2023届高三下学期5月新高考数学考前冲刺卷（含解析）

2023届高三下学期5月新高考数学考前冲刺卷（2）
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设复数z的共轭复数为，，则复数在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.命题“且”的否定形式是( )
A.且 B.或
C.且 D.或
4.已知向量，，且，则为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.1
6.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左焦点为F，过F的直线与圆交于A，B两点，与双曲线右支交于点C，且A，B恰好三等分线段FC，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，在长方体中，，，点E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的有( )
A.
B.三棱锥的体积为
C.若P是棱上一点，且，则E，C，P，F四点共面
D.平面CEF截该长方体所得截面为五边形
11.已知数列的前n项和为，且，其中p为非零常数，，则下列结论中正确的是( )
A.数列为等比数列 B.当时，
C.当时， D.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则( )
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆C上存在点K，使得
C.直线的斜率为
D.平分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式展开式中存在常数项，写出一个满足条件的________.
14.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是__________.
15.正实数a，b满足，则的最小值为_______.
16.在一次数学探究活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD为矩形，，，半圆面底面ABCD.经研究发现，当点P在半圆弧AD上(不含A，D点)运动时，四棱锥的外接球始终保持不变，则该外接球的体积为__________
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在①；②；
③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.问题：在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
(1)求角A的大小；
(2)若D为线段CB延长线上的一点，且，，，求的面积.
18.（12分）已知为数列的前n项和，且.数列满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19.（12分）国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球.中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表.
树苗高度
树苗售价(元/株) 4 6 8
(1)现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选3株，求售价之和高于16元的概率；
(2)已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布，并用该企业采购的120株树苗作样本，来估计总体期望和方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，且.
(i)若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，得到数列，求的估计值.
(ii)若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过的株数为，求随机变量的分布列和期望.
参考数据：若，，
，.
20.（12分）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，M是的中点，.
(1)求证：；
(2)D是线段AC上的动点(不包含端点)，若DM与平面所成角的正弦值为，求CD的长.
21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与圆有且仅有两个交点.点为抛物线上异于原点的一点，过点M作直线MA，MB，MC分别交抛物线于异于M的三点A，B，CA，B，C三点不重合)，且直线MA与MB关于直线对称，.
(1)求抛物线E的方程.
(2)若，求直线MA的斜率.
22.（12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，，且，证明：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：集合，或，
，故选B.
2.答案：D
解析：依题意，复数，则，所以复数在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限，故选D.
3.答案：D
解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解，因此命题“且”的否定形式为“或”.
4.答案：A
解析：依题意，，，
故，所以，，则.
又，所以
，所以，
故选A.
5.答案：A
解析：(方法一)因为，所以，解得或.因为，所以，所以.故选A.
(方法二)因为，所以，所以，，所以，，所以，，所以.故选A.
6.答案：C
解析：将这5名棋手分别记为：甲，乙，A，B，C，分组情况有：(甲乙A，BC)，(甲乙B，AC)，(甲乙C，AB)，(甲AB，乙C)，(甲AC，乙B)，(甲BC，乙A)，(乙AB，甲C)，(乙AC，甲B)，(乙BC，甲A)，(ABC，甲乙)共10种，其中甲和乙不在同一小组的有6种，分别为：(甲AB，乙C)，(甲AC，乙B)，(甲BC，乙A)，(乙AB，甲C)，(乙AC，甲B)，(乙BC，甲A)，所以甲和乙不在同一个小组的概率为.
7.答案：C
解析：设坐标原点为O，双曲线的右焦点为，线段AB的中点为D，连接OD，，则，因为A，B恰好三等分线段FC，所以D为FC的中点，则，所以.设，则，由双曲线的定义可知，，连接OB，由圆的方程知，，在中，，即，化简得，解得或(舍)，所以，，故在中，，所以，又，所以，故选C.
8.答案：D
解析：因为函数与的图象关于直线对称，，
所以，所以，则.
当时，，是上的增函数.
因为，所以，
函数在上有唯一零点，不符合题意；
当时，有唯一零点，不符合题意；
当时，令，得，在上，，函数是增函数；
在上，，函数是减函数，故在上有极大值为.
若无零点，则，解得，
故实数k的取值范围是，故选D.
9.答案：AD
解析：由图可知，所以，，，
结合知，，故A项正确，B项错误，
而，所以的图象关于对称，即，故C项错误，D项正确.
10.答案：BCD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，所以CE与不垂直，A项错误；
，B项正确；
取的中点G，连接，，易证.因为，所以P是的中点，
所以，所以，即E，C，P，F四点共面，故C项正确；
连接PC，过点E作，交于点H，连接HF，则五边形PCEHF即为平面CEF截该长方体所得截面，D项正确.
11.答案：AC
解析：A项，，两式作差，得，即，又，所以，即，故对任意的都成立，即是以p为首项，为公比的等比数列，故A项正确；
B项，当时，，故B项错误；
C项，当时，，所以，故C项正确；
D项，，，
所以，故D项错误.
12.答案：ACD
解析：解析：设椭圆半焦距为c，则，，
由，得，，
椭圆方程为，，
设，则，，
由得，，解得，
所以.
A项：椭圆C的离心率，A正确；
B项：设，即有，
，
即为锐角，B错误；
C项：因为Q为线段与的交点，所以P，Q，三点共线，
所以，C正确；
D项：直线的方程为，点Q
到直线的距离.
即点Q到直线与到的距离相等，则平分，D正确.
13.答案：7
解析：由题意得通项公式为，令，则，因为，，所以若展开式中存在常数项，则n为7的整数倍，故可取.
14.答案：
解析：根据“倒戈函数”的定义可知，方程在上有解即可，则，
即，令，则，，设，则当时，，
则当或3时，，由题意得，，所以实数m的取值范围是.
15.答案：1
解析：因为，所以，
则
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为1.
16.答案：
解析：易知为直角三角形，取AD中点G，则，
取矩形ABCD的中心O，
连接OG，则.因为平面底面ABCD，
且平面底面，所以平面APD.
易知，
，
则，即点O到四棱锥各顶点的距离相等，
故O为四棱锥的外接球的球心，半径.
所以外接球的体积为
17.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)若选择①，
，
，
，
即.
，
.
若选择②，
由正弦定理得
，
即，
，
若选择③，，
，
(2)解法一：设，，.
在中，由余弦定理可得
即
即；①
，
即，
即，
即.②
在中，由余弦定理可得，
即.
③①可得，即，
将②式代入上式可得，，，
解法二：
设，，则，.
在中，由正弦定理可得，
则，
在中，由正弦定理可得
则，
在中，由正弦定理可得
则.
，
即或(舍)
即
在中，由余弦定理可得
解得，
又，
由，
则.
在中，，
解得或4(舍)，
，
解法三：，
即.
两边同时平方得，
可得(舍负)，即，
18.答案：(1)，
(2)
解析：(1)因为，故当时，，
两式作差可得，即，当时，也符合上式.
综上，，.又因为，则数列为等比数列.
又，，所以数列的公比
为2，所以，.
(2)由(1)知，
则，
，
两式相减得，
所以
19.答案：(1)
(2)(i)177.2cm(ii)
解析：(1)树苗高度在内的占比为，
树苗高度在内的占比为
树苗高度在内的占比为，
从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元，
再从中任选3株，售价之和高于16元，
可以为，，，，，
故所求概率为.
(2)(i)，
，
因为，
所以.
(ii)若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，高度超过的概率为，
由题意可知，则，
，，
，，
所以随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3 4 5
P
随机变量的数学期望为.
20.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图，取AB的中点G，连接，，
因为是边长为2的正方形，M是的中点，
易证，所以，且，
所以，故.
因为，G是AB的中点，所以，
由直三棱柱可知平面ABC，因为平面ABC，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
(2)取的中点H，连接GH，易知CG，GB，GH两两垂直，
以点G为原点，GB，GH，GC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由，，易得，
则，，，，，
设，，则，
所以，，
易知，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
设DM与平面所成的角为，
则，
整理得，解得或(舍)，
所以.
21.答案：(1)抛物线E的方程为
(2)直线MA的斜率为
解析：(1)联立得方程组
整理，得.
由抛物线和圆的对称性可知，关于x的方程有两个相等的正实数根，
所以，且，解得.
所以抛物线E的方程为.
(2)把点的坐标代入抛物线的方程，得，
解得或(舍去)，所以.
由已知，得直线MA的斜率存在，且斜率不等于0.
设直线MA的斜率为k，则直线MA的方程为.
联立得方程组整理，得，
所以，所以.
将其代入中，得.所以.
因为直线MA与MB关于直线对称，所以直线MB的斜率为.
用k代替点A坐标中的k，得点B的坐标为.
因为，所以.
用代替点A坐标中的k，得点C的坐标为.
当时，点A，C重合，所以，
所以，.
因为，所以，解得.故直线MA的斜率为.
22.答案：(1)见解析
(2)证明见解析
解析：(1)易知函数的定义域是R，，
①若，则，所以在R上单调递增；
②若，令，解得，
当时，，
故在上单调递减；
当时，，
故在上单调递增.
(2)因为，是函数的两个零点，所以.
令，则.
设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，且时，，，
所以，.
首先证明，
即证，
只需证(，且在上单调递减).
设，
则，当时，，
所以在上单调递增，
所以，故，得证.
其次证明.
由于，故只需证，
即证.
由，得，，
所以，得证.
故.