上海市奉贤区名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

奉贤区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
一 填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）
1.过两点的直线的倾斜角为，那么__________.
2.直线与直线平行，则__________.
3.过点与半径最小的圆的方程为__________.
4.已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.
5.若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是__________.
6.若拋物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则__________.
7.过点作直线与圆相切，则直线的一般式方程是__________.
8.设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
9.若椭圆的弦被点平分，则弦所在直线的斜率为__________.
10.从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________.
11.直线与曲线的公共点个数是__________个.
12.已知对曲线的左 右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是__________（结果用表示）
二 选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）
13.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（ ）条件.
A.必要非充分 B.充分非必要
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.平面直角坐标系上动点，满足，则动点的轨迹是（ ）
A.线段 B直线 C.圆 D.椭圆
15.双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ）
A.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D.的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
16.已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：
①“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为；
②阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则；
③在阴影部分中任取一点，则的最大距离为3；
④“水滴”图形的面积是.
其中正确的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
三 解答题（本题满分48分）
17.（本题满分8分）
已知的三个顶点
（1）求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（本题满分8分）
已知圆经过，圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆与圆相切，求的值.
19.（本题满分10分）
已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是轴正半轴上的一点，求的最大值.
20.（本题满分10分）
已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两文分别交于两点，
①求的取值范围；
②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.
21.（本题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分別交椭圆于点，直线与交于点.
（1）求的周长；
（2）当垂直于轴时，求直线的方程；
（3）记与的面积分别为，求的最大值.
数学试卷答案
一 填空题（本人题共有12小题，每题3分，满分36分）
1.【答案】1
【解析】，又.
2.【答案】2
【解析】法一：两直线平行，则
法二：两直线平行，，则
3.【答案】
【解析】过点与半径最小的圆即以这两点为直径的圆，所以圆心为两点的中点，半径，
所以圆的方程为
4.【答案】8
【解析】
5.【答案】
【解析】由题意，所以，
所以渐近线分程为
6.【答案】4
【解析】在椭圆中，所以右焦点坐标为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以.
7.【答案】
【解析】由题意可知点在圆上，则，
所以的点法式方程为，化为一般式为
8.【答案】
【解析】由题意可得，因为，所以点为短轴顶点，所以
9.【答案】
【解析】设，
则，做差可得，
又是弦的中点，所以，
所以.
10.【答案】
【解析】设，过点分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点，
同理可知另一个交点为
则，
所以
.
11.【答案】3
【解析】数形结合，画出对应的曲线图像可得公共点有3个.
12.【答案】
【解析】设，
则
，
同理，，
由题意知，，
，
，
设，则
，
，
.
二 选择题（本人题共有4题，每小题4分，满分16分）
13.【答案】B
【解析】若两直线的夹角为60，
则或，故选B.
14.【答案】A
【解析】表示点到点与点的距离之和为6，而点与点的距离恰好是6，所以点的轨迹是这两点之间的线段.
15.【答案】A
【解析】
的渐近线方程为的渐近线方程为
因为，所以，即，即，
所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔，故选.
16.【答案】C
【解析】（1）由于，令，可得，
解得，所以“水滴”图形与轴相交，最高点记作，则点的坐标为，所以①是对的；
②由①得，阴影部分与轴相交，最高点和最低点分别记作和，则，所以②是错误的；
③由于，参数方程为，
所以，当时，点到原点的距离取到最大值3，所以③是对的；
④“水滴”图形由一个等腰三角形 两个全等的弓形和一个半圆组成，
所以
所以①是错误的.故选C.
三 解答题（本题满分48分）
17.【答案】（1）；（2）7
【解析】（1），所以，化简可得
（2）点到直线的距离，
则
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设圆，因为圆过三点，
则，所以，
即
（2）圆化为标准分程肋，因为圆与圆的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，
则有
19.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为
（2）设，
则
当时，
当时，，
所以
20.【答案】（1）；（2）①；②
【解析】（1）由题意可得，所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线
联立消去整理可得，
则
①因直线与双曲线交于两支，所以且，
即；
②设，
令，则
所以直线过定点
21.（本题满分12分）
【答案】（1）的周长为8；（2）直线的方程为；（3）的最大值为
【解析】（1）由椭圆的定义知，，
故的周长为8.
（2）因，
故，
直线的方程为.
联立解得或即.
从而，直线的方程为，即
（3）设.
设直线的方程为，其中.
联立.消去，
得
则.
又，即，
故.
同理，.
于是
又，
故，
当且仅当，即时等号成立.
故的最大值为.
另解：令，
则
.
当且仅当，即.
故的最大值为.