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2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷 5．中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为 6 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴
影部分，然后按虚线处折成高为 3 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A. 144 B. 72 C. 36 D. 24
第Ⅰ卷 6．已知等比数列 an 的公比为q，其前 n 项和为 Sn ，若 Sn 0对任意的 n N 恒成立，则q的取值范围
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
是（ ）
要求的.
A x x2 5x 6 0 B x y ln 2x 14 A. ,0 0,1 B. 1,0 U 0,1
1．若集合 ， ，则 (CR A) B
（ ）
A. 1,7 B. 1,6 C. 7, D. 6, C. , 1 0, D. 1,0 0,
2 2
2．已知 i 是虚数单位，复数 z1 1 2i, z2 2a i a R 在复平面内对应的点为 P，Q，若OP OQ（O 7．直线 x - 2y +2 = 0 x y经过椭圆 1 a b 0 的左焦点 F ，交椭圆于2 2 A ， B 两点，交 y 轴于M 点，a b
为坐标原点），则实数a （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 若 FM 3AM ，则该椭圆的离心率为（ ）
3．函数 y 2x2 e|x| 在 –2,2 的图象大致为（ ） A. 17 5 B. 17 5 C. 17 5 D. 17 5
8 4 2 9
8．已知函数 x ln x ．设 s 为正数，则在 (s), s2 , (2s)中（ ）
x
A. B. A. s2 不可能同时大于其它两个 B. (2s) 可能同时小于其它两个
2
C. 三者不可能同时相等 D. 至少有一个小于 4
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求的．全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 3 分．
C. D.
9．已知数据x1，x2， x3 ，…， xn 的众数、平均数、方差、第 80 百分位数分别是 a1，b1， c1， d1 ，数据
y1 ， y2 ， y3 ，…， yn 的众数、平均数、方差、第 80 百分位数分别是 a2，b2， c2， d2 ，且满足
4．已知 R ，函数 f x x 6 2 sin x ，存在常数 a R ，使得 f x a 为偶函数，则 可能的 yi 3xi 1 i 1,2,3, ,n ，则下列结论正确的是（ ）
值为（ ） A. b2 3b1 1 B. a2 a1
A. B. C. D.
2 3 4 5 C. cc22 939cc1 D. d2 3d 11 1
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10．折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现
12．定义在 0, 上的函数 f x 满足 2 f x xf x 1 2 ， f 1 0，则下列说法正确的是（ ）
代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对 x
角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的， f x 1A. 在 x e 处取得极大值，极大值为 2e
其平面图如图 2，则（ ）
B. f x 有两个零点
C. 若 f x k 1 2 在 0,
e
上恒成立，则 k
x 2
D. f 1 f 2 f 3
三．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．写出曲线 y x3 3x 过点 2,2 的一条切线方程__________．
n
1
14.已知 x 的展开式中第 3 项与第 8 项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为___________.2
uuur uuur x
A．EH / /FC B． AH BE 0
2 2
x y 2 215.已知双曲线 E : 1(a 0,b 0)的右焦点 F (3,0) ，点 A 是圆 (x 3) (y 4) 8上一个动点，C．EG EH EF D．EC EH EC ED a2 b2
11．如图 1，在 ABC 中， ACB 90 ， AC 2 3 ，CB 2，DE 是 ABC 的中位线，沿 DE 将VADE 且线段 AF 的中点 B 在双曲线 E 的一条渐近线上，则双曲线 E 的离心率的取值范围是____________.
16．如图，已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 为矩形，SA⊥AB，SB=SC=2，SA=AD=1，则四棱锥 S-ABCD 的
进行翻折，连接 AB，AC 得到四棱锥 A BCED（如图 2），点 F 为 AB 的中点，在翻折过程中下列结论正确
外接球的表面积为____________.
的是（ ）
3 3 3 π 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 当点 A 与点 C 重合时，三角形 ADE 翻折旋转所得的几何体的表面积为 2
17．已知数列 an 是等差数列， a1 1，且 a ， a *1 2， a5 1成等比数列．给定 k N ，记集合
3
B. 四棱锥 A BCED的体积的最大值为
2 n∣k an 2k ,n N* 的元素个数为bk ．
C. 3若三角形 ACE 为正三角形，则点 F 到平面 ACD 的距离为 （1）求b1，b2的值；
2
（2）求最小自然数 n 的值，使得b
3 1
b2 bn 2022．
D. 若异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值为 ，则 A、C 两点间的距离为 2 3
4
18．已知 ABC 2 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ， A ，b 10， c 6 ， ABC 的内切圆 I 的面积
3 （2）若侧面 PAD 底面 ABCD 3，侧棱 PB 与底面 ABCD所成角的正切值为 ，M 为侧棱 PC 上的动点，
2
为S .
（1）求S的值； 且 PM PC( [0,1]) .
5
是否存在实数 ，使得平面 PAD 与平面MAD 的夹角的余弦值为 ？若存在，
5
（2）若点D在 AC 上，且 B, I , D 三点共线，求BD BC 的值. 求出实数 若不存在，请说明理由.
2
19．第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大 21.已知 F 为抛物线C : y 2 px( p 0) 的焦点，O为坐标原点，M 为C 的准线 l上的一点，直线MF 的斜率
战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有 为 1, OFM 的面积为 1．
关，随机抽取了男 女同学各 100 名进行调查，部分数据如表所示：
（1）求C 的方程；
喜欢足球 不喜欢足球 合计
（2）过点 F 作一条直线 l ，交C 于 A, B 两点，试问在 l上是否存在定点 N ，使得直线 NA与 NB 的斜率之
男生 40 和等于直线 NF 斜率的平方？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
女生 30 22．已知函数 f x e cosx ， g x x cosx ．
合计
（1）对任意的 x
π
,0
， tf x g x 0恒成立，求实数 t 的取值范围； 2
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
2 （2）设方程 f x g x 在区间 (2nπ
π
, 2nπ π )(n N*) 内的根从小到大依次为x1，x2，…，
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为 3 ，女
3 2
1 xn ，…，求证： xn 1 xn 2
生进球的概率为 2 ，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求 3 人进球总次数的分布列和数学期望.
n(ad bc)22
附：K a b c d a c b . d
P K 2 k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形， AB BC ， AD∥BC ，
AD DC 2BC ， ADC 60 ，侧面 PAD 是等腰三角形， PA PD .
（1）求证： BC PC ；关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题 微信号：Xueba-2021
2023 年高考数学考前冲刺模拟试卷
参考答案
1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8． D
9．AD 10．BCD 11．AB 12.ACD
13． y 2或9x y 16 0（写出其中的一个答案即可）
13π
14． 84 15．[ 2, ) 16．
3
17．【答案】（1）b1 2，b2 3； （2）11
【解析】（1）设数列{an} 2的公差为d ，由 a1， a2， a5 1成等比数列，得 a1(a5 1) a2 ，
1 (1 4d 1) (1 d )2 ，解得 d 1，所以 an n ，
k 1时，集合{n |1 n 2,n N*}中元素个数为b1 2，
k 2时，集合{n | 2 n 4,n N*}中元素个数为b2 3；
（2）由（1 b 2k）知 k k 1，
2(1 2n 2b1 b2 b
) n(n 1) n n n
n n 2(2 1) ，1 2 2 2 2
2 2
n 10 时， 2(2n 1) n n =2001<2022， n 11时， 2(2n 1) n n =4039>2022，
2 2 2 2
记Tn b1 b2 bn ，显然数列{Tn}是递增数列，
所以所求 n 的最小值是 11.
2
18 2 2 2．【解析】（1）在 ABC 中，由余弦定理得： a b c 2bccos
3
a2 100 36 60 196，即 a 14
1 1
设内切圆 I 的半径为 r ，则 S ABC a b c r bcsin
2
2 2 3
r 3 S r 2 3
11
（2）在 ABC 中，由（1）结合余弦定理得 cos ABC ，
14
S AB
Q BD 平分 ABC, 点D到 AB, BC ABD的距离相等，故 S ， CBD BC
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S AD AB AD 3 7 3 ABD
而 , BD BA BCS CBD CD BC CD 7 10 10
7 2BD BC BA BC 3 BC 7 6 14 11 3 142 105
10 10 10 14 10
11
19．【答案】(1)列联表见解析，有(2)分布列见解析， 6
【解析】（1） 2 2列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
K 2 200 (60 70 40 30)
2
18.182 10.828,
100 100 90 110
有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关
（2）3 人进球总次数 的所有可能取值为0,1, 2,3，
P 0 1
2
1 1 , P 1 C1 2 1 1 1 1
2 5
2
3 2 18 3 3 2 2 3 18
2 2
P 2 C1 2 1 1 2 1 4 2 1 22 , P 3
3 3 2 3 2 9 3
2 9
的分布列如下：
0 1 2 3
1 5 4 2
P 18 18 9 9
5 4 2 11 的数学期望: E 1 2 3
18 9 9 6
2
20．【答案】（1）证明见解析 （2）存在， .
3
【解析】（1）由题意，在四棱锥 P ABCD 中，取 AD 的中点为 E ，连接 PE ，CE ，
在等腰 PAD 中， PA PD，∴ PE AD，
在直角梯形 ABCD中，
AB BC ， AD∥BC ， AD DC 2BC ， ADC 60 ，
∴ BC PE , BC AE DE , AB∥CE ，四边形 ABCE 是矩形，
∴ BC CE ，CE AD ， AB CE ， BC AE DE
1
CD ，
2
∴ DCE 30 ， CDE 60 , AB CE 3DE 3AB ,
∵ BC 面 PCE ， PE 面 PCE ，CE 面 PCE ， PE CE E ，
∴ BC 面 PCE ，
∵ PC 面 PCE ,
∴ BC PC .
（2）由题意及（1）得， PE AD，CE AD ， AB CE ， BC AE ，
在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 底面 ABCD，面 PAD 底面 ABCD AD ，
∴ PE CE ，
∵侧棱 PB 与底面 ABCD 3所成角的正切值为 ， AB CE 3DE 3AB
2
设 PE 3a，
∴由几何知识得， BE 2a ，四边形 BCDE 是平行四边形，
∴ BE∥CD , AEB CDE 60 ，
在直角 ABE 中， AE BE cos AEB a， AB BE sin AEB 3a ，
∴ AB CE 3a， BC AE DE a
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴ E 0,0,0 ， A 0, a,0 ， B 3a, a,0 ，C 3a,0,0 ， D 0,a,0 ， P 0,0, 3a ，
∵M 为侧棱 PC 上的动点，且 PM PC( [0,1]) ，
设M xM ,0, zM
xM PE yM PM由几何知识得， ，解得：M 3 a,0, 3 1 a ，
CE PE PC
ur
在面 PAD 中，其一个法向量为 n1 1,0,0 ，
在面MAD 中， AD 0,2a,0 ， AM 3 a,a, 3 1 a ，
uur
设平面的法向量为 n2 x, y, z ，
n AD 0 0 2ay 0 0 y 0 2
则
，即 ，解得：
n2 AM 0 3 ax ay 3 1 az 0 z x 1
当 x 1 时， n2 1 ,0, ，
设平面 PAD 与平面MAD 的夹角为
∵平面 PAD 与平面MAD 5的夹角的余弦值为
5
1
∴ cos
5
1 0 0 1 2 0 2 5
2
解得： 或 2（舍）
3
2 5
∴存在实数 ，使得平面 PAD 与平面MAD 的夹角的余弦值为 .
3 5
21．【答案】（1） y2 4x （2）存在， 1,0 或 1, 4
F p ,0 p , a 【解析】（1）由题意知 ，设点M 的坐标为2 2
，
a 0 a
则直线MF 的斜率为 p p p ．
2 2
a
因为直线MF 的斜率为 1，所以 1，即 a p ，p
1 p2
所以△OFM 的面积 S OF a 1，
2 4
解得 p 2 或 p 2（舍去），
故抛物线C 的方程为 y2 4x．
（2）解：假设存在点 N ，使得直线 NA与 NB 的斜率之和等于直线 NF 斜率的平方．
由（1）得 F 1,0 ，抛物线C 的准线 l的方程为 x= 1．
设直线 l 的方程为 x my 1， A x1, y1 ， B x2 , y2 ， N 1, t ，
x my 1
联立 得 y22 4my 4 0，
y 4x
所以 16m2 16 0， y1 y2 4m ， y1y2 4．
k 0 t t因为 NF ，1 1 2
y1 t y2 t 2my1 y2 2 tm y1 y2 4tkNA kNB x 1 x 1 m21 2 y1 y2 2m y1 y2 4
2m 4 4m 2 tm 4t 4t m2 1
t ，
4m2 2m 4m 4 4 m2 1
t 2
t 所以 ，解得 t 0或 t 4．
2
N NA NB NF 1,0 1, 4 故存在定点 ，使得直线 与 的斜率之和等于直线 斜率的平方，其坐标为 或 ．
22．【答案】（1） t 1 （2）证明见解析
π
【解析】（1） g x 1 sinx，对任意的 x ,0 ， tf x g x 0恒成立， 2
即 tex
π
cos x 1 sin x 对任意的 x ,0 恒成立． 2
当 x 时，则有0 0对任意的 t R 恒成立；
2
π x 0 1 sin x 1 sin x π当 时， cosx 0，则 t x ，令 h(x) x ，其中 x 0，2 e cos x e cos x 2
x
h (x) e cos
2 x ex (cos x sin x)(1 sin x) (1 cos x)(1 sin x)
，
e2x 2
0
cos x ex cos2 x
且 h x 不恒为零，
故函数 h x π 在 ,0 上单调递增，则 h x h 0 1
2 max
，故 t 1．
综上所述， t 1．
（2）由 f x g x 可得 ex cos x 1 sin x ，
令 (x) ex cos x sin x 1，则 (x) ex (cos x sin x) cos x ．
因为 x (2nπ
π , 2nπ π )(n N*)，则 sinx cosx 0，
3 2
所以， x 0，所以，函数 x 在 (2nπ π , 2nπ π )(n N*) 上单调递减．
3 2
因为
π π 2n
π
2nπ 2nπ 3
(2nπ π ) e 3 cos(2nπ π ) sin(2nπ π ) 1 1 e 3 3 1 e 3 1 0
3 3 3 2 2 2 2
2n
π
2 0，
2
所以，存在唯一的 x0 (2nπ
π
, 2nπ π )(n N*) ，使得 x 0．
3 2 0
π
所以， xn (2nπ , 2nπ
π
)(n π π N*) ，则 xn 1 2π (2nπ , 2nπ )(n N
*) ，
3 2 3 2
(x 2π) exn 1 2π所以， n 1 cos(xn 1 2π) sin(xn 1 2π) 1
exn 1 2π cos xn 1 sin xn 1 1 e
xn 1 2π cos x xn 1n 1 e cos xn 1
(exn 1 2π exn 1 ) cos xn 1 0 ，
π π *
因为函数 x 在 (2nπ , 2nπ )(n N ) 上单调递减，
3 2
故 xn 1 2 xn ，即 xn 1 xn 2 ．
