2023届高三下学期5月新高考数学考前冲刺卷（含解析）

2023届高三下学期5月新高考数学考前冲刺卷（3）
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( ).
A. B.
C. D.
4.如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥的体积为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.若函数的图像关于坐标原点对称，则的一个可能取值为( )
A. B. C. D.
6.“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为( )
A.90 B.150 C.180 D.300
7.设数列满足，，，若表示大于x的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为( )
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
8.已知正四面体的外接球为球O，点E是AB的中点，过点E作外接球O的截面.当截面圆的周长最小时，其周长与球O的大圆的周长的比值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.新能源汽车作为国家战略性新兴产业，中央及地方陆续出台了各种扶持培育政策，新能源汽车产业蓬勃发展.为了研究新能源汽车销售状况，现统计了某两种品牌新能源汽车的销售额(单位：万元)情况，得到如下折线图，则下列说法正确的是( )
A.甲品牌销售额平均值在350万元左右
B.乙品牌销售额总体呈现上升趋势
C.乙品牌的销售额极差比甲品牌销售额的极差大
D.在4，5，6月份，乙品牌的销售总额比甲品牌销售总额多
10.如图，若正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )
A.直线BC与平面所成角为
B.点C到平面的距离为
C.异面直线与所成角为
D.三棱柱外接球的半径为
11.已知是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列关于函数的说法中，正确的是( )
A.为偶函数
B.在上单调递增
C.在上恰有3个零点
D.的最大值为2
12.如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C的准线与x轴交于点D，过点F的直线l与拋物线C交于A，B两点，其中点A在x轴上方，过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M，直线l与准线相交于点N，则( )
A.若点F的坐标为，则
B.若，则直线l的斜率为2
C.当时，若为等腰三角形，则的面积为
D.当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知a，b为单位向量，若，则a与b的夹角为__________.
14.已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，且AC，BD分别是过点的最长弦与最短弦，则四边形ABCD的面积为___________.
15.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左支交于A，B两点，若，且点到直线AB的距离为，则C的离心率为___________.
16.已知函数，若对任意的，都有，则负实数k的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
18.（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若的外接圆半径，，求的面积.
19.（12分）无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培、岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草莓最适合的无土栽培方式，种植了400株这种草莓进行试验，其中水培、岩棉培、基质培的株数分别为200，100，100.草莓成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计其单株产量，数据如下：
单株产量(g)\株数\方式 水培 岩棉培 基质培
x 4 3
5 3 z
4 2 2
1 y 0
(1)求x，y，z的值；
(2)若从这40株草莓中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于的概率；
(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在内的株数，求X的分布列和数学期望.
20.（12分）已知正三棱柱，且，E，F分别为棱AC，的中点.
(1)当时，求F点到平面的距离；
(2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为
21.（12分）已知椭圆的左顶点到右焦点的距离是，短轴顶点到两焦点的距离和为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若A，B是E上的两点，O为坐标原点，，动点P满足，求面积的最大值.
22.（12分）已知函数，.
(1)讨论函数的单调性.
(2)若，求证：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，得，，所以.故选B.
2.答案：D
解析：依题意，
.故选：D.
3.答案：A
解析：由题意知函数的定义域为R，定义域关于原点对称，因为，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D.由，故排除C.故选A.
4.答案：C
解析：因为P，O分别为，AD的中点，所以由直棱柱的性质知平面ABCD，又为正三角形，，所以，连接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因为E为PC的中点，所以，故选C.
5.答案：A
解析：(方法一)由题意，得.因为函数的图像关于坐标原点对称，所以，解得.结合选项知A符合题意，B，C，D不符合题意.故选A.
(方法二)由题意知，则，解得.结合选项知A符合题意，B，C，D不符合题意.故选A.
6.答案：B
解析：根据题意有两种方式：第一种方式，有一个地方去3名专家，剩下的2名专家各去一个地方，共有种方法，第二种方式，有一个地方去1名专家，另外两个地方各去2名专家，共有种方法，所以分派方法的种数为.
7.答案：B
解析：，，又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列
，
则数列的通项公式，
则数列的前2022项之和为，故选B.
8.答案：C
解析：如图，在正四面体中，顶点P在底面的射影为F，球心O在PF上.
设正四面体的棱长为a，则，
正四面体的高.
设外接球半径为R，在中，，
即，解得.
所以在中，.
过点E作外接球O的截面，设截面圆的半径为r，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的周长最小，此时截面圆的半径，所以其周长与球O的大圆的周长的比值为.故选C.
9.答案：BC
解析：甲品牌销售额平均值约为318万元，所以选项A错误；乙品牌销售额总体呈现上升趋势，所以选项B正确；乙品牌的销售额极差为，甲品牌销售额的极差为，所以选项C正确；在4，5，6月份，乙品牌的销售总额为，甲品牌销售总额为，所以选项D错误，故选BC.
10.答案：ABD
解析：连接，则，，所以平面，，即为直线BC与平面所成角，点C到平面的距离，故A项，B项正确；
与所成角等于，故C项错误；
三棱柱和正方体有相同的外接球，其半径，故D项正确.
11.答案：AD
解析：解析：的图象关于直线对称，为奇函数图象关于原点对称是以4为周期的周期函数.又当时，，所以的图象如图1，那么，以及的图象如图2，由图可知的图象关于y轴对称，即为偶函数，在上单调递减，故A项正确，B项错误；在y轴右侧的图象也是以4为周期重复出现的，所以在上的零点个数与上的零点个数相同，由图可知在上有，，，即在上有无数个零点，故C项错误；显然，故D项正确.
12.答案：ACD
解析：A项，，故A项正确；
B项，，为MN中点，又，所以FD是的中位线，故F为AN中点且.由拋物线定义，，所以，，故，所以，即直线l的斜率为，故B项错误；
C项，为等腰三角形
，故C项正确；
D项，过点B作准线于T，设直线l的倾斜角为，则，，显然，故，当时，，解得，所，故D项正确.
13.答案：
解析：由得，又，则，设a与b的夹角为，则，所以.
14.答案：4
解析：由题意知圆的圆心为，半径为2，，
过点的最短弦为与OM垂直的弦，不妨设，
所以，过点的最长弦为圆O的直径，则，
因为，所以四边形ABCD的面积为.
15.答案：或
解析：由双曲线的定义可得，故，则，所以，再由可得，设，则，故，易知为锐角，故.在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或，故C的离心率为或.
16.答案：
解析：解法一：由化简可得，
令，则，可知在上单调递减，在上单调递增.
，，.
要使在上恒成立，则需满足，即.
记，则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
可得，则.
又，故k的取值范围为.
解法二：由化简可得，
，.
令函数，则在上恒成立，
在上单调递增，
在上恒成立，即，
于是.
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
因此，，即.
又，故k的取值范围为.
17.答案：(1)；.
(2).
解析：(1)由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
(2)由(1)得，
所以.
所以
.
18.答案：(1).
(2).
解析：(1)因为，所以由正弦定理，得，
所以，
所以，
所以，
即，又，
所以.
又，故.
(2)由题意知.
由余弦定理，得，
所以，则，
故.
19.答案：(1)，，
(2)
(3)
解析：(1)根据分层抽样可知，水培、岩棉培、基质培分别抽取的株数为20，10，10，
所以，，，
解得，，.
(2)记“这2株中恰有1株的单株产量不小于”为事件A，
由表可知，单株产量不小于的共有株，
所以.
(3)依题意，单株产量在内的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，
则，
其分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以.
20.答案：(1)
(2)
解析：(1)在正三棱柱中，
平面ABC，且为三角形，
又，
则，所以，，，
所以，所以为直角三角形，
则，
连接AF，易得，则平面，
则点F到平面的距离与点A到平面的距离相等，
记点A到平面的距离为h，
则有，
即，
即，解得，
故A到平面的距离为，即点F到平面的距离为.
(2)连接EF，则平面ABC.
因为为正三角形，E是AC的中点，
所以，故以E为坐标原点，
EC，EF，EB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨记，，
则，，，
，，
设平面的法向量为，
则即
取，可得.
设平面的法向量为，
则即
取，可得.
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，
解得，
即当时，平面与平面夹角的余弦值为.
21.答案：(1)
(2)面积的最大值是
解析：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题意得，，
解得，，
所以，
所以椭圆E的标准方程为.
(2)因为，所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
①当直线AB的斜率不存在时，设其方程为，
代入椭圆方程得，
所以直线AB与椭圆的两个交点为，，
由得，解得，
故直线AB与椭圆的两个交点为，，
此时.
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为，，，
由，得，
由得，
，，
所以，
因为，所以，
所以，解得，将代入式恒成立，
因为，
将代入上式，可得，
令，
则，
当，即时等号成立.
所以.
因为，所以面积的最大值是.
22.答案：(1)见解析
(2)证明见解析
解析：(1)函数的定义域为R.因为，所以.
①当时，因为，所以，都有，
所以在区间上单调递减.
②当时，由，得，由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
(2)证明：依题意，要证明只需证明，
即证明.
.
由(1)知，当时，在上单调递增，所以，
即，即，
所以
.
令，则.
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，
即成立.