知a≠0，故＝0，∴b＝0，∴a2＝1，
∴a＝±1，
又a≠1，故a＝－1.
∴a2014＋b2013＝(－1)2014＋02013＝1.
17．设正整数的集合A满足：“若x∈A，则10－x∈A”．
(1)试写出只有一个元素的集合A；
(2)试写出只有两个元素的集合A；
(3)这样的集合A至多有多少个元素？
解析：(1)令x＝10－x?x＝5.故A＝{5}．
(2)若1∈A，则10－1＝9∈A；反过来，若9∈A，则10－9＝1∈A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地出现在A中．同理，2和8,3和7,4和6成对地出现在A中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合．
(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}．
18．若数集M满足条件：若a∈M，则∈M(a≠0，a≠±1)，则集合M中至少有几个元素？
解析：∵a∈M，∈M，∴＝－∈M，
∴＝∈M，∴＝a∈M.
∵a≠0且a≠±1，∴a，，－，互不相等∴集合M中至少有4个元素.
数学·必修1(苏教版)
子集、全集、补集
若一个小公司的财产和职员都是某个大公司的财产和职员，那么这个小公司叫做这个大公司的子公司．同样对于一个集合A中的所有元素都是集合B的元素，那么我们如何给A、B之间建立一个确切的关系呢？
1．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A∩B＝?
解析：直接判断集合间的关系．
∵A＝{x，B＝{x，∴BA.
答案：B
2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则?UM＝( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
解析：?UM＝{2,4,6}．
答案：A
3．已知集合U＝R，集合M＝{x |x2－4≤0}，则?UM＝( )
A．{x|－2
B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|x<－2或x>2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
解析：∵M＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，
∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．
答案：C
4．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A?B，则实数a、b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
解析：A＝{x|a－1b＋2}，∵A?B，∴a＋1≤b－2或a－1≥b＋2，即a－b≤－3或a－b≥3，即|a－b|≥3.
答案：D
5．下列命题正确的序号为________．
①空集无子集；
②任何一个集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④?U(?UA)＝A.
解析：空集?只有它本身一个子集，它没有真子集，而一个集合的补集的补集是它本身．
答案：④
6．若全集U＝{x∈R|x2≤4}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}，则?UA＝________.
解析：U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，
∴?UA＝{x|0答案：{x|07．集合A＝{x|－3解析：分B＝?和B≠?两种情况．
答案：{a|a≤1}
8．已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若A中元素至少有一个，则a的取值范围是________．
解析：若a＝0，则A＝符合要求；
若a≠0，则Δ＝25－24a≥0?a≤.
答案：
9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4，}，∴C中必须含有1,2，即求{3,4}的子集的个数，即22＝4个．
答案：D
10．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
解析：P＝{－1,1}，Q?P，则有Q＝?或Q＝{－1}或Q＝{1}三种情况．
答案：D
11．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}．若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
答案：－3
12．已知：A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中最大的元素是________，集合A*B的所有子集的个数为________．
解析：A*B＝{2,3,4,5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16个．
答案：5 16个
13．设A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B?A，则a的值为________．
答案：－1或2
14．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}．求a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012的值．
解析：由题可知a≠0，b＝0，即{a,0,1}＝{a2，a,0}，
所以a2＝1?a＝±1，
当a＝1时，集合为{1,1,0}，不合题意，应舍去；
当a＝－1时，集合为{－1,0,1}，符合题意．
故a＝－1，
∴a＋a2＋a3＋…＋a2011＋a2012＝0.
15．已知集合M＝，N＝x，
n∈Z，P＝，试探求集合M、N、P之间的关系．
解析：m＋＝(6m＋1)，－＝(3n－2)＝[3(n－1)＋1]，＋＝(3P＋1)，N＝P.而6m＋1＝3×2m＋1，∴MN＝P.
16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数M的取值范围．
解析：①若B＝?，则应有m＋1>2m－1，即m<2.
②若B≠?，则?2≤m≤3.
综上即得m的取值范围是{m|m≤3}．
17．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求a的值．
解析：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
若a＝0，则B＝?，满足B?A.
若a≠0，则B＝.由B?A，可知＝－1或＝3，即a＝－1或a＝.
综上可知：a的值为0，－1，.
18．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B?A，求实数a的取值范围．
解析：因为A＝{－4,0}，所以分两类来解决问题：
(1)当A＝B时，得B＝{－4,0}．
由此可得0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，
故
解得a＝1.
(2)当B?A时，则又可以分为：
①若B≠?时，则B＝{0}或B＝{－4}，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，得a＝－1；
②若B＝?时，Δ<0，解得a<－1.
综上所述，实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.
数学·必修1(苏教版)
交集、并集
若集合A＝{x|x是6的倍数}，B＝{x|x是4的倍数}，则A与B有公共元素吗？它们的公共元素能组成一个集合吗？
两个集合A与B的公共元素能组成一个集合吗？若能组成一个集合C，则C与A、B的关系如何？
1．若集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{1,2,4}则A∪B＝( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
答案：A
2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝( )
A．? B．{x|－3C．{x|－3答案：C
3．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩?UB＝{9}，则A＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
答案：D
4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B为( )
A．{x＝1，或y＝2} B．{1,2}
C．{(1,2)} D．(1,2)
解析：A∩B＝＝{(1,2)}．
答案：C
5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且x＋y＝1，则A∩B的元素个数为( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：由?或
即A∩B＝{(1,0)，(0,1)}．
答案：C
6．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
答案：C
7．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则＝________.
解析：∵M∩S＝{3}，
∴3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p，q.
答案：
8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(?SA)∩B＝________.
解析：?SA＝{x|x>1}．
答案：{x|19．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1解析：∵A＝{x|a－1答案：{a|a≤0或a≥6}
10．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}，那么集合(A∩B)∪C是________．
答案：{1,3,7,8}
11．满足条件{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________个．
答案：4
12．集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B为( )
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1} D．?
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}
∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．
答案：C
13．若A、B、C为三个集合，且有A∪B＝B∩C，则一定有( )
A．A?C B．C?A
C．A≠C D．A＝?
答案：A
14．设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则?UA∪?UB＝________
解析：?UA＝{c，d}，?UB＝{a}，
∴?UA∪?UB＝{a，c，d}．
答案：{a，c，d}
15．(2013·上海卷)设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)·(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：当a≥1时，A＝{x|x≤1或x≥a}，
要使A∪B＝R，则?1≤a≤2；
当a<1时，A＝{x|x≤a或x≥1}，要使A∪B＝R，则?a<1.
综上，a≤2.
答案：{a|a≤2}
16．已知集合A＝{x||x＋2|<3，x∈R}，集合B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，x∈R}，且A∩B＝(－1，n)，求m和n的值．
解析：|x＋2|<3?－3∴A＝{x|－5∴－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，即m＝－1，此时B＝{x|－117．设集合P＝{1,2,3,4}，求同时满足下列三个条件的集合A：
(1)A?P；
(2)若x∈A，则2x?A；
(3)若x∈?PA，则2x??PA.
解析：∵2×1＝2,2×2＝4，因此1和2不能同时属于A，也不能同时属于?UA，同样地，2和4也不能同时属于A和?UA，对P的子集进行考查，可知A只能为：{2}，{1,4}，{2,3}{1,3,4}．
18．设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
(1)若A∩B≠?，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解析：(1)A＝{x|x≤－1或x≥4}，
∵A∩B≠?，
∴或
∴a＝2或a≤－.
综上所述，实数a的取值范围为.
(2)∵A∩B＝B，∴B?A.
①B＝?时，满足B?A，则2a>a＋2?a>2，
②B≠?时，则
或
即a≤－3或a＝2.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－3或a＝2}．
