辽宁省朝阳市北票市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

北票市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：集合，复数，逻辑，函数与基本初等函数，不等式，平面向量数量积的坐标运算，三角函数的性质与图象，解三角形，立体几何，数列，导数.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为，集合 ，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A.0 B.0或-1 C.1 D.-1
3.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
4.设向量，，若，则等于（ ）
A.-2 B.-1 C. D.
5.已知，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（ ）
A.1 B.3 C.6 D.2
7.在中，若，，其面积，则外接圆的半径为（ ）
A.1 B. C.2 D.
8.等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A.1000 B.2445 C.1893 D.500500
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知关于x的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）
A.不等式的解集不可能是
B.不等式的解集可以是
C.不等式的解集可以是
D.不等式的解集可以是
10.函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
11.数列中，，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
12.下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若“”是“”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为______.
14.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则______.
15.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上．若，，，，则球O的体积为______.
16.已知满足，满足，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设数列是公差为的等差数列，已知，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且的前n项和为，求.
18.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B；
（2）若，，求的值.
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，.
（1）求证：；
（2）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值.
20.已知函数.
（1）求的单调递增区间及对称中心坐标；
（2）将的图象上的各点______得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围.
在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半.
②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位.
21.已知数列中，，.
（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式.
（2）数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k.
22.设函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）当且时，函数，证明：存在极小值点，且.
北票市2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1.B ∵，，∴，∴，故选B.
2.A 因为复数为纯虚数，则，解得.故选A.
3.D 由为偶函数可排除A，C；当时，图象高于图象，即，排除B，故选D.
4.D ∵，，，∴，则，
5.C ∵，，.
6.C ，则在点处的切线的斜率为，，则，则在点处的切线的斜率为，由题可知，即，故选C.
7.A 因为在中，，，其面积，所以，即，解得，所以，所以，所以外接圆的半径r满足，即.故选A.
8.B 由，可得，所以，所以
所以.故选B.
9.BCD 对于A选项，不等式的解集为，A错；
对于B选项，不等式的解集为R，B对；
对于C选项，不等式的解集为，C对；
对于D选项，不等式的解集为，D对.故选BCD.
10.ABC 由题意，，，易知D不符合要求.
11.ABD 由题意得：，，，，，、
∴数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由递推关系式知：，∴，D正确.故选ABD.
12.AC 观察各命题，构造函数，
，则易知在上单调递增，在上单调递减.
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.故AC正确.故选AC.
13.0 由得，则“”是“”的必要不充分条件，∴，则实数a能取的最大整数为0.
14.7 ，，.
15. ，，.
16.2 由，即，，即 .
设，由，在R上均为单调递增函数.
则在R上单调递增.
，，，
所以存在唯一，使得，
由满足，满足，
即满足，满足，
即，满足，，
由存在唯一，使得，所以，即.
17.解：（1），∴或.
又，，∴.
（2），
∴
18.解：（1），
所以或（舍去），
又，所以.
（2）由余弦定理，
解得（时不是锐角三角形，舍去）.
所以，
可得.
19.（1）证明：由平面ABCD，得，由，得，
∵，∴，
∵，∴平面PAD，
∵平面PAD，∴.
（2）解：以射线AB，AD，AP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
，，，
设平面PBC的法向量.
则由即
取，则.
故直线AC与平面PBC所成角的正弦值为.
20.解：（1）因为，
令，，
得的单调递增区间为，.
令，，
得的对称中心坐标为，.
（2）若选择①，
由（1）知，那么将图象上各点向左平移个单位，
再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到.
当时，可得，，，
由方程有解，可得实数m的取值范围为.
若选择②，
由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到.
当时，，，
由方程有解，可得实数m的取值范围为.
21.解：（1）由，得.
∴，
∴数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
∴，即.
（2）由（1）知.
，
，
两式相减得：
，
∴，
又∵，而，
∴，.
22.（1）解：因为，
若，
当时，，所以在上为减函数；
当时，，所以在上为减函数
若
当时，，所以在上为减函数；
当时，，所以在上为减函数
（2）证明：因为，所以，.
则，
因为，所以与同号.
设，，则，
所以对任意，都有，所以在上单调递增.
因为，，，
所以存在，使得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以若，存在，使得是的极小值点.
由得：，
即.
故.