综合检测(三)
第三章 万有引力定律及其应用
(分值：100分 时间：60分钟)
一、选择题(本大题共7个小题，每小题6分，共42分，1－3小题为单选，4－7小题为双选，全部选对得6分，选对但不全得3分，有错选的得0分．)
1．(2013·广东高考)如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
图1
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
【解析】 卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．根据G＝ma得a＝故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝m()2r，得T＝2π，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误．
【答案】 A
2．美国于2011年8月5日利用“宇宙神－5”运载火箭将重为4 t的木星探测器“朱诺”发射升空，进入“奔木”轨道后，靠三块巨大的太阳能电池板工作，将于2016年7月抵达木星，对木星内部构造、大气、极光、磁场以及是否存在水进行更为详尽的探测，关于“朱诺”的发射速度下列说法正确的是( )
A．等于7.9 km/s
B．大于7.9 km/s而小于11.2 km/s
C．大于11.2 km/s而小于16.7 km/s
D．大于16.7 km/s
【解析】 由于探测器摆脱了地球束缚，但未飞离太阳系，因此发射速度应介于第二宇宙速度与第三宇宙速度之间，故C正确．
【答案】 C
3．“嫦娥二号”卫星在对月球进行探测过程中的工作轨道为圆轨道，轨道高度为100 km，运行周期为118 min.若还知道引力常数和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )
A．月球表面的重力加速度
B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的速度
D．卫星绕月运行的加速度
【解析】 在月球表面万有引力等于重力，
即G＝mg，故g＝①
对“嫦娥一号”卫星，万有引力提供向心力
G＝m()2(R＋h)，得M＝②
根据题意G、R、h、T已知，由①②式可求出月球表面的重力加速度，A可以；由于不知卫星的质量，月球对卫星的吸引力不能求出；由G＝ma＝m可得a＝G，v＝，故C、D可求出，答案选B.
【答案】 B
4．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( )
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量有关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
【解析】 第一宇宙速度又叫环绕速度，故A正确，B错误；根据G＝m得v＝ 可知第一宇宙速度与地球质量、半径有关，故C正确，D错误．
【答案】 AC
图2
5．(2013·惠州高一检测)如图2，质量相同的物体A和B，分别位于地球表面赤道上的a处和某一纬度上的b处，跟随地球匀速自转，下列说法正确是( )
A．A物体的线速度大于B物体的线速度
B．A物体的角速度大于B物体的角速度
C．A物体所受的万有引力小于B物体所受的万有引力
D．A物体的向心加速度大于B物体的向心加速度
【解析】 A、B两物体同轴转动，角速度ω相同．由v＝rω和rb
aB，D对．
【答案】 AD
图3
6．(2013·广州高一检测)如图3，地球赤道上的山丘、近地资源卫星和同步通信卫星均在赤道平面内绕地心做匀速圆周运动．设山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q的圆周运动速率依次为v1、v2、v3，向心加速度依次为a1、a2、a2，则( )
A．v1>v2>v3 B．v1C．a1>a2>a3 D．a2>a3>a1
【解析】 e与q的角速度相同
由a＝rω2得a3>a1①
由v＝rω得v3>r1②
p与q均绕地心做匀速圆周运动，由v＝得v3由a＝得a3由①④得，a2>a3>a1，C错D对．
由②③得，v2>v3>v1，A错B对．
【答案】 BD
7．(2013·中山高一检测)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由两颗星体组成双星系统．它们的简化模型如图4所示，假设两个天体(可视为质点)绕它们连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离为L，其中天体A的质量为m1，天体B的质量为m2.A到O的距离是r，转动的角速度为ω.则下列说法正确的是
( )
图4
A．A受到B的引力大小是G
B．B受到A的引力大小是G
C．A在匀速转动时的向心力大小是m1ω2L
D．B在匀速转动时的向心力大小是m2ω2(L－r)
【解析】 由万有引力定律得A、B间的万有引力F＝A对B错．对天体A所受向心力FA＝m1rω2，C错．天体B所受向心力FB＝m2(L－r)ω2，D对．
【答案】 AD
二、非选择题(本题包括5个小题，共58分，解答要写出必要的文字说明、主要的解题步骤，有数值计算的要注明单位)
图5
8．(6分)如图5为我国“嫦娥二号”探月卫星的“奔月”飞行路线图．
(1)在卫星飞离地球的过程中，地球对它的引力________(填“增大”、“减小”或“不变”)．
(2)已知月球与地球的质量之比为M月∶M地＝1∶81.当探测器飞至月地连线上某点P时，月球与地球对它的引力恰好相等，此时P点到月球球心与地球球心的距离之比为________．
【解析】 (1)根据万有引力定律F＝G可知，当距离增大时，引力减小．
(2)根据万有引力定律及题意得G＝G
又M月∶M地＝1∶81，所以r月∶r地＝1∶9.
【答案】 (1)减小 (2)1∶9
9．(12分)某星球的质量约为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，若从地球表面高为h处平抛一物体，水平射程为60 m，则在该星球上从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，水平射程为多少？
【解析】 平抛运动水平位移x＝v0t
竖直位移h＝gt2
解以上两式得x＝v0·
由重力等于万有引力mg＝G得
g＝
所以＝()2＝9×＝36
＝＝，x星＝x地＝10 m
【答案】 10 m
10．(12分)一航天员在某行星的极地着陆时，发现自己在当地的重力是在地球上重力的0.01倍，进一步研究还发现，该行星一昼夜的时间与地球相同，而且物体在赤道上完全失重，试计算这一行星的半径及第一宇宙速度(地球表面重力加速度g＝10 m/s2，保留两位有效数字)．
【解析】 由题意知该行星表面的重力加速度
g′＝0.01g＝0.1 m/s2
该行星自转周期T＝24×3 600 s＝86 400 s
赤道上物体完全失去重力，表面重力全部提供向心力，
故mg′＝mR①
mg′＝m②
将g′、T代入①式得行星的半径R＝1.9×107m
由②式得v＝＝1.4 km/s
【答案】 1.9×107m 1.4 km/s
11．(14分)某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，体重测试仪的示数为1 220 N．已知，地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2.则：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
【解析】 (1)由题意知，宇航员连同随身装备的质量m＝ kg＝84 kg.在h高度处对宇航员受力分析有F－mg′＝ma，
得＝＝.
(2)由万有引力定律公式，在地面处有G＝mg，在h高度处有G＝mg′，解以上两式得h≈0.025R＝160 km.
【答案】 (1) (2)160 km
12．(14分)(2012·梅州高一检测)(1)开普勒行星运动定律指出，行星绕太阳运动的公转周期T的二次方与轨道的半长轴a的三次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太；
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留1位有效数字)
【解析】 (1)因行星绕太阳做圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G＝m行()2r①
于是有＝②
即k＝.③
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，
由②式可得＝④
解得M地＝6×1024 kg(5×1024 kg也算对)．⑤
【答案】 (1) (2)6×1024 kg
1．(双选)下列说法正确的是( )
A．海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的
C．天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．以上说法都不对
【解析】 海王星和冥王星都是人们先根据万有引力定律计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的．天王星是人们通过望远镜观察发现的．在发现海王星的过程中，天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道引起了人们的思考，推测天王星外面存在其他行星．综上所述，选项A、C正确．
【答案】 AC
2．关于宇宙速度，下列说法正确的是( )
A．第一宇宙速度是能使人造地球卫星飞行的最小发射速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
C．第二宇宙速度是卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度
D．第三宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度
【解析】 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星绕地球飞行的最大速度，A对，B错；第二宇宙速度是在地面上发射物体，使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，C错；第三宇宙速度是在地面上发射物体，使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，D错．
【答案】 A
3．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
【解析】 探测器做匀速圆周运动由万有引力充当向心力，G＝mr，G＝m，G＝mω2r，G＝ma.由以上四式可知，T减小则r减小，a、v、ω均增大，故仅A正确．
【答案】 A
4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A．() B．()
C．() D．()
【解析】 天体质量M＝πR3ρ，物体对天体表面无压力，即万有引力完全用来提供物体随天体自转的向心力，即＝mR，得T＝()，D正确．
【答案】 D
5．(双选)我国于2012年1月13日在西昌卫星发射中心利用“长征三号甲”运载火箭将自行研制的“风云二号F星”送入同步转移轨道，之后经过变轨控制后成功定点于东经112°赤道上空的地球同步轨道．关于定点后的“风云二号F星”，下列说法正确的是( )
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
【解析】 7.9 km/s是第一宇宙速度，是所有地球卫星的最大运转速度，故A错误；因“风云二号F星”是同步卫星，其轨道半径大于地球半径，而小于月球的轨道半径，B、C均正确；因该星与赤道上物体的角速度相同，但到地心距离不同(r＞R)，由a向＝rω2得a星＞a物，故D错误．
【答案】 BC
6．“嫦娥一号”绕月卫星成功发射之后，我国又成功发射了“嫦娥二号”，其飞行高度距月球表面100 km，所探测到的有关月球的数据比飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加翔实．若两颗卫星环月的运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图3－2－4所示，则有( )
图3－2－4
A．“嫦娥二号”线速度比“嫦娥一号”小
B．“嫦娥二号”周期比“嫦娥一号”小
C．“嫦娥二号”角速度比“嫦娥一号”小
D．“嫦娥二号”加速度比“嫦娥一号”小
【解析】 根据G＝mω2r＝m()2r＝＝ma可得v＝，a＝G，ω＝，T＝2π，可见，轨道半径较小的“嫦娥二号”的线速度、加速度和角速度均较大，而周期较小．故B正确．
【答案】 B
7．(双选)(2013·揭阳高一检测)如图3－2－5所示，“神舟八号”与“天宫一号”在离地面的三百多公里的同一轨道上绕地球做匀速圆周运动时( )
图3－2－5
A．运行周期相同
B．都处于平衡状态
C．向心力相同
D．飞行速度都小于第一宇宙速度
【解析】 “神舟八号”与“天宫一号”的轨道半径相同．由T＝2π得，周期相同，A对．第一宇宙速度是最大的绕行速度，D对．由于两者做匀速圆周运动，不是平衡状态，B错．又因不知两者的质量关系，则向心力的大小不能确定，C错．
【答案】 AD
8．如图3－2－6所示，a、b、c是环绕地球圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是ma＝mb图3－2－6
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的周期相等，且小于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b所需向心力最小
【解析】 由G＝m＝mω2r＝mr＝ma
可得卫星的线速度v＝，故va>vb＝vc，A错．周期T＝2π，故Taab＝ac，C错．因为向心力F＝ma，aa>ab＝ac，ma＝mb故向心力Fa>Fb，Fc>Fb，D对．
【答案】 D
9．人造卫星在运行中因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运行的轨道半径会慢慢减小，在半径缓慢变化过程中，卫星的运动还可近似视为匀速圆周运动，当它在较大的轨道半径r1上运行时线速度为v1，周期为T1，后来在较小的轨道半径r2上运行时线速度为v2，周期为T2，则它们的关系是( )
A．v1v2，T1>T2
C．v1T2 D．v1>v2，T1【解析】 人造卫星做匀速圆周运动，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力
由G＝m，得v＝，即v∝，则r减小时，v增大．由G＝mr()2，得T＝，则r减小时，T减小．故C正确．
【答案】 C
10．如图3－2－7所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件不能求出的( )
图3－2－7
A．卫星运行的周期 B．卫星距地面的高度
C．卫星的质量 D．地球的质量
【解析】 卫星从北纬30°的正上方，第一次运行至南纬60°正上方时，刚好为运动周期的，所以卫星运行的周期为4t，A能求出；知道周期、地球的半径，由＝m()2(R＋h)，可以算出卫星距地面的高度，B能求出；通过上面的公式可以看出，能算出中心天体的质量，不能算出卫星的质量，故选C.
【答案】 C
11．(2013·汕头高一期末)已知某行星的半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星运行的周期为T，该行星的同步卫星的运行速度为v，求：
(1)该行星的同步卫星距行星表面的高度h.
(2)该行星的自转周期T自．
【解析】 (1)对绕行星表面运行的卫星有：G＝mR()2
对该行星的同步卫星有：G＝m
可解得：h＝－R
(2)由于同步卫星的周期T同＝
所以行星的自转周期T自＝＝
【答案】 (1)－R (2)
12．(2013·锦州高一月考)某卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面重合，运行方向与地球的自转方向相同，轨道半径为r＝2R，地球半径为R，地球的自转角速度为ω0，地球表面重力加速度为g.在某时刻该卫星正通过赤道上某建筑物的正上方，试求到它下一次通过该建筑正上方所需时间t多长？
【解析】 卫星万有引力提供向心力：＝mω2(2R)
地表处万有引力近似等于物体重力得mg＝
卫星与建筑物两次相遇圆心角关系：ωt－ω0t＝2π
解得t＝.
【答案】
1．宇宙飞船在绕地球运行时，宇航员出舱工作，若宇航员释放一探测仪器，则该仪器将( )
A．继续和飞船一起沿轨道运行
B．做平抛运动，落向地球
C．由于惯性，沿轨道切线方向做匀速直线运动
D．做自由落体运动，落向地球
【解析】 由于探测仪器与宇宙飞船具有相同的速度，小物体受到地球的万有引力全部提供其做圆周运动的向心力，情况与飞船的相同，故探测仪器仍沿原轨道与飞船一起做圆周运动，A对，B、C、D错．
【答案】 A
2．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的近心运动．产生这一结果的原因是( )
A．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的近心运动
B．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的近心运动
C．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的近心运动
D．地球引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向心力，故产生近心运动的结果与空气阻力无关
【解析】 由于空气阻力的作用，太空垃圾的速度减少，需要的向心力减小，使万有引力大于向心力，太空垃圾做向心运动，C正确．
【答案】 C
3．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T.若要使它的周期变为2T，可能的方法是( )
A．r不变，使线速度变为
B．v不变，使轨道半径变为2r
C．轨道半径变为r
D．无法实现
【解析】 人造卫星的轨道半径R、线速度v、周期T三个量，一定俱定，一变俱变，故A、B错；又T＝2π，则2T＝2π，所以R′＝R，故C正确．
【答案】 C
4．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
【解析】 火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，＝mR，又M＝πR3ρ，可得：ρ＝＝，故只有D正确．
【答案】 D
5．(双选)美国“新地平线”号探测器，已于美国东部时间2006年1月17日13时(北京时间18日1时)借助“宇宙神－5”火箭，从佛罗里达州卡纳维拉尔角肯尼迪航天中心发射升空，开始长达九年的飞向冥王星的太空之旅．拥有3级发动机的“宇宙神－5”重型火箭将以每小时5.76万千米的惊人速度把“新地平线”号送离地球，这个冥王星探测器因此将成为人类有史以来发射的速度最高的飞行器．这一速度( )
A．大于第一宇宙速度
B．小于第二宇宙速度
C．大于第三宇宙速度
D．小于并接近第三宇宙速度
【解析】 由题中已知条件5.76×104km/h＝16 km/s，第一宇宙速度为v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度为v2＝11.2 km/s，第三宇宙速度为v3＝16.7 km/s，由以上数据可以判断A、D正确．
【答案】 AD
6．我国成功发射的“神舟七号”载人飞船，随后航天员圆满完成了太空出舱任务并释放了伴飞小卫星．若小卫星和飞船在同一圆轨道上，相隔一段距离，一前一后沿同一方向绕行，下列说法正确的是( )
A．由飞船的轨道半径、周期和引力常量，可以算出飞船质量
B．小卫星和飞船的加速度大小相等
C．航天员在飞船表面进行太空漫步时，对表面的压力等于航天员的重力
D．飞船只需向后喷出气体，就可以和小卫星对接
【解析】 由飞船的轨道半径、周期和引力常量只能算出中心天体的质量，即地球的质量，A错；因为飞船和小卫星的轨道半径一样，所以它们的加速度一样，B对；宇航员处于失重状态，他和飞船表面的作用力应小于自身重力，C错；飞船向后喷气后，速度增大，将做离心运动，不可能与小卫星对接，D错．
【答案】 B
7．(2012·韶关高一检测)“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断错误的是( )
A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B的质量可能相等
D．天体A、B的密度一定相等
【解析】 由g＝可知，g与R成正比，A正确；由v＝可得，v与R成正比，只有当A、B两天体半径相等时，两卫星的线速度才相等，B错误；由G＝m得，M＝，当R相等时，M相等，C正确；由ρ＝得ρ＝，ρ一定相等，D正确．因此选B.
【答案】 B
8．(双选)(2013·浙江高考)如图3－3－5所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R.下列说法正确的是( )
图3－3－5
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
【解析】 应用万有引力公式及力的合成规律分析．
地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．
【答案】 BC
9．如图3－3－6所示，美国的“卡西尼”号探测器自1997年10月15日发射经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．又经过4年的探测至2011年6月30日圆满完成设定的任务，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则土星的质量为________，平均密度为________．
图3－3－6
【解析】 设“卡西尼”号探测器的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号探测器围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝.又土星体积V＝πR3，所以ρ＝＝.
【答案】
10．飞船沿半径为R的圆周轨道绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上的A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图3－3－7所示．如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间？
图3－3－7
【解析】 由题意得，飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，则根据开普勒第三定律得＝，
求得：T′＝T
＝·
所以从A到B的时间为：
t＝＝.
【答案】
11．我国已启动“嫦娥工程”，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”已成功发射，“嫦娥三号”亦有望在2013年落月探测90天，并已给落月点起了一个富有诗意的名字——“广寒宫”．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径r；
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落
回抛出点．已知月球半径为r月，引力常量为G，试求出月球的质量M月．
【解析】 (1)根据万有引力定律和向心力公式：
G＝M月()2r
质量为m的物体在地球表面时：mg＝G
解得：r＝ .
(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意：v0＝，g月＝，解得：M月＝.
【答案】 (1)r＝ (2)M月＝
12．宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M.
【解析】 设抛出点的高度为h，第一次抛出时水平射程为x；当初速度变为原来2倍时，水平射程为2x，如图所示．
由几何关系可知：
L2＝h2＋x2①
(L)2＝h2＋(2x)2②
①②联立，得：h＝L
设该星球表面的重力加速度为g
则竖直方向h＝gt2③
又因为＝mg(或GM＝gR2)④
由③④联立，得M＝.
【答案】
1．(双选)下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离的二次方成反比
【解析】 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力与反作用力，是同一性质的力，大小相等，方向相反，A对，C错；行星与太阳间的引力大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与行星距太阳的距离的二次方成反比，B错，D对．
【答案】 AD
2．关于万有引力定律和引力常量的发现，下列说法正确的是( )
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
【解析】 牛顿深入思考了月球受到的引力与地面物体受到的引力的关系，发现了万有引力定律．而英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了G的数值．选项D正确．
【答案】 D
3．(双选)关于太阳系中行星的运动，以下说法正确的是( )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越长
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越长
C．水星的半长轴最短，公转周期最长
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最长
【解析】 由＝k可知，R越大，T越大，故B、D正确，C错误；式中的T是公转周期而非自转周期，故A错．
【答案】 BD
4．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是( )
A．4年 B．6年
C．8年 D.年
【解析】 根据开普勒第三定律：
＝得：＝，即T行＝T地＝×1年＝8年，故选项C正确．
【答案】 C
5．如图3－1－4所示，一颗绕太阳运行的行星，当该行星由a向b运行的过程中，下列说法中正确的是( )
图3－1－4
A．行星运行的速度增大，加速度增大
B．行星运行的速度增大，加速度减小
C．行星运行的速度减小，加速度增大
D．行星运行的速度减小，加速度减小
【解析】 根据开普勒行星运动定律，从a到b过程中，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，随着距离的增大，运行速度应减小；根据万有引力定律可知，行星受到太阳的引力随着距离的增大而减小，而由牛顿第二定律知，加速度也减小，故选项D正确．
【答案】 D
6．关于万有引力，下列说法正确的是( )
A．万有引力只有在天体与天体之间才能明显表现出来
B．一个苹果由于其质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近的
【解析】 自然界中任何两个物体间都有相同的引力作用，故A错；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B错；物体间的引力是相互的，由牛顿第三定律知此两力应等大，故C错，D选项正确．
【答案】 D
7．(双选)(2012·珠海高一检测)下列关于万有引力定律说法正确的是( )
A．万有引力定律是卡文迪许发现的
B．万有引力定律是适用于质点间的相互作用
C．F＝G中的G是一个比例常数，没有单位
D．两个质量分布均匀的球体，r是两球心间的距离
【解析】 万有引力定律是牛顿发现的，A错误；万有引力定律适用于两质点间的相互作用，也适用于两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r是两球心间的距离，B、D正确；引力常量G是一个常数，有大小，也有单位，C错误．
【答案】 BD
8．(双选)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )
A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
【解析】 由F＝G得：＝
＝·＝2.7×107×≈169，故A正确；又因为月心到地球上不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，故D正确．
【答案】 AD
9．(双选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到证明的
【解析】 公式v＝的含义是线速度等于做圆周运动的物体一周内走过的弧长与所用时间的比值，选项B正确．牛顿第二定律是可以在实验室中得到验证的，而开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，它是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录资料时发现的．A正确，C、D错误．
【答案】 AB
10．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
【解析】 若地球质量为M0，则“宜居”行星质量为M＝6.4M0，由mg＝G得：＝·＝
所以＝＝＝2.B对．
【答案】 B
11．美国国家航空航天局2010年11月15日宣布，研究人员在距离地球大约5 000万光年的太空发现“年纪”31岁的黑洞．该黑洞的半径R约45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
【解析】 黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面一质量为m的物体有G＝mg
又＝
联立解得g＝
代入数据得该黑洞表面重力加速度的数量级为1012 m/s2，选项C正确．
【答案】 C
12．如图3－1－5所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以加速度g/2竖直向上做匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的17/18.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
图3－1－5
【解析】 取测试仪为研究对象，其先后受力如图甲、乙所示，据物体的平衡条件有N1＝mg1，g1＝g，所以N1＝mg，据牛顿第二定律有N2－mg2＝ma＝mg/2
所以N2＝＋mg2，由题意知N2＝N1，
所以＋mg2＝mg.
所以g2＝g，由于mg≈G，设火箭距地面高度为H，
所以mg2＝G，
所以g＝
所以H＝.
【答案】
