山东省济宁市泗水县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

泗水县2022～2023学年度第二学期期中教学质量检测
高二数学试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填(涂)写在答题卡上。
2.第I卷的答案须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
3.答第II卷(非选择题)考生须用0.5mm的黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。否则，该答题无效。
4.书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚。
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知等比数列的前2项和为，则（ ）
A． B． C． D．1
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知函数的图象在点处的切线为l，则（ ）
A． B． C．0 D．2
5．中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15:37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．90种 C．360种 D．450种
6．定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，，则等于 （ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为
10．已知事件满足，则（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
11．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．公差 B．
C．的最大值为 D．满足的的最小值为16
12．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．盒中有个质地，形状完全相同的小球，其中个红球，个绿球，个黄球；现从盒中随机取球，每次取个，不放回，直到取出红球为止.则在此过程中没有取到黄球的概率为___________.
14．在等比数列中，且，则________.
15．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________．
16．过点与曲线相切的直线方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
（1）求值：．
（2）若，且．求的值．
18．（本小题满分12分）
已知的一个极值点为2.
(1)求函数的单调区间.
(2)求函数在区间上的最值.
19．（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．
(1)求；
(2)记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．
20．（本小题满分12分）
为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．
(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；
(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；
(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．
21．（本小题满分12分）
已知数列满足，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.
1-8．ADCC BDDC
二、多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．AC 10．BC 11．AC 12．CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15． 16．
四17.（1）由组合数的性质，可得解得．-----------（2分）
又因为，所以或，当时，原式，当时，原式；--------（5分）
（2）由，得
，
即，解得或（舍去），所以，------（7分）
当时，由已知，得，
令，得，令，得，
所以------------------（10分）
18．（1）由题意可得：，则，解得，----（2分）
当时，，，
令，解得或，
则的递增区间为，递减区间为，------（4分）
可得为极小值点，即符合题意，
故的递增区间为，递减区间为.-------（6分）
（2）∵，由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，
则函数在区间上的最大值为，--------（8分）
又∵，即，
则函数在区间上的最小值为，
故函数在区间上的最大值为，最小值为.-------（12分）
19．（1）由，，成等差数列，，，成等比数列可得，---------（4分）
-----------------------（5分）
（2）由得，
故，------------（8分）
两式相减可得，---（10分）
而，所以为公比为2的等比数列，且首项为，
故，进而-------（12分）
20．（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．
由全概率公式．-----（4分）
（2）的可能取值为2，3．
由题意知，由（1）知，
则，，---------（6分）
，
，．------（8分）
（3），此时，
．--------（12分）
21．（1），得，
因为，即，解得，由，得，
又，故，所以，即，
所以，----------（3分）
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，所以；---------（6分）
（2）当为偶数时，
，----------（9分）
当为奇数时，
，------（11分）
综上所述，.-----------------------（12分）
22.（1），，............1分
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,.....3分
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．.......................4分
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，....................6分
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，..........................8分
且当时，当时，，，
因此
>1,..................10分
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)................................12分
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．............................8分
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．..............................10分
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．.................................12 分
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，...................................8分
而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
....................................10分
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．......................12分
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．.......................6分
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．............................8分
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．............10分
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页