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2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 S甲和 S乙，体积分别为V甲
S甲 3 V甲
数学 和
V乙 ．若 ，则 S 2 V （ ）乙 乙
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项： 3 21 2 21 9 4 21
A. B. C. D.
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填 7 7 4 21
写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 8．已知 a 6ln5 ，b 7ln 4 ， c 8ln3 ，则（ ）
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 A. a＞b＞c B. a＞c＞b
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 C. b＞c＞a D. c＞b＞a
第Ⅰ卷 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求的．全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分．
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
9．下列说法正确的是（ ）
要求的.
A. 当总体是由差异明显的几个部分组成时，通常采用分层抽样的方法抽样
2 i 1 i n
1．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
B. 若 x
1
x
的二项展开式共有 9项，则该展开式中各项二项式系数之和为 256
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限 8
2．设U R ，已知两个非空集合 P ，Q满足Q (CU P) R则（ ） C. 10件产品中有 8件正品，2件次品，若从这 10件产品中任取 2件，则恰好取到 1件次品的概率为 45
A． P Q B． P Q C．Q P D． P Q R
D. 已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差为 4，则数据 4x1 1,4x2 1,4x3 1,4x4 1,4x5 1的标准差为 8
3．平面向量 a,b 满足 a b 3, 2 , a b 1, x ，且 a b 0 ，则 x 的值为（ ） 2π
3 2 10． 已知 是函数 f x sin 2x 0 π 的一个零点，则（ ）
A. B. C.
2 3 2 3
D. 2 2 3
5π
4．数学中有些优美的曲线显示了数学形象美 对称美 和谐美，曲线C ： 2 3 x y2 16x2 y2 就是四叶玫瑰线， A. f x 在区间 0, 单调递减
12
3
则不等式 x2 y2 16x2 y2 表示区域所含的整点(即横 纵坐标均为整数的点)个数为（ ）
f x π ,11π B. 在区间 只有一个极值点
12 12
7π
C. 直线 x 是曲线 y f x 的对称轴
6
3
D. 直线 y x 是曲线 y f x 的切线
2
11．已知 F 是抛物线W : y2 2 px( p 0) 的焦点，点 A 1,2 在抛物线W 上，过点 F 的两条互相垂直的直
A．1 B．4 C．5 D．9
sin π 1 2π
线 l1， l2分别与抛物线W 交于 B ，C 和D， E ，过点A 分别作 l1， l2的垂线，垂足分别为M ， N ，则（ ）
5．已知 cos ，则 cos 2 （ ）
6 2 3
1 1 3 3 A. 四边形 AMFN 面积的最大值为 2 B. 四边形 AMFN 周长的最大值为 4 2A． B． 2 C． D．2 4 4
1 1
6．已知 6 p 7， 7q 8， pr q ，则 p，q，r 1的大小关系为（ ） C. BC DE 为定值 2 D. 四边形 BDCE 面积的最小值为 8
A. r p q B. q p r
p r q p q r 12．如图，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 3，点M 是侧面 ADD A 上的一个动点（含边界），点 P 在棱C. D.
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3 32 3 n
CC PC 1 a
3
3 2n2 上，且 ，则下列结论正确的有（ ） 18．已知数列{ n }满足 n n Na 1 a2 a3 an
（1）求数列{ an }的通项公式；
b a（2）设 n
an 1 1
n 2n 1 ，数列{bn }的前 n项和为 Tn，若Tm ，求 m.3 13
19．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形， AB∥CD ， AB AD ，侧面 PAD 底面 ABCD，
DP DA DC 1 AB ．
2
A. 沿正方体的表面从点A 到点 P 的最短路程为 2 10
B. 保持 PM 与 BD 垂直时，点M 的运动轨迹长度为 2 2
4
C. 若保持 PM 13 ，则点M 的运动轨迹长度为π
3
（1）证明：平面 PBC 平面 PAB；
99 （2）若 AD AP ，求平面 PAC 与平面 PAB夹角的余弦值．
D. 当M 在 D 点时，三棱锥 B MAP 的外接球表面积为 π 20．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发
4
布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国 2017年至 2021年云计算市场规模数据统计表如下：
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
13．在二项式 1 3x n 的展开式中，若所有项的系数之和等于 64，那么在这个展开式中， x2 项的系数是 年份代码 x 1 2 3 4 5
__________．（用数字作答）
云计算市场规模 y/亿元 692 962 1334 2091 3229
14.已知 f x 是定义在 ,0 U 0, x上的偶函数，当 x 0时， f x e 1，则曲线 y f x 在点
5 5
经计算得： ln y =36.33， (x
1, f 1 i i
ln yi ) =112.85.
处的切线方程为______． i 1 i 1
b x a
sin π 3 π π
（1）根据以上数据，建立 y关于 x的回归方程 y e （ e为自然对数的底数）.
15.已知 ， ,π 则 tan ____________. 6 5 2 12
（2）云计算为企业降低生产成本 提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸
x2 y2
16．已知 F1，F2分别为双曲线 C: 1 a 0,b 0 的左右焦点，过点 F1且斜率存在的直线 L 与双曲
a2 b2 与标准品尺寸的误差 ~ N (0,
4 ) ，其中 m为单件产品的成本（单位：元），且 P( 1 1) =0.6827；引入
m
8c 云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 ~ N (0,
1 ) .若保持单件产品的成本不变，则 P( 1 1)
线 C 的渐近线相交于 AB 两点，且点 AB 在 x 轴的上方， AB 两个点到 x 轴的距离之和为 ，若 m
5 将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
AF BF ，则双曲线的离心率________ 附：对于一组数据 (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , y ),其回归直线 y n x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为2 2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． n
1 2 2 xi yi nx y
17．已知 ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c，面积为S ，满足 S a b sinC ． i 13 = n ， y x .
x 2 nx 2
(1)证明： sin A 2sin B i； i 1
(2)求所有正整数 k ，m 的值，使得 c mb和 tan A k tanC 同时成立． 若 X ~ N ( , 2 ) ，则 P(| X | ) 0.6827 ， P(X | 2 ) 0.9545， P(| X | 3 ) 0.9973.
3
21．已知 M，N分别是 x轴，y轴上的动点，且 MN 4 2 3，动点 P满足MP PN ，设点 P的轨迹为曲
2
线 C．
(1)求曲线 C的轨迹方程；
(2)直线 l1：3x 2y 0与曲线 C交于 A，B两点，G为线段 AB上任意一点（不与端点重合），倾斜角为 的直
l | EF |
2
线 2经过点 G，与曲线 C交于 E，F两点．若 的值与点 G的位置无关，求 | GE |：| GF |的值．| GA | | GB |
22．已知函数 f x 2 a x ln x x x2 a ln x 1， g x 为函数 f x 的导函数
（1）讨论 g x 的单调性；
a 1 h x 2x2（2）当 时， ln x x f x ，若m 0， n 0 ，且mn 1，证明： h m h n 0 .关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷
参考答案
1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．A 8． A
9．ABD 10．ABD 11．AB 12.BD
13．135 14 15． ex y 1 0 15． 7 16．
3
17．【答案】(1)证明见解析(2) k 1，m 2
1 2 2 1
【解析】(1)因为 S a b sinC absinC ，3 2
所以 2a
2 3ab 2b2 0，即 (a 2b)(2a b) 0．
因为 a，b 0，所以a 2b 0．
由正弦定理得2R sin A 2 2R sin B ，其中 R 为 ABC 的外接圆半径，
所以 sin A 2sin B ．
sin A sin C
k
(2)由 tan A k tanC ，可知 cos A cosC ，
a kc
b2 c2 a2 a2 b2 c2
则由正、余弦定理得到 2bc 2ab ，
a2 b2 c2 k b2 c2 a2
化简得 ．
4b2 b2 2c mb a 2b m b
2 k b2 m2b2 4b2
因为 ， ，所以 ，
m2 2 3
即 k 1 ，
因为 k ，m 均为正整数，所以 k 1，m 2 .
n
18 3．【答案】（1） an （2）m 94n 1
3 32 33 3n 2
【解析】（1）因为 2n n n Na a a a ①， 1 2 3 n
3
则当 n 1时， 3,a 则
a1 1，
1
3 32 33 3
n 1
当 n 2 时，得 2 n 1
2 n 1
a a a a ②，1 2 3 n 1
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3n 3n
则① ②得 4n 1，则 an ，又 a1 1满足上式，an 4n 1
n
所以数列{ an }的通项公式为 a
3
n ,n N
4n 1
3n n 1 3
（2）b ana n 1 4n 1 4n 3 1 1 1 1n 3n 1 32n 1
( )
4n 1 4n 3 4 4n 1 4n 3
1
所以Tn b1 b2 bn (
1 1
) (1 1 ) ( 1 1 )
4 3 7 7 11 4n 1 4n 3
T 1化简得： n (
1 1
) n
4 3 4n 3 12n 9
T m 1m ，解得m 9 .12m 9 13
19 2 7．【答案】（1）证明见解析. （2） .
7
【解析】（1）由题意，
取M , N 分别为棱 PA, PB的中点, 连接 DM , MN , NC ,
则MN / / AB, MN
1
AB ;
2
1
∵CD / / AB , 且CD AB ,
2
∴MN // CD , 且MN CD ,
∴四边形MNCD 为平行四边形, 故 DM / /CN .
∵ DP DA, M 为棱 PA 的中点,
∴ DM PA ;
∵ AB AD , 平面 PAD 底面 ABCD , 平面 PAD 底面 ABCD AD ,
∴ AB 平面 PAD ,
∵ DM 平面 PAD ,
∴ AB DM ;
又 AB PA A,且 AB，PA 在平面内
∴ DM 平面 PAB .
∵ DM / /CN ,
∴CN 平面 PAB ,
又∵CN 平面 PBC ,
∴平面 PBC 平面 PAB .
（2）由题意及（1）得，
取 AD 中点为O , 连接 PO ,
∵ PAD 为等边三角形,
∴ PO AD ,
∵平面 PAD 底面 ABCD ,
∴ PO 底面 ABCD ,
过O作OE / / AB , 交 BC 于点 E , 则OE AD ;
以O为原点,OA,OE,OP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,
设 AD 2， 则 P(0,0, 3), A(1,0,0), D( 1,0,0),C( 1,2,0), M
1 ,0, 3 2 2
,
则 DM
3
,0,
3
, AP ( 1,0, 3), AC ( 2,2,0) ,
2 2
3
由（1）可知 DM 平面 PAB 故平面 PAB的法向量取 DM ,0,
3
2 2
,
设平面 PAC 的法向量为 n (x, y, z) ,
n AP 0 x 3z 0
由 , 解得 ,
n AC 0 2x 2y 0
令 x 3 , 得 n ( 3, 3,1) ,
设平面 PAC 与平面 PAB的夹角为 ,
cos | n D∴ M | 2 3 2 7 ,
| n || DM | 3 7 7
∴平面 PAC 与平面 PAB 2 7夹角的余弦值为 .
7
20．【答案】（1） y e0.386x 6.108 （2） P( 1 1) 0.9545，成本下降 3元.
【解析】（1）因为 y ebx a ，所以 ln y b x a ，
5 5
xi ln yi x lnyi
b i 1 i 1 112.85 3 36.33 3.86所以 5 2 0.386，
x2 nx 2 1 4 9 16 25 5 3 10i
i 1
1 5 1
所以 a lny b x 36.33 0.386 3 6.108，
5 ii 1 5
所以 y eb x a e0.386x 6.108 .
4 4
（2）未引入云算力辅助前， N 0, ，所以m 0,
，
m
又 P( 1 1) 0.6827 P( ) 4，所以 1，所以m 4 .
m
引入云算力辅助后， N
1 1
0, ，所以m 0,
，
m
m 4, N 0, 1 , 1 1若保持产品成本不变，则 ，
4 4 2
所以 P( 1 1) P( 2 ) 0.9545
1
若产品质量不变，则 1，所以m 1，
m
所以单件产品成本可以下降 4 1 3元.
x2 y2
1
21．【答案】（1） 16 12 ; （2）1
【解析】
2
M x ,0 N 0, y x2 y2 4 2 3
（1）设 0 ， 0 ，则 0 0 ．
P x, y MP x x0 , y PN x, y0 y 设 ，则 ， ．
3 x 1
3
0 x
x x0 x 2
2
2 3y 3 y y y0 1 y
2 0 3 2由题意得 ，解得 ，
2 2
2 2 2
1
3 4 3
x
2 1 y
2 4 2 3 x y
2 3 2 1
所以 ，化简得 16 12 ，
x2 y2
1
即曲线 C的方程为 16 12 ．
3x 2y 0
x2 y2 x 2 x 2
1
（2）证明：由 16 12 ，解得 y 3或 y 3，（不妨设点 A在第一象限），所以 A(2,3) ，B( 2, 3)．
2
G(2m,3m) 1 m 1 | GA | 13(1 m) | GB | 13(1 m) | GA | | GB | 13 1 m 设点 ，其中 ，则 ， ，所以 ．
l
若直线 2
l
的斜率不存在，则直线 2的方程为 x 2m，
| EF |2 12 4 m2
E 2m, 12 3m2 F 2m, 12 3m2 | GA | | GB | 13 1 m2
此时 ， ，故 不为定值．
l2 l2 k l若直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 2的方程为 y kx (2k 3)m ．
l 4k 2 3 x2 8km(2k 3)x 4(2k 3)2 m2 48 0
将直线 2的方程代入曲线 C的方程化简、整理，得 ．
8km(2k 3) 4(2k 3)2 m2 48
E x1, y1 F x2 , y2 x1 x2 2 x1x2 2设 ， ，则 4k 3 ， 4k 3 ，
1 k 2 64k 2m2 (2k 3)2 16 4k 2 3 (2k 3)2 m2 12 2
| EF |2 1 k 2 x x 2 4k 2 3
所以 1 2
48 1 k 2 (2k 3)2 m2 16k 2 12
4k 2 2 3
，
2 48 1 k 2 (2k 3)2 m2 16k 2| EF | 12
| GA | | GB | 13 4k 2 2 3 m2 1
故 ．
| EF |2 1
因为 | GA | | GB |
2
的值与 m的值无关，所以 (2k 3) 16k
2 12 k ，解得 2 ，
x1 x2 4km(2k 3) 2 2m
所以 2 4k 3 ，所以 G是 EF的中点，即 | GE | | GF |．
所以 | GE |:| GF | 1．
22．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析
2
【解析】（1）因为 f x 2 a x ln x x x a ln x 1定义域为 0, ，
则 f x 2 a ln x 2x a a ，即 g x 2 a ln x 2x ，
x x
2
2 a a 2x 2 a x a x 1 2x a 所以 g x 2 2 ，x x x2 x2
当 a 0 时 g x 0恒成立，所以 g x 在 0, 上单调递增，
当 a 0时，令 g x 0 a a解得 x ，令 g x 0解得 0 x ，
2 2
g x a , 0, a 所以 在 上单调递增，在2 上单调递减， 2
综上可得，当 a 0 时 g x 在 0, 上单调递增，
当 a 0时 g x a , 0, a 在 上单调递增，在2 2 上单调递减.
（2）证明：当 a 1时 f x x ln x x x2 ln x 1，
所以 h x 2x2 ln x x f x x ln x x2 1， x 0, ，
所以 h x ln x 2x 1，
令u x ln x 2x 1 u x 1 2x 1，则 2 x 1 1，所以当 时u x 0，当0 x 时
x x 2 2
u x 0，
u x 0, 1 1即 在 上单调递减，在 ,
上单调递增，
2 2
所以u x u 1 ln 2 0 ，即 h x 0，所以 h x 在 0, 上单调递增，
2
不妨设m n ，因为mn 1，所以有①1 m n或②0 m 1 n 两种情况，
当①1 m n时，因为 h x 在 0, 上单调递增，
所以 h n h m h 1 0 ，所以 h m h n 0，
m 1
1
当②0 m 1 n 时，由mn 1，得 ，所以 h m h
n
，
n
h m h n 1 1 1 h h n n ln n n 则 ，
n n n
1
由0 m 1 n ，所以 n 0，
n
令 x ln x 1 x ， x 1, ，
x
2 1 3 x
则 2 x2 x 1 2 4 ，
x 1 1 1 x x 1
x x2 x2 x2 x2
所以 x 0，即 x 在 1, 上单调递减，且当 x 趋向于 1时 x 趋向于 0，则 x 0 ，
1
所以 ln n n
1
0 n ，则 ln n
1
n 0，即 h m h n 0，n n n
综上可得当m 0， n 0 ，且mn 1时， h m h n 0 .
