11.2.1三角形的内角(2课时）
文档属性
| 名称 | 11.2.1三角形的内角(2课时） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 470.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-07-30 09:07:26 | ||
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文档简介
课件38张PPT。§11.２.１ 三角形的内角(第1课时)ABCABC在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°.你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．方法：度量、剪拼图、折叠 测量可能会有误差． 1.运用度量的方法.得出的三个内角的和都是180°吗？为什么?2.通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？议一议需要通过推理的方法去证明.3.你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？在图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直线l，直线l 与边BC 有什么位置关系？在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明 “三角形内角和等于180°”的思路吗？证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC．
∵ l ∥BC
∴ ∠2 = ∠4
∠3 = ∠5（两直线平行，内错角相等）已知：△ABC．
求证：∠A +∠B + ∠C = 180°∵ ∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°2314l5通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？证明：延长BC，过点C作CE ∥ ABE∵ CE ∥ AB（两直线平行，内错角相等）∴ ∠A=∠1∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠2+∠1+∠BCA=1800﹙ ？ ﹚
∴∠B+∠A+∠BCA=1800﹙ ？ ﹚12三角形三个内角的和等于180°在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.构造内错角构造同位角1.在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，则∠ C= ＿＿＿.
2.在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = ＿＿＿.
3.在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C = ＿＿＿.
4.在△ABC中,∠A=75°,∠ B-∠ C=15°，则∠ C= ＿＿. 102°试一试40°120°45°5.已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.由三角形内角和为180°得x+3x+5x = 180°解得 x = 20°所以三个内角度数分别为20°,60°,100°这些方法能证明三角形内角和定理吗？ 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．例2;如图.C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向.C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢?【分析】直接写出下列各度数∠DAC= ， ∠DAB= ， ∠EBC= ， ∠CAB= .解：∵ AD∥BE
∴∠ABE＝180°-∠DAB ＝180°-80°＝100°
∴ ∠ABC＝∠ABE-∠CBE＝100°-40°＝60°
在△ABC中， ∠C=180°-∠CAB-∠ABC =180°-30 °-60°=90°50°30°40°50°80°40°30°DCE北A50°∟B40 °北MN 在△AMC中∠AMC=90°, ∠MAC=50°
∴∠1=180°-90°-50°= 40° ∵ AD∥BE
∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得 ∠2 = 50° ∴ ∠ACB = 180 °-∠1 -∠2=180°-40°-50°=90° 解：过点C画MN⊥AD分别交
AD、BE于点M、N.12法二：B1250°40°解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50°F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE∴ CF∥ BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°+40°＝90°法三：解：在△ACD中 ∠CAD ＝30° ∠D＝90°
∴ ∠ACD =180° -30° -90°=60°
在△BCD中 ∠CBD= 45° ∠D＝90°
∴ ∠BCD =180°- 90°-45°=45°
∴ ∠ACB =∠ACD- ∠BCD = 60°-45°1.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°.从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少？练一练2.如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°.∠B＝∠D＝40°.求∠C的度数.D解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180°
在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180°
∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360°
即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360°
40°+40°+ ∠BCD +150° = 360°
∴ ∠BCD = 360°-40°- 40°- 150°=130°另解： 由题意得 ∠BAC＝∠DAC＝75°
在△ABC中
∠BCA ＝180°-∠BAC-∠B＝180°-75°-40°=65°
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 °
∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°.
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种.
3、探索到一个数学规律，最终还须证明.
4、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角.小结???????????????????????????????????????????????????? 1.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为＿＿.做一做75° 5 2 3 4 2.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= ＿＿．110° 做一做1.一个三角形中最多有＿＿个直角？为什么？
2.一个三角形中最多有＿＿个钝角？为什么？
3.一个三角形中至少有＿＿个锐角？为什么？
4.任意一个三角形中，最大的角不能小于＿＿.11260°5、如图,一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )A.带①去 B.带②去
C.带③去 D.带①和②去C6.已知：在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.解：设∠A= x ，则∠C =∠ABC =2x. ∴x + 2x + 2x =180 (三角形内角和定理).解方程，得x =360
∴ ∠C = 2×360 = 720ABCD在△BDC中，
∵∠BDC=90°（已知）
∴∠DBC=180°-90°-72°（三角形内角和定理)
∴∠DBC=18°┓好好学习天天向上§11.２.１三角形的内角(第2课时)复习：求出图中x的值探索直角三角形的性质 问题2 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，
∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？
利用上面的结果，你能得出什么结论？直角三角形的两个锐角互余． 探索直角三角形的性质 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．探索直角三角形的性质在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 问题3 此性质的几何推理格式该怎样表示？例题讲解 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 分析：两个角的关系是
什么？这两个角分别在什么
三角形中？你如何验证自己
的想法？例题讲解解：在Rt△AEC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°， 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？例题讲解解：∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵ ∠AEC =∠BED
（对顶角相等），
∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）． 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？探索直角三角形的判定 问题4 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么
结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？ 利用三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形． 探索直角三角形的判定 问题5 类比性质的几何推理格式，判定的几何推
理格式又该怎样表示？ 推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．相等．
同角的余角相等． 课堂练习 练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，
∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？课堂练习 变式1 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是
△ACB 的高吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．课堂练习 变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角
三角形吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．课堂练习 变式3 如图，若∠C =90°，∠AED =∠B，△ADE
是直角三角形吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．
（证明过程略）．【课堂练习】1、课本14页1题，
变式你还能说一下∠A与∠BCD的关系吗？
选作请你找出图中所有的互余的角并写下来解：∠B=∠ACD。理由：
在Rt △ABC中， ∠ACB =90°
∴ ∠B= 90°— ∠A
∵CD⊥AB
∴ △ACD是直角三角形
∴∠ACD= 90°— ∠A
∴ ∠B=∠ACD
思考：如果是直角三角形则两锐角互余，反之，如果在一个三角形中两角互余，则这个三角形是直角三角形吗？ Z.xxk已知：在三角形ABC中，∠ A+ ∠B=90°。
求证： ∠C =90°证明：在△ABC中，
∵∠A+ ∠B +∠C =180°，
而∠A+ ∠B =90°
∴ ∠C =90°好好学习天天向上
∵ l ∥BC
∴ ∠2 = ∠4
∠3 = ∠5（两直线平行，内错角相等）已知：△ABC．
求证：∠A +∠B + ∠C = 180°∵ ∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°2314l5通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？证明：延长BC，过点C作CE ∥ ABE∵ CE ∥ AB（两直线平行，内错角相等）∴ ∠A=∠1∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）∵∠2+∠1+∠BCA=1800﹙ ？ ﹚
∴∠B+∠A+∠BCA=1800﹙ ？ ﹚12三角形三个内角的和等于180°在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.构造内错角构造同位角1.在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43°，则∠ C= ＿＿＿.
2.在△ABC中,∠C=90°,∠B=50°, 则∠A = ＿＿＿.
3.在△ABC中, ∠A=40°,∠A=2∠B，则∠C = ＿＿＿.
4.在△ABC中,∠A=75°,∠ B-∠ C=15°，则∠ C= ＿＿. 102°试一试40°120°45°5.已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.由三角形内角和为180°得x+3x+5x = 180°解得 x = 20°所以三个内角度数分别为20°,60°,100°这些方法能证明三角形内角和定理吗？ 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数．例2;如图.C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向.C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢?【分析】直接写出下列各度数∠DAC= ， ∠DAB= ， ∠EBC= ， ∠CAB= .解：∵ AD∥BE
∴∠ABE＝180°-∠DAB ＝180°-80°＝100°
∴ ∠ABC＝∠ABE-∠CBE＝100°-40°＝60°
在△ABC中， ∠C=180°-∠CAB-∠ABC =180°-30 °-60°=90°50°30°40°50°80°40°30°DCE北A50°∟B40 °北MN 在△AMC中∠AMC=90°, ∠MAC=50°
∴∠1=180°-90°-50°= 40° ∵ AD∥BE
∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °
∴ ∠BNC =90° 同理得 ∠2 = 50° ∴ ∠ACB = 180 °-∠1 -∠2=180°-40°-50°=90° 解：过点C画MN⊥AD分别交
AD、BE于点M、N.12法二：B1250°40°解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50°F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE∴ CF∥ BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°+40°＝90°法三：解：在△ACD中 ∠CAD ＝30° ∠D＝90°
∴ ∠ACD =180° -30° -90°=60°
在△BCD中 ∠CBD= 45° ∠D＝90°
∴ ∠BCD =180°- 90°-45°=45°
∴ ∠ACB =∠ACD- ∠BCD = 60°-45°1.如图，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°.从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少？练一练2.如图，一种滑翔伞是左右对称的四边形ABCD，其中∠A＝150°.∠B＝∠D＝40°.求∠C的度数.D解：在△ABC中 ∠B+∠1+∠BAC=180°
在△ACD中 ∠D+∠2+∠DAC=180°
∴∠B+∠D+∠1+∠2+∠BAC+∠CAD=360°
即 ∠B+∠D+ ∠BCD +∠BAD= 360°
40°+40°+ ∠BCD +150° = 360°
∴ ∠BCD = 360°-40°- 40°- 150°=130°另解： 由题意得 ∠BAC＝∠DAC＝75°
在△ABC中
∠BCA ＝180°-∠BAC-∠B＝180°-75°-40°=65°
∴ ∠ACD = ∠ BCD = 65 °
∴ ∠BCD = ∠ACD + ∠ BCD =130 °1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于180°.
2、通过思考、去探究、去总结三角形内角和的定理，并且证明方法不止一种.
3、探索到一个数学规律，最终还须证明.
4、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角.小结???????????????????????????????????????????????????? 1.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为＿＿.做一做75° 5 2 3 4 2.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= ＿＿．110° 做一做1.一个三角形中最多有＿＿个直角？为什么？
2.一个三角形中最多有＿＿个钝角？为什么？
3.一个三角形中至少有＿＿个锐角？为什么？
4.任意一个三角形中，最大的角不能小于＿＿.11260°5、如图,一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )A.带①去 B.带②去
C.带③去 D.带①和②去C6.已知：在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.解：设∠A= x ，则∠C =∠ABC =2x. ∴x + 2x + 2x =180 (三角形内角和定理).解方程，得x =360
∴ ∠C = 2×360 = 720ABCD在△BDC中，
∵∠BDC=90°（已知）
∴∠DBC=180°-90°-72°（三角形内角和定理)
∴∠DBC=18°┓好好学习天天向上§11.２.１三角形的内角(第2课时)复习：求出图中x的值探索直角三角形的性质 问题2 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，
∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？
利用上面的结果，你能得出什么结论？直角三角形的两个锐角互余． 探索直角三角形的性质 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．探索直角三角形的性质在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 问题3 此性质的几何推理格式该怎样表示？例题讲解 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 分析：两个角的关系是
什么？这两个角分别在什么
三角形中？你如何验证自己
的想法？例题讲解解：在Rt△AEC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°， 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？例题讲解解：∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵ ∠AEC =∠BED
（对顶角相等），
∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）． 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，
∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？探索直角三角形的判定 问题4 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，
那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么
结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？ 利用三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形． 探索直角三角形的判定 问题5 类比性质的几何推理格式，判定的几何推
理格式又该怎样表示？ 推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．相等．
同角的余角相等． 课堂练习 练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，
∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？课堂练习 变式1 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是
△ACB 的高吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．课堂练习 变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角
三角形吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．课堂练习 变式3 如图，若∠C =90°，∠AED =∠B，△ADE
是直角三角形吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．
（证明过程略）．【课堂练习】1、课本14页1题，
变式你还能说一下∠A与∠BCD的关系吗？
选作请你找出图中所有的互余的角并写下来解：∠B=∠ACD。理由：
在Rt △ABC中， ∠ACB =90°
∴ ∠B= 90°— ∠A
∵CD⊥AB
∴ △ACD是直角三角形
∴∠ACD= 90°— ∠A
∴ ∠B=∠ACD
思考：如果是直角三角形则两锐角互余，反之，如果在一个三角形中两角互余，则这个三角形是直角三角形吗？ Z.xxk已知：在三角形ABC中，∠ A+ ∠B=90°。
求证： ∠C =90°证明：在△ABC中，
∵∠A+ ∠B +∠C =180°，
而∠A+ ∠B =90°
∴ ∠C =90°好好学习天天向上