2022-2023 学年第二学期第三次阶段测试卷 由图知，向量OC与向量OA 1, 1 关于 x轴对称， OC 1,1 ，
高一数学答案
25 25 3 4i 25 3 4i OC OB 1,1 1,2 0,3 ，OC OB对应的复数为3i，选 C.
1.D解： z 3 4i
3 4i ，3 4i 3 4i 25 9.BD解：对于 A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故 A错误；
25 对于 B：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故 B正确；
在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为 3, 4 ，位于第四象限．故选：D.
3 4i 对于 C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故 C错误.
2.D解：对于 A：由直四棱柱的定义可知，长方体是直四棱柱， 对于 D：图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，
但当底面不是长方形时，直四棱柱就不是长方体，故 A错误； 以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，
对于 B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故 B错误； 如图②，包括一个圆柱、两个圆锥，
对于 C：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故 C错误；
对于 D：由棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，故 D正确.故选：D.
3.C解:由 AB CB DA AB BC DA AC AD DC .故选：C.
5
4.B : π π π π 解 根据题意可知 cos isin cos 5 isin 5 i，
10 10 10 10
10.ABC解:由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直
cos π
5
isin π 故 1 i i 1 i 1 i，故选：B. 线、平行直线的关系不变，因此三角形的直观图是三角形，A正确，
10 10
对于 B ，设等边三角形的直观图如图所示，设等边三角形
5.D解：根据斜二测画法可知，原图四边形OABC为平行四边形，且OA OB，
边长为 2a，则 B C 2a， A O 3 a，由余弦定理知
易知OA O A 2 ，OB 2O B 4 2，所以平行四边形OABC的面积为 2 4 4 2 (cm ) . 2
故选：D.
A C 2 7 a2 6 a2， A B 2 7 a2 6 a2，
6.A解:∵ z (1 ai) 1 ai i a i， 4 2 4 2
i
又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数 z为“等部复数”，∴a 1， 因为 A C 2 A B 2 B C 2 0，所以三角形 A B C 为钝
∴ z 1 i，∴ z 1 i，故选：A.
角三角形，B正确； r
7.B解:由 a b 3, 2 ，2a b 3,5 ，两式相加，得3a 6,3 ，
由于斜二测画法规则中，原图形中 x， y轴互相垂直，在直观图中，对应的 x , y 轴夹角为 45 ，
所以 ar 2,1 ，b 1, 3 ，所以 2,1 1, 3cos a ,b a b 1 2 . 并且原图形中在 y轴上或平行于 y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在 x轴上或平行于 xa b 5 10 5 2 10
轴的线段在直观图中长度不变，因此斜二测画法会改变角的大小，C正确，D错误.
故选：B． 故选：ABC.
8.C解:依题意得 A(1, 1),B( 1, 2)，OB 1,2 11.ABD解：设 z a bi a,b R ，则 z a bi .
对于 A， z z a b i a b i 2a 为实数，A正确；
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2 2 2 9
对于 B， z z (a bi)(a bi) a 2 b 2 0 ，于是 a = b = 0， z 0，B正确； 由题意 OA OB (OA OB)2 OA 2OA OB OB 1 2OA OB 1 ，
4
2
对于 C，取 z 1 i，则 z 1 i 2 12 12 2， z2 1 i 2 1 2i i2 2i， OA OB 1 1 ，所以OA在OB方向上的投影向量为 OB．8 8
2
此时 z z2，C不正确； 216. 1 5 m 2 cos 2 或 解：若 z z ，则 ，则m2 2 1 2(m 2)2，
3 1 2 m 2 sin
对于 D，在复平面内 z i z 1表示复数 z对应的点到 0, 1 与 1,0 距离相等，
解得m 1或m
5
.
3
2
则复数 z对应的点 Z 到 1,0 的距离最小值为 ，D正确.故选：ABD. 5(1 i) 2 5(1 i)(2 i) 5(3 i)
2 17.解：（1）∵ z (1 2i) 1 4i 4 3 4i 3i2 i (2 i)(2 i) ，………4分 5
cos2 B 1 cosB a c a
2 2
12.BD A cosB cos B a c b
2
解：对于 项，因为 ，知 ，由 ， ∴ z 3；……………………5分
2 2 2c c 2ac
a a2 c2 b2 1
，化简得 a2 b2 c2，故 ABC一定为直角三角形，A错误； （2）∵ z 2，所以 2 i……………………6分
c 2ac 3
2 2 2 2 2 2 复数 2 i是关于 xa b c a b a c b 的方程 x
2 mx n 0的一个根，
对于 B项，因为 a cos A bcosB ，即 ，
2bc 2ac ∴ (2 i)2 m(2 i) n 0，
a2 b2 a2整理可得 b2 c2 0，所以， a b或 a2 b2 c2， ∴3 4i 2m mi n 0，∴ (3 2m n) (m 4)i 0，
故 ABC为等腰三角形或直角三角形，B正确； 3 2m n 0
∴ ，……………………8分
对于 C项，因为 AC AB bccos A 0，所以 cos A 0，所以 A为锐角，但无法确定 B、C是否为
m 4 0
锐角，故 C错误. 解得m 4， n 5……………………10分
0 B π
2 2
A B π 0 π B A π
m 2m 15 0,
对于 D项，因为△ABC为锐角三角形，所以 2 2 2 ，
18.解：（1）因为 z为纯虚数，所以 2 ……………………3分
m 9 0,
π
0 A 解得m 5， z 16i .……………………6分 2
a i (a 3) (3a 1) i
又因为 y sin x在 (0,
π)上单调递增， （2）∵ z 16i，∴ z1 ，……………………8分
2 16 1 3i 160
所以 sin(
π
B) sin A，即： cosB sin A，故 D项正确.故选：BD.
2 又∵复数 z1所对应的点在第一象限，
13.棱柱(四棱柱或符号表示的棱柱都给分)
a 3 0
14.0解：1 i i2 i3 i2023 1 505(i i2 i3 i4 ) i i 2 i 3 0, ∴ ，……………………10分 3a 1 0
故答案为：0. 1
1
解得： a ．……………………12分
15. OB解:OA,OB 3是单位向量，
8
19.解:（1）（i）OA OB OC 0……………………3分
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OC OA OB 2 3
（ii） ，代入 aOA bOB 2cOC 0，得 21.解：（1） f x cos x 2 3 sin x cos x sin 2 x……………………2分
3
2 3 cos2 x 2 3 sin x cos x sin 2 b 2c OB 2c a OA，……………………5分
x
3
3 sin 2x cos 2x 2sin 2x ，……………………4分
6
因为OA,OB不共线，所以b 2c 2c 2 3 a 0……………………6 分
3
x 0, π 2x π π , 7π 1 ， ， sin
2x
π
2 6 6 6
1，
2 2 2 2 6 2 2
由余弦定理知 cos A b c a
2 2c c 3c 1
2bc 2 2c c 2 函数 f x 的值域为 1,2 ．……………………6分
又 A (0, π)，
（2）由（1）知， f (A) 2sin
π
2A 1，
π 6
所以 A .……………………8分
3 0 π π 13π π 5π π A π，∴ 2A ， 2A ，即 A ，……………………8分
6 6 6 6 6 3
（2） AD 1 AB AC ，……………………9分2 ， 2 sin A 3 sin B 2 3 ，
2 1 2 2
2a 3b
2 2
则 AD (AB AC ) 2， 即 4AD AB 2AB AC AC ，………………10分
4 2 0 2π π sinB ，又 B ， B 4 ，……………………10分1 2 34 7 c2 2c b b2
2 sinC sin(A B) sin AcosB cos AsinB 3 2 1 2 6 2 ，
由（1）知b 2c 2 2 2 2 4，所以 28 c2 1 4c c 4c2，
2 ∴sinC 6 2 ．……………………12分
所以 c 2……………..............................................…11分 4
1 1 3 22.解：（1）设DP a a 0,3S bcsinA 4 ，如图建立直角坐标系， ABC 2 2 3．………………12分 2 2 2
20. x2 x 1 0 1 3 1 3 ……………………2 A 0,0 ,D 0,1 ,P a,1 ,B解： 的解为 3,0 ，……………………2分 i或 i 分
2 2 2 2
1 Im 0 1 3 i……………………4 PA a, 1 ,PB 3 a, 1 ……………………3分（ ）若 ，则 分
2 2
2
PA PB a 3 a 1 1 a
2 3a 1，……………………5分
2 1 3 1 1 3 3 1 3 2 i 2 i i ，所以 .……………………6分
2 2 4 2 2 4 2 2 3 2y a 5
3
的对称轴为 a 0,3 ，
（2）若 Im 0， 1 3 i， 3 1，所以 z 3 1，……………………8分 2 4 2
2 2
3 5
因为 z 1，向量OZ 1 z 1 当 a 时， 有最小值，最小值为 .……………………6分的模等于 ，所以满足条件 的点 Z 的集合为以原点O为圆心， 2 PA PB 4
（2）由图可得： AEG∽ PDG…………………7分
以 1为半径的圆， z 2 为圆上的点到 2,0 的距离，当距离最大时，点 Z 的坐标为 AG AE 2 2
则 AG AP……………8分
PG PD a a 2 1,0 ……………………12分
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AP a,1 , AG 2a , 2 ………………9分
a 2 a 2
2 a2 1
AG AP ……………………10分
a 2
2 (a 2)
2 4a 3 2 a 2 4a 3 2 a 2 10 8 4 5 8，a 2 a 2 a 2
当且仅当 a 2 5 即 时取等号，
a 2 a 5 2
AG AP的最小值为 4 5 8 .……………………12分
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