初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元测试卷

初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元测试卷
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，则图中涂色部分的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由对称可知，S阴影部分=S正方形ABCD=×2×2=2cm2.
故答案为：B.
【分析】根据AC是正方形ABCD的对称轴，得出S阴影部分=S正方形ABCD，即可得出答案.
2．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．40°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠CFD=∠BEC=80°，
∴∠EFD=∠CFD-∠CFE=80°-45°=35°.
故答案为：C.
【分析】先证出△BCE≌△DCF，得出∠CFD=∠BEC=80°，再根据等腰直角三角形的性质得出∠CFE=∠CEF=45°，利用∠EFD=∠CFD-∠CFE即可得出答案.
3．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC=10，则EG+EF的值为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，AC⊥BD，OC=AC=5，
∵EG⊥BD，EF⊥AC，
∴四边形EFOG是矩形，△BEG，△CEF是等腰直角三角形，
∴EG=FO，CF=EF，
∴EG+EF=FO+CF=CO=5，
故答案为：C.
【分析】根据题意得出四边形EFOG是矩形，△BEG和△CEF是等腰直角三角形，得出EG=FO，CF=EF，从而得出EG+EF=FO+CF=CO，即可得出答案.
4．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，E.F分别是AB，BC的中点，若沿左下图中的虚线剪开，拼成如下图所示的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】 解：根据图中所示，“小别墅”的上面是一个等腰三角形，它的面积是正方形ABCD面积的一半，而“小别墅”的下面的面积是正方形ABCD面积的一半，并且下面是两个相等的矩形，
所以图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的，
即阴影部分的面积=S正方形ABCD=×42=4.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得出图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的，再代入公式进行计算，即可得出答案.
5．如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是（　　）
A．∠BAD=90° B．AC=BD C．∠BAD=∠ABC D．AD=BD
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∠BAD=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形，故A不符合题意；
B、AC=BD，根据对角线相等的菱形是正方形，故B不符合题意；
C、∵∠BAD=∠ABC，∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形，故C不符合题意；
D、 AD=BD ，不能判断菱形ABCD是正方形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，逐项进行判断，即可得出答案.
6．如图所示，有一个含60°角的直角三角形纸片，沿其斜边和长直角边中点剪开后，不能拼成的四边形是（　　）
A．邻边不相等的矩形 B．等腰梯形
C．有一角是锐角的菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；等腰梯形的判定
【解析】【解答】 解：此三角形可拼成如图三种形状，
（1）如图1为矩形，
∵有一个角为60°，则另一个角为30°，
∴此矩形为邻边不等的矩形；
（2）图2为菱形，有两个角为60°；
（3）图3为等腰梯形；
故不能拼成的四边形是正方形．
故答案为：D.
【分析】 此三角形可拼成三种形状，画出图形，令相等的线段重合，拼出可能出现的图形，然后再根据矩形的判定、等腰梯形的判定、菱形的判定 ，对拼成的图形进行判断，即可得出答案.
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAC=52°，则∠CDO的度数是（　　）
A．52° B．44° C．40° D．38°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠CAD=∠BAC=52°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-52°-52°=76°，
∴∠CDO= ∠ADC=38°.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质得出AD=CD，∠CAD=∠BAC，然后根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求∠ADC的度数，再根据角平分线的定义求∠CDO度数即可.
8．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，A选项不符合题意；
B、∵BE⊥DC，
∴平行四边形BCED为菱形，B选项符合题意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，C选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件证明四边形BCED为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断A、C、D选项；对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可判断B选项，据此判断即可得出正确答案.
9．如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的一个夹角∠AOB=60°，AC=12cm，则这个矩形的一条较短边为（　　）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AC=12cm，
∴AO=BO=6cm，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=BO=6cm.
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质，结合AC=12cm，求得AO=BO=6cm，进而可证明△ABO是等边三角形，由等边三角形三边相等即可求得短边AB的长.
10．如图所示，矩形ABCD的顶点 在第一象限， 轴， 轴，且对角线的交点与原点 重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点 的反比例函数 中 的值的变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；矩形的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的周长保持不变，对角线的交点为O，
设A点坐标为(x，y)，
则x+y=m，保持不变，
∴x+ =m，
∴k=-x2+mx=-(x- )2+ ，
当AB=AD时，x= ，
∵图象的开口向下，∵0∴当0故答案为：C.
【分析】矩形的周长保持不变，对角线的交点为O，设A点坐标为(x，y)，设x+y=m，结合反比例函数式得出k=-x2+mx，然后化成顶点式，根据二次函数的性质讨论即可.
二、填空题
11．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED=　 　.
【答案】135°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AED=∠AED=75°，
∴∠BED=∠BAE+∠AED=60°+75°=135°.
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60°，得出∠DAE=30°，再根据等腰三角形的性质得出AED=∠AED=75°，即可得出∠BED=∠BAE+∠AED=135°.
12．如图所示，将两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形可以是　 　.
【答案】菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，
∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S平行四边形ABCD=AB·DE=BC·DF，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：菱形.
【分析】 过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，首先可判断四边形ABCD是平行四边形，根据两条纸条宽度相同得出DE=DF，再由平行四边形的等积法得出AB=BC，即可得出四边形ABCD为菱形.
13．如图，在矩形ABCD中，已知AD=8cm，CD=6cm，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，则AC=　 　cm，EF=　 　cm.
【答案】10；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CD=6cm，AD=8cm，
∴∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，
AC=BD= =10cm，OD=5cm，
又∵E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF= OD= cm.
故答案为：10； .
【分析】先根据矩形性质得∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，再利用勾股定理求得AC和BD的长，进而得OD的长，根据E，F分别是AO，AD的中点，得EF为△AOD的中位线，再利用三角形的中位线性质即可求出EF的长度.
14．（2022八下·东台开学考）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵∠B=∠D=∠ACE=90°，
∠BAC+∠ACB=90°，∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
∵AC=CE，
∴△ABC≌△CBE，
∴BC=DE=2，
∴AC=，
∴正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】先证出△ABC≌△CBE，得出BC=DE=2，再根据勾股定理求出AC的长，即可得出答案.
15．（2022八下·南召开学考）如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上.则　 　.
【答案】45°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=45°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°
故答案为：45°.
【分析】对图形进行点标注，角标注，易证Rt△ABC≌Rt△EFC，得到∠3=∠1，然后根据∠2+∠3=45°就可得到∠1+∠2的度数.
三、解答题
16．（2020八下·江阴月考）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证：四边形CODE是矩形；
【答案】证明： ，
∴四边形CODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形CODE是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】首先根据 得出四边形CODE是平行四边形，再利用菱形的性质得出 ，则结论可证.
17．（2020八下·南昌期中）如图，点 ， 是四边形 的对角线 上的两点，且 ， ， ．求证： ．
【答案】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵DC∥AB，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=FB，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠ECF=∠FAE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC交BD于O，证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
18．（2021八下·黄石港期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长.
【答案】解：折叠得到，
.
.
折叠得到，
.
.
正方形边长为 3，
.
，
.
设，则.
，.
在中，，
.
.
.
.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由折叠对称关系，△ABE≌△AGE，△ADF≌△AGF，因此可得BE=GE，DF=GF.因为要求的线段EF=EG+FG，所以EF=BE+DF=1+DF，所以关键是求出DF的长度.设DF的长度为x，则EF=1+x，CF=3-x.发现在Rt△EFC中，三边EC=2，CF=3-x，EF=1+x，利用勾股定理可列出关于x的方程，求解即可.得到x的值后，代入EF=1+x，就得到EF的长度.
19．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.
求证：∠DHO=∠DCO.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，OD=OB，∠COD=90°.
∵DH⊥AB，
∴OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB//CD，
∴∠OBH=∠ODC，
∴∠OHB=∠ODC.
∵在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO.
【知识点】余角、补角及其性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB∥CD，OD=OB，BD⊥AC，根据平行线的性质得出DH⊥CD， 然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得OH=OB， 则得∠OHB=∠OBH，然后由平行线的性质求出∠OBH=∠ODC，等量代换则可求出∠OHB=∠ODC ，最后根据余角的性质求出∠DHO=∠DCO即可.
20．（2021八下·汕头月考）如图，矩形ABCD中，CD=8，AD=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC 的面积.
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=8，BC=AD=4
设AF=x，依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有，
∠D'=∠B=90°，∠AFD'=∠CFB，BC=D'A，
∴△AD'F≌△CBF(AAS)，
∴CF=AF=x，∴BF=8﹣x，
在Rt△BCF中有：BC2+BF2=FC2，
即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5．
∴S△AFC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 设AF=x，根据矩形的性质和折叠的性质得出∠D'=∠B=90°，∠AFD'=∠CFB，BC=D'A，利用AAS证出△AD'F≌△CBF，得出CF=AF=x，BF=8﹣x，再根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，从而求出AF的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可求解.
21．（2020八下·侯马期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2 ，求PB+PE的最小值是多少？
【答案】解：如图，连接PD，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，
即 的最小值为线段DE的长，
∵四边形ABCD是菱形， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
又∵点E是AB的中点，
∴ ，
∴在 中， ，
故 的最小值是3．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 如图，连接PD，BD，根据菱形的性质及线段垂直平分线的性质得出，从而得出
，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，根据菱形的性质、等边三角形的性质及勾股定理求出DE的长即可.
22．（2019八下·松北期末）已知：如图，在正方形ABCD中，E为DC上一点，AF平分∠BAE且交BC于点F.
求证：BF+DE=AE.
【答案】解：证明：∵ABCD是正方形，
∴△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示.
∵∠ADF′+∠ADE=180°，
∴F′，D，E，C四点共线.
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB.
又∵∠3=∠2=∠1，
∴∠F′AE=∠DAF=∠AFB.
而∠AF′D=∠AFB，
∴∠AF′D=∠F′AE，
∴AE=EF′=DF′+DE.
∵DF′=BF，
∴BF+DE=AE.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质，将△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示；
可得F′，D，E，C四点共线，根据平行线的性质以及全等三角形的性质，利用等量代换，可得∠AF′D=∠F′AE，即得AE=EF′=DF′+DE，再由DF′=BF，即可得证.
23．（2019八下·盐湖期末）在 中， ，点 为 所在平面内一点，过点 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，交 于点 .
若点 在 上（如图①），此时 ，可得结论： .
请应用上述信息解决下列问题：
当点 分别在 内（如图②）， 外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， ， ， ，与 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
【答案】解：当点 在 内时，上述结论 成立.
证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ；
当点 在 外时，上述结论不成立，此时数量关系为 .
证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】当点 在 内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；
当点 在 外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD,所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.
1 / 1初中数学华师大版八年级下册第十九章 矩形、菱形与正方形 单元测试卷
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，则图中涂色部分的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．8
2．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．40°
3．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC=10，则EG+EF的值为（　　）
A．10 B．8 C．5 D．4
4．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，E.F分别是AB，BC的中点，若沿左下图中的虚线剪开，拼成如下图所示的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
5．如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是（　　）
A．∠BAD=90° B．AC=BD C．∠BAD=∠ABC D．AD=BD
6．如图所示，有一个含60°角的直角三角形纸片，沿其斜边和长直角边中点剪开后，不能拼成的四边形是（　　）
A．邻边不相等的矩形 B．等腰梯形
C．有一角是锐角的菱形 D．正方形
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAC=52°，则∠CDO的度数是（　　）
A．52° B．44° C．40° D．38°
8．四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE成为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC，BD的一个夹角∠AOB=60°，AC=12cm，则这个矩形的一条较短边为（　　）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
10．如图所示，矩形ABCD的顶点 在第一象限， 轴， 轴，且对角线的交点与原点 重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点 的反比例函数 中 的值的变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、填空题
11．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED=　 　.
12．如图所示，将两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形可以是　 　.
13．如图，在矩形ABCD中，已知AD=8cm，CD=6cm，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，则AC=　 　cm，EF=　 　cm.
14．（2022八下·东台开学考）如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 　 　．
15．（2022八下·南召开学考）如图，图形的各个顶点都在33正方形网格的格点上.则　 　.
三、解答题
16．（2020八下·江阴月考）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证：四边形CODE是矩形；
17．（2020八下·南昌期中）如图，点 ， 是四边形 的对角线 上的两点，且 ， ， ．求证： ．
18．（2021八下·黄石港期末）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长.
19．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.
求证：∠DHO=∠DCO.
20．（2021八下·汕头月考）如图，矩形ABCD中，CD=8，AD=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC 的面积.
21．（2020八下·侯马期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2 ，求PB+PE的最小值是多少？
22．（2019八下·松北期末）已知：如图，在正方形ABCD中，E为DC上一点，AF平分∠BAE且交BC于点F.
求证：BF+DE=AE.
23．（2019八下·盐湖期末）在 中， ，点 为 所在平面内一点，过点 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，交 于点 .
若点 在 上（如图①），此时 ，可得结论： .
请应用上述信息解决下列问题：
当点 分别在 内（如图②）， 外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， ， ， ，与 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由对称可知，S阴影部分=S正方形ABCD=×2×2=2cm2.
故答案为：B.
【分析】根据AC是正方形ABCD的对称轴，得出S阴影部分=S正方形ABCD，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCE=∠DCF=90°，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠CFD=∠BEC=80°，
∴∠EFD=∠CFD-∠CFE=80°-45°=35°.
故答案为：C.
【分析】先证出△BCE≌△DCF，得出∠CFD=∠BEC=80°，再根据等腰直角三角形的性质得出∠CFE=∠CEF=45°，利用∠EFD=∠CFD-∠CFE即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，AC⊥BD，OC=AC=5，
∵EG⊥BD，EF⊥AC，
∴四边形EFOG是矩形，△BEG，△CEF是等腰直角三角形，
∴EG=FO，CF=EF，
∴EG+EF=FO+CF=CO=5，
故答案为：C.
【分析】根据题意得出四边形EFOG是矩形，△BEG和△CEF是等腰直角三角形，得出EG=FO，CF=EF，从而得出EG+EF=FO+CF=CO，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】 解：根据图中所示，“小别墅”的上面是一个等腰三角形，它的面积是正方形ABCD面积的一半，而“小别墅”的下面的面积是正方形ABCD面积的一半，并且下面是两个相等的矩形，
所以图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的，
即阴影部分的面积=S正方形ABCD=×42=4.
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得出图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的，再代入公式进行计算，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A、∠BAD=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形，故A不符合题意；
B、AC=BD，根据对角线相等的菱形是正方形，故B不符合题意；
C、∵∠BAD=∠ABC，∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形，故C不符合题意；
D、 AD=BD ，不能判断菱形ABCD是正方形，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，逐项进行判断，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；等腰梯形的判定
【解析】【解答】 解：此三角形可拼成如图三种形状，
（1）如图1为矩形，
∵有一个角为60°，则另一个角为30°，
∴此矩形为邻边不等的矩形；
（2）图2为菱形，有两个角为60°；
（3）图3为等腰梯形；
故不能拼成的四边形是正方形．
故答案为：D.
【分析】 此三角形可拼成三种形状，画出图形，令相等的线段重合，拼出可能出现的图形，然后再根据矩形的判定、等腰梯形的判定、菱形的判定 ，对拼成的图形进行判断，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠CAD=∠BAC=52°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-52°-52°=76°，
∴∠CDO= ∠ADC=38°.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质得出AD=CD，∠CAD=∠BAC，然后根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求∠ADC的度数，再根据角平分线的定义求∠CDO度数即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：因为平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，AD=DE，
∴BD⊥AE，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，A选项不符合题意；
B、∵BE⊥DC，
∴平行四边形BCED为菱形，B选项符合题意；
C、∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，C选项不符合题意；
D、∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴平行四边形BCED为矩形，D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】先利用已知条件证明四边形BCED为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可判断A、C、D选项；对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可判断B选项，据此判断即可得出正确答案.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，AC=12cm，
∴AO=BO=6cm，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=BO=6cm.
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质，结合AC=12cm，求得AO=BO=6cm，进而可证明△ABO是等边三角形，由等边三角形三边相等即可求得短边AB的长.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；矩形的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的周长保持不变，对角线的交点为O，
设A点坐标为(x，y)，
则x+y=m，保持不变，
∴x+ =m，
∴k=-x2+mx=-(x- )2+ ，
当AB=AD时，x= ，
∵图象的开口向下，∵0∴当0故答案为：C.
【分析】矩形的周长保持不变，对角线的交点为O，设A点坐标为(x，y)，设x+y=m，结合反比例函数式得出k=-x2+mx，然后化成顶点式，根据二次函数的性质讨论即可.
11．【答案】135°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AED=∠AED=75°，
∴∠BED=∠BAE+∠AED=60°+75°=135°.
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60°，得出∠DAE=30°，再根据等腰三角形的性质得出AED=∠AED=75°，即可得出∠BED=∠BAE+∠AED=135°.
12．【答案】菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，
∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S平行四边形ABCD=AB·DE=BC·DF，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：菱形.
【分析】 过点D分别作AB，BC边上的高为AE，AF，首先可判断四边形ABCD是平行四边形，根据两条纸条宽度相同得出DE=DF，再由平行四边形的等积法得出AB=BC，即可得出四边形ABCD为菱形.
13．【答案】10；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，CD=6cm，AD=8cm，
∴∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，
AC=BD= =10cm，OD=5cm，
又∵E，F分别是AO，AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF= OD= cm.
故答案为：10； .
【分析】先根据矩形性质得∠ADC=90° ，AC=BD=2OD，再利用勾股定理求得AC和BD的长，进而得OD的长，根据E，F分别是AO，AD的中点，得EF为△AOD的中位线，再利用三角形的中位线性质即可求出EF的长度.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵∠B=∠D=∠ACE=90°，
∠BAC+∠ACB=90°，∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
∵AC=CE，
∴△ABC≌△CBE，
∴BC=DE=2，
∴AC=，
∴正方形的边长为.
故答案为：.
【分析】先证出△ABC≌△CBE，得出BC=DE=2，再根据勾股定理求出AC的长，即可得出答案.
15．【答案】45°
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=45°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°
故答案为：45°.
【分析】对图形进行点标注，角标注，易证Rt△ABC≌Rt△EFC，得到∠3=∠1，然后根据∠2+∠3=45°就可得到∠1+∠2的度数.
16．【答案】证明： ，
∴四边形CODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形CODE是矩形.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】首先根据 得出四边形CODE是平行四边形，再利用菱形的性质得出 ，则结论可证.
17．【答案】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵DC∥AB，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=FB，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠ECF=∠FAE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC交BD于O，证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
18．【答案】解：折叠得到，
.
.
折叠得到，
.
.
正方形边长为 3，
.
，
.
设，则.
，.
在中，，
.
.
.
.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】由折叠对称关系，△ABE≌△AGE，△ADF≌△AGF，因此可得BE=GE，DF=GF.因为要求的线段EF=EG+FG，所以EF=BE+DF=1+DF，所以关键是求出DF的长度.设DF的长度为x，则EF=1+x，CF=3-x.发现在Rt△EFC中，三边EC=2，CF=3-x，EF=1+x，利用勾股定理可列出关于x的方程，求解即可.得到x的值后，代入EF=1+x，就得到EF的长度.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，OD=OB，∠COD=90°.
∵DH⊥AB，
∴OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH.
又∵AB//CD，
∴∠OBH=∠ODC，
∴∠OHB=∠ODC.
∵在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°
∴∠DHO=∠DCO.
【知识点】余角、补角及其性质；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得AB∥CD，OD=OB，BD⊥AC，根据平行线的性质得出DH⊥CD， 然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得OH=OB， 则得∠OHB=∠OBH，然后由平行线的性质求出∠OBH=∠ODC，等量代换则可求出∠OHB=∠ODC ，最后根据余角的性质求出∠DHO=∠DCO即可.
20．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=8，BC=AD=4
设AF=x，依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有，
∠D'=∠B=90°，∠AFD'=∠CFB，BC=D'A，
∴△AD'F≌△CBF(AAS)，
∴CF=AF=x，∴BF=8﹣x，
在Rt△BCF中有：BC2+BF2=FC2，
即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5．
∴S△AFC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 设AF=x，根据矩形的性质和折叠的性质得出∠D'=∠B=90°，∠AFD'=∠CFB，BC=D'A，利用AAS证出△AD'F≌△CBF，得出CF=AF=x，BF=8﹣x，再根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x的值，从而求出AF的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可求解.
21．【答案】解：如图，连接PD，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，
即 的最小值为线段DE的长，
∵四边形ABCD是菱形， ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
又∵点E是AB的中点，
∴ ，
∴在 中， ，
故 的最小值是3．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 如图，连接PD，BD，根据菱形的性质及线段垂直平分线的性质得出，从而得出
，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时， 取得最小值，最小值等于线段DE的长，根据菱形的性质、等边三角形的性质及勾股定理求出DE的长即可.
22．【答案】解：证明：∵ABCD是正方形，
∴△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示.
∵∠ADF′+∠ADE=180°，
∴F′，D，E，C四点共线.
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB.
又∵∠3=∠2=∠1，
∴∠F′AE=∠DAF=∠AFB.
而∠AF′D=∠AFB，
∴∠AF′D=∠F′AE，
∴AE=EF′=DF′+DE.
∵DF′=BF，
∴BF+DE=AE.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据正方形的性质，将△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示；
可得F′，D，E，C四点共线，根据平行线的性质以及全等三角形的性质，利用等量代换，可得∠AF′D=∠F′AE，即得AE=EF′=DF′+DE，再由DF′=BF，即可得证.
23．【答案】解：当点 在 内时，上述结论 成立.
证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ；
当点 在 外时，上述结论不成立，此时数量关系为 .
证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】当点 在 内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB,根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；
当点 在 外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD,所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.
1 / 1