黑龙江省鹤北林业局高级中学2013-2014学年高二上学期末联考数学（文）试题（A）

鹤北林业局高级中学2013-2014学年高二上学期末联考
数学文试题（A）
一、选择题
1．已知命题p：?n∈N,2n＞1 000，则﹁p为( )
A．?n∈N,2n＜1 000 B．?n∈N,2n＞1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n≤1 000
2．在2013年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是＝－3.2x＋a，则a＝ (　　)
A．－24 B．35.6 C．40.5 D．40
3．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 (　　)
A. B．1－ C. D．1－
4．某算法的程序框图如图所示，则输出的S的值为 (　　)
A. B. C. D.
5．某同学4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是（ ）
A．125 B．5 C．45 D．3
6、有下列四个命题
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题。
其中真命题为（ ）
①② B．②③ C．①③　 D．③④
7．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B． C． D．
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为 (　　)
A．0 B．2 C．1 D．－1
9已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是（ ）

12．下列命题正确的是（ ）
①椭圆为半焦距）。
②双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
③已知抛物线y2＝2px上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且OA⊥OB(O为原点),则y1y2＝－p2。
A．②③ B．① C．①② D．①③
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在横线上)
13、为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是 。
14.已知f(x)在x=x0处可导,则是函数在点处取极值的 条件。
15.已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p>0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是 。
16．若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为 。
解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)为庆祝国庆，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(成绩均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题．
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
18.（本题满分12分）已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1 ＝0无实根。 若：p或q 为真，p且q为假。
求实数m的取值范围。
(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为M ，求抛物线和双曲线的方程．
(本题满分12分)已知椭圆G：(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(，0)． 斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)、求椭圆G的方程；(2)、求△PAB的面积．
(本题满12分)已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x) ＝，（e是自然常数，a∈R.）
(1)讨论a＝1时，f(x)的单调性、极值；
(2)求证：在(1)在条件下，f(x)>g(x)＋；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
22．(本题满分12分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B 两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.
鹤北林业高级中学
选择题
DDBBC CCADB DC
填空题
13. 20 14. 必要不充分 15. (1,0) 16.
三、解答题
18解：由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，....................................................................2分
p真m>2，.......................................................................................4分
q真<01若p假q真，则1若p真q假，则m≥3；.......................................................................10分
综上所述：m∈(1,2]∪[3，+∞)．.............................................12分19.解　∵抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，与双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个交点为M ，∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
将点M坐标代入得p＝2，∴y2＝4x，其准线为x＝－1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分
∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点，∴双曲线的焦点为(±1,0)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
且点M在双曲线上，代入双曲线方程且c2＝a2+b2,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
解得a2＝，b2＝，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 10分
∴双曲线的方程为4x2－＝1..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
20.解：(1)由已知得，，．解得．....................................2分
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为． .......................................4分
(2)设直线l的方程为y＝x＋m．
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①.............................6分
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，
则，y0＝x0＋m＝．
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．所以PE的斜率．
解得m＝2．满足方程①中?>0.....................................8分
此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．所以y1＝－1，y2＝2．
所以|AB|＝．........................................................................................................10.分
此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．...................................................................12分
21解：(1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，
∴当00，此时f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为f(1)＝1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
(2)∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，∴f(x)min＝1，。。。。。。。。。4分
令h(x)＝g(x)＋＝＋，h′(x)＝，
当00，h(x)在(0，e]上单调递增，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分
∴h(x)max＝h(e)＝＋<＋＝1＝|f(x)|min
∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.。。。。。。7分
假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3，
f′(x)＝a－＝.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.8分
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
②当0<③当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.。。。。。。。。。。12分
22解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.①
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.。。。。。。。。。。。。2分
由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝..。。。。。。。。。4分
(2)证明：证法一：
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得x＝.②.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.。。7分
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.
整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.
由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
证法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．
由点P在椭圆上，有＋＝1.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，
于是x0＝.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
代入③，得(1＋k2)·3，所以|k|>..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分