奉贤区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
一 填空题(本大题共有12小题,每题3分,满分36分)
1.过两点的直线的倾斜角为,那么__________.
2.直线与直线平行,则__________.
3.过点与半径最小的圆的方程为__________.
4.已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为4,则__________.
5.若双曲线的两个顶点三等分焦距,则该双曲线的渐近线方程是__________.
6.若拋物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则__________.
7.过点作直线与圆相切,则直线的一般式方程是__________.
8.设和为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积是__________.
9.若椭圆的弦被点平分,则弦所在直线的斜率为__________.
10.从双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线,这4条直线构成平行四边形,则该平行四边形的面积为__________.
11.直线与曲线的公共点个数是__________个.
12.已知对曲线的左 右焦点分别的,过点且倾斜角为的直线交的右支于两点(在轴上方),且满足,则双曲线的离心率是__________(结果用表示)
二 选择题(本大题共有4题,每小题4分,满分16分)
13.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的( )条件.
A.必要非充分 B.充分非必要
C.充分必要 D.既非充分又非必要
14.平面直角坐标系上动点,满足,则动点的轨迹是( )
A.线段 B直线 C.圆 D.椭圆
15.双曲线和的离心率分别为和,若满足,则下列说法正确是( )
A.的渐近线斜率的绝对值较大,的开口较开阔
B.的渐近线斜率的绝对值较大,的开口较狭窄
C.的渐近线斜率的绝对值较大,的开口较开阔
D.的渐近线斜率的绝对值较大,的开口较狭窄
16.已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如水滴.给出下列结论:
①“水滴”图形与轴相交,最高点记作,则点的坐标为;
②阴影部分与轴相交,最高点和最低点分别记作和,则;
③在阴影部分中任取一点,则的最大距离为3;
④“水滴”图形的面积是.
其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
三 解答题(本题满分48分)
17.(本题满分8分)
已知的三个顶点
(1)求直线的方程;
(2)求的面积.
18.(本题满分8分)
已知圆经过,圆.
(1)求圆的标准方程;
(2)若圆与圆相切,求的值.
19.(本题满分10分)
已知是椭圆上一个动点,是椭圆的左焦点,若的最大值和最小值分别为和.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是轴正半轴上的一点,求的最大值.
20.(本题满分10分)
已知等轴双曲线的焦点在轴上,焦距为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)斜率为的直线过点,且直线与双曲线的两文分别交于两点,
①求的取值范围;
②若是关于轴的对称点,证明直线过定点,并求出该定点坐标.
21.(本题满分12分)
已知椭圆的左 右焦点分别为,设是第一象限内椭圆上一点,的延长线分別交椭圆于点,直线与交于点.
(1)求的周长;
(2)当垂直于轴时,求直线的方程;
(3)记与的面积分别为,求的最大值.
数学试卷答案
一 填空题(本人题共有12小题,每题3分,满分36分)
1.【答案】1
【解析】,又.
2.【答案】2
【解析】法一:两直线平行,则
法二:两直线平行,,则
3.【答案】
【解析】过点与半径最小的圆即以这两点为直径的圆,所以圆心为两点的中点,半径,
所以圆的方程为
4.【答案】8
【解析】
5.【答案】
【解析】由题意,所以,
所以渐近线分程为
6.【答案】4
【解析】在椭圆中,所以右焦点坐标为,因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,所以.
7.【答案】
【解析】由题意可知点在圆上,则,
所以的点法式方程为,化为一般式为
8.【答案】
【解析】由题意可得,因为,所以点为短轴顶点,所以
9.【答案】
【解析】设,
则,做差可得,
又是弦的中点,所以,
所以.
10.【答案】
【解析】设,过点分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点,
同理可知另一个交点为
则,
所以
.
11.【答案】3
【解析】数形结合,画出对应的曲线图像可得公共点有3个.
12.【答案】
【解析】设,
则
,
同理,,
由题意知,,
,
,
设,则
,
,
.
二 选择题(本人题共有4题,每小题4分,满分16分)
13.【答案】B
【解析】若两直线的夹角为60,
则或,故选B.
14.【答案】A
【解析】表示点到点与点的距离之和为6,而点与点的距离恰好是6,所以点的轨迹是这两点之间的线段.
15.【答案】A
【解析】
的渐近线方程为的渐近线方程为
因为,所以,即,即,
所以的渐近线斜率的绝对值较大,又离心率越大,双曲线开口越开阔,故选.
16.【答案】C
【解析】(1)由于,令,可得,
解得,所以“水滴”图形与轴相交,最高点记作,则点的坐标为,所以①是对的;
②由①得,阴影部分与轴相交,最高点和最低点分别记作和,则,所以②是错误的;
③由于,参数方程为,
所以,当时,点到原点的距离取到最大值3,所以③是对的;
④“水滴”图形由一个等腰三角形 两个全等的弓形和一个半圆组成,
所以
所以①是错误的.故选C.
三 解答题(本题满分48分)
17.【答案】(1);(2)7
【解析】(1),所以,化简可得
(2)点到直线的距离,
则
18.【答案】(1);(2)
【解析】(1)设圆,因为圆过三点,
则,所以,
即
(2)圆化为标准分程肋,因为圆与圆的半径相等,故两圆不会内切,只有外切,
则有
19.【答案】(1);(2)
【解析】(1)由题意可得,解得,
所以椭圆的标准方程为
(2)设,
则
当时,
当时,,
所以
20.【答案】(1);(2)①;②
【解析】(1)由题意可得,所以双曲线的标准方程为;
(2)设直线
联立消去整理可得,
则
①因直线与双曲线交于两支,所以且,
即;
②设,
令,则
所以直线过定点
21.(本题满分12分)
【答案】(1)的周长为8;(2)直线的方程为;(3)的最大值为
【解析】(1)由椭圆的定义知,,
故的周长为8.
(2)因,
故,
直线的方程为.
联立解得或即.
从而,直线的方程为,即
(3)设.
设直线的方程为,其中.
联立.消去,
得
则.
又,即,
故.
同理,.
于是
又,
故,
当且仅当,即时等号成立.
故的最大值为.
另解:令,
则
.
当且仅当,即.
故的最大值为.