6.4.1 余弦定理 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
第六章　平面向量及其应用
6.4　平面向量的应用
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养目标 定方向
素养目标 定方向
学习目标 核心素养
理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论． 逻辑推理
能用余弦定理解三角形． 数学运算
必备知识 探新知
　　　余弦定理
知识点1
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和________这两边与它们的夹角的余弦的积的______倍
符号语言 在△ABC中，a2＝____________________，
b2＝___________________，c2＝___________________
推论
在△ABC中，cos A＝____________，cos B＝____________，
cos C＝____________
减去　
两　
b2＋c2－2bccos A　
c2＋a2－2cacos B　
a2＋b2－2abcos C　
[解析]　由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．
A　
　　　解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
元素　
知识点2
解三角形　
D　
150°　
[知识解读]　(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，若角C＝90°，则cos C＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 已知两边及一角解三角形
[分析]　(1)由余弦定理可直接求第三边；
(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长．
典例 1
60　
4或5　
[归纳提升]　已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．
C　
B　
题型二 已知三边解三角形
　　　　　在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．
[分析]　由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．
典例 2
[解析]　由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)．因此c是最大边，其所对角C为最大内角．
由余弦定理推论得：
∵0°＜C＜180°，∴C＝120°，即最大内角为120°．
[归纳提升]　已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．
A．90° B．120°
C．135° D．150°
(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于 (　　)
A．90° B．60°
C．120° D．150°
B　
B　
题型三 判断三角形的形状
　　　　　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
[分析]　利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
[解析]　已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos B·cos C，
∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos B·cos C，
∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos Bcos C＝(bcos C＋ccos B)2＝a2，
∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
典例 3
[归纳提升]　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【对点练习】 在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4．
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
易错警示
忽略三角形三边关系导致出错
　　　　　设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
典例 4
[误区警示]　由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．
【对点练习】 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．
[解析]　因为a，b，c是△ABC的三边，所以b－a＜c＜a＋b，
所以2－1＜t＜1＋2＝3，所以1＜t＜3．
又△ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90°＜C＜180°．
课堂检测 固双基
1．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于 (　　)
A．60° B．45°
C．120° D．30°
C　
B　
C　
5