辽宁省抚顺市重点高中六校协作体2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 辽宁省抚顺市重点高中六校协作体2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 622.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-17 11:38:09 | ||
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文档简介
抚顺市重点高中六校协作体2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册、选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．60种
2．在数列中，则（ ）
A． B． C． D．
3．将4个不同的小球放入2个不同的袋子中，每个袋子中放2个小球，不同的放法有（ ）
A．6种 B．8种 C．16种 D．32种
4．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：
脚长 22 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27
欧码 35 35.5 36 36.5 37.5 38 38.5 39 40 40.5 41 42
某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（ ）
A．36码 B．36.5码 C．39码 D．38码
6．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（ ）
A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元
7．已知是定义在上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下：
X 1 2 3 0
P
每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
附：若，则．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，则得到的问卷得分数据也服从正态分布
10．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若B和C是两个互斥事件，则
D．当时，
11．已知等比数列的前n项积为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的公比为
C． D．
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的最大值为1
C．当时，
D．若函数恰有2个零点，则m的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为_______．
14．提升农村学校教育质量，是提高农村人口教育素质、实现乡村振兴的希望所在．有5名教师志愿去4所不同的农村学校支教，每所学校都需要安排教师支教，且每名教师只能去1所学校，不同的安排方案有______种（用数字作答）
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为的球状物体后，水面高度为，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为，若从时刻开始，该球状物体的半径以的速度变长（在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出），则在时刻，水面上升的瞬时速度为______．
16．已知数列满足，记，O为坐标原点，则面积的最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示
男学生 女学生 合计
关注度极高 45 40 85
关注度一般 5 10 15
合计 50 50 100
（1）若从该校随机选1名学生，估计选到的学生是对新闻大事关注度极高的男学生的概率：
（2）能否有90%的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关？
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
18．（12分）
国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文、航天、数字科技等领域展开了无限遐想．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为）．某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为．
（1）若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列的前n项和为．证明：．
20．（12分）
已知两个正项数列，满足．
（1）求的通项公式；
（2）用表示不超过x的最大整数，求数列的前n项和．
21．（12分）
已知函数．
（1）若，证明：恒成立．
（2）若存在零点，求a的取值范围．
22．（12分）
已知，函数．
（1）过原点O作曲线的切线，求切线的方程；
（2）证明：当或时，．
数学试卷参考答案
1．B 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．
2．C 由题意可得．
3．A 不同的放法有种．
4．B 因为展开式的通项为，所以展开式中含的项为．
5．D 由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．
6．C 设小方第n天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．
7．B 令函数，则．
因为，所以是增函数．
因为是奇函数，所以，
所以的解集为，即的解集为．
8．A 记事件：“一个家庭有i个孩子”，事件B：“一个家庭的男孩比女孩多”．．
由全概率公式，得．
9．BC 由题意得，该问卷得分数据的期望是80，方差是25，标准差是5，A错误．，所以该问卷中得分超过85分的约有16份，B正确．，C正确．同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，D错误．
10．ACD 因为，所以．A正确．
，B错误．
若B和C是两个互斥事件，则，C正确．
因为，所以．
，D正确．
11．ABD 因为，所以，A正确．
因为，所以，解得，B正确．
，C错误．
因为，所以成立，D正确．
12．BCD 的定义域为．，所以当时，单调递增，当时，单调递减，则，A错误，B正确．
令，则．因为，所以为上的增函数，则，即，C正确．
当或时，没有零点．当时，只有1个零点．当时，令，方程的两个解为有2个不同的实根，没有实数根，故函数恰有2个零点时，m的取值范围为，D正确．
13．3 ，解得．
14．240将5名教师分成4组，有种分组方法．将分好的4组全排列，对应4所不同的学校，有种分配方法．故不同的安排方案有种．
15．4杯中水的体积为．设在该过程中水面高度为h，则，即．令函数，则了．故在时刻，水面上升的瞬时速度为．
16．4 因为，所以，即．
因为，所以是以4为首项，为公比的等比数列，，所以．
因为，所以．
．
令函数，则．
当时，，所以，且在上单调递减．
，故面积的最大值为4．
17．解：（1）所求概率为．
（2），
根据临界值表可知，没有的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关．
18．解：（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，所选的题目回答正确为事件B，则
（2）X的可能取值为，
，
，
，
，
则X的分布列为
X 0 2 4 6
P
19．（1）解：设数列的公差为d，
则，
所以．
故．
（2）证明．
．
因为函数在上单调递增，
所以，
故．
20．解：①由，得，
由，得，
两式相减得，因为是正项数列，所以，
所以．
②
则当时，，
所以，
两式相减得
即．
因为满足，所以．
21．（1）证明：当时，．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
故．
（2）解：（解法一）令，可得．
令函数，则．
令函数，则，所以在上单调递增．
又因为，所以当时，；当时，．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
当时，；当时，．
因为存在零点，所以．
故实数a的取值范围为．
（解法二）．
由，得，其判别式．
由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程有唯一正根．
设的唯一正根为m，则有．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
当时，；当时，．
因为存在零点，所以．
设．则，
则，所以在上是增函数，
所以，即，由可得．
由，得，
故a的取值范围为．
22．（1）解：因为，所以．
因为原点O不在的图象上，设切点为，
所以切线的斜率，解得，
所以，所以切线的方程为，即．
（2）证明：（方法一）①当时，要证成立，即证，也即．
因为，所以，又，所以，即．
②当时，即，即要证．
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
从而，即当时，．
由①知，所以．
综上，当或时，．
（方法二）当时，同上．当时，要证，即证，亦即．
令，则，所以在上单调递减，
所以只需证明．
由①知，下面只要证明．
令．所以，从而．
综上，当或时，．
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册、选择性必修第三册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．20种 D．60种
2．在数列中，则（ ）
A． B． C． D．
3．将4个不同的小球放入2个不同的袋子中，每个袋子中放2个小球，不同的放法有（ ）
A．6种 B．8种 C．16种 D．32种
4．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
5．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：
脚长 22 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27
欧码 35 35.5 36 36.5 37.5 38 38.5 39 40 40.5 41 42
某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（ ）
A．36码 B．36.5码 C．39码 D．38码
6．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（ ）
A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元
7．已知是定义在上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下：
X 1 2 3 0
P
每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分X（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ）
附：若，则．
A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25
B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份
C．
D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，则得到的问卷得分数据也服从正态分布
10．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若B和C是两个互斥事件，则
D．当时，
11．已知等比数列的前n项积为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的公比为
C． D．
12．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的最大值为1
C．当时，
D．若函数恰有2个零点，则m的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数在区间上的平均变化率为4，则m的值为_______．
14．提升农村学校教育质量，是提高农村人口教育素质、实现乡村振兴的希望所在．有5名教师志愿去4所不同的农村学校支教，每所学校都需要安排教师支教，且每名教师只能去1所学校，不同的安排方案有______种（用数字作答）
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为的球状物体后，水面高度为，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为，若从时刻开始，该球状物体的半径以的速度变长（在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出），则在时刻，水面上升的瞬时速度为______．
16．已知数列满足，记，O为坐标原点，则面积的最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示
男学生 女学生 合计
关注度极高 45 40 85
关注度一般 5 10 15
合计 50 50 100
（1）若从该校随机选1名学生，估计选到的学生是对新闻大事关注度极高的男学生的概率：
（2）能否有90%的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关？
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
18．（12分）
国产科幻电影《流浪地球2》在给观众带来视觉震撼的同时，也引领观众对天文、航天、数字科技等领域展开了无限遐想．某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类相关知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（竞赛试题中天文、航天、数字科技三类相关知识题量占比分别为）．某同学回答天文、航天、数字科技这三类问题中每个题的正确率分别为．
（1）若该同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若该同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得2分，回答错误不得分，设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）
已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列的前n项和为．证明：．
20．（12分）
已知两个正项数列，满足．
（1）求的通项公式；
（2）用表示不超过x的最大整数，求数列的前n项和．
21．（12分）
已知函数．
（1）若，证明：恒成立．
（2）若存在零点，求a的取值范围．
22．（12分）
已知，函数．
（1）过原点O作曲线的切线，求切线的方程；
（2）证明：当或时，．
数学试卷参考答案
1．B 根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．
2．C 由题意可得．
3．A 不同的放法有种．
4．B 因为展开式的通项为，所以展开式中含的项为．
5．D 由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．
6．C 设小方第n天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．
7．B 令函数，则．
因为，所以是增函数．
因为是奇函数，所以，
所以的解集为，即的解集为．
8．A 记事件：“一个家庭有i个孩子”，事件B：“一个家庭的男孩比女孩多”．．
由全概率公式，得．
9．BC 由题意得，该问卷得分数据的期望是80，方差是25，标准差是5，A错误．，所以该问卷中得分超过85分的约有16份，B正确．，C正确．同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，D错误．
10．ACD 因为，所以．A正确．
，B错误．
若B和C是两个互斥事件，则，C正确．
因为，所以．
，D正确．
11．ABD 因为，所以，A正确．
因为，所以，解得，B正确．
，C错误．
因为，所以成立，D正确．
12．BCD 的定义域为．，所以当时，单调递增，当时，单调递减，则，A错误，B正确．
令，则．因为，所以为上的增函数，则，即，C正确．
当或时，没有零点．当时，只有1个零点．当时，令，方程的两个解为有2个不同的实根，没有实数根，故函数恰有2个零点时，m的取值范围为，D正确．
13．3 ，解得．
14．240将5名教师分成4组，有种分组方法．将分好的4组全排列，对应4所不同的学校，有种分配方法．故不同的安排方案有种．
15．4杯中水的体积为．设在该过程中水面高度为h，则，即．令函数，则了．故在时刻，水面上升的瞬时速度为．
16．4 因为，所以，即．
因为，所以是以4为首项，为公比的等比数列，，所以．
因为，所以．
．
令函数，则．
当时，，所以，且在上单调递减．
，故面积的最大值为4．
17．解：（1）所求概率为．
（2），
根据临界值表可知，没有的把握认为学生对新闻大事的关注度与性别有关．
18．解：（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，所选的题目回答正确为事件B，则
（2）X的可能取值为，
，
，
，
，
则X的分布列为
X 0 2 4 6
P
19．（1）解：设数列的公差为d，
则，
所以．
故．
（2）证明．
．
因为函数在上单调递增，
所以，
故．
20．解：①由，得，
由，得，
两式相减得，因为是正项数列，所以，
所以．
②
则当时，，
所以，
两式相减得
即．
因为满足，所以．
21．（1）证明：当时，．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
故．
（2）解：（解法一）令，可得．
令函数，则．
令函数，则，所以在上单调递增．
又因为，所以当时，；当时，．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
当时，；当时，．
因为存在零点，所以．
故实数a的取值范围为．
（解法二）．
由，得，其判别式．
由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程有唯一正根．
设的唯一正根为m，则有．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
当时，；当时，．
因为存在零点，所以．
设．则，
则，所以在上是增函数，
所以，即，由可得．
由，得，
故a的取值范围为．
22．（1）解：因为，所以．
因为原点O不在的图象上，设切点为，
所以切线的斜率，解得，
所以，所以切线的方程为，即．
（2）证明：（方法一）①当时，要证成立，即证，也即．
因为，所以，又，所以，即．
②当时，即，即要证．
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
从而，即当时，．
由①知，所以．
综上，当或时，．
（方法二）当时，同上．当时，要证，即证，亦即．
令，则，所以在上单调递减，
所以只需证明．
由①知，下面只要证明．
令．所以，从而．
综上，当或时，．
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