川绵中学2022-2023学年高一下学期期中检测
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题(共40分)
1．下列命题中正确的是（ ）
A．温度是向量 B．速度、加速度是向量
C．单位向量相等 D．若||=||，则和相等
2．向量 + - （ ）
A． B． C． D．
3．已知点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是两个不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．a=0，b=e1- e2 B．a=3e1-3e2，b=e1-e2
C．a=e1-2e2，b=e1+2e2 D．a=e1-2e2，b=2e1-4e2
5．已知向量 ，的夹角为， =3，||=2，则||=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
6．已知，则（ ）
A．3 B．4 C． D．10
7．已知，若（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．3 B． C．1 D．
8．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题(共20分)
9．（多选）在中，已知，则角（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数是纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，z为虚数
11．（多选）已知复数（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）
A．复数z的虚部为2i B．
C．复数z的共轭复数 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
12．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．| |≤|| ||
B．若与平行，与平行，则与平行
C．若 = 且≠则=
D．和的数量积就是在上的投影向量与的数量积
三、填空题(共20分)
13．若向量=(1,2),=(4,3)，那么 的坐标为________.
14．复数（其中为虚数单位）的虚部为____．
15．“”是“复数为纯虚数”的___________条件．
16．已知m∈R，复平面内表示复数的点位于第三象限内，则m的取值范围是______.
四、解答题(共70分)
17.(8分)已知向量=(-1,3),=(1,2)．
（1）求||,||；
（2）求与夹角的大小；
18.(12分)已知向量=(3,-1)，=(1,-2)，求：
(1) ；
(2)(+)2；
(3)(+) (-).
19.(10分) 已知=(1,2),=(-3,2)
(1)k为何值时，？
(2)k为何值时，？
20(12)．在三角形ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b=3,c=2,A=30。,解这个三角形
21.(12)计算：
(1)(1+2i)+（7-11i）-（5+6i）；
(2)（2-i）（-1+5i）（3-4i）+2i
(3)；
22.(16分)已知复数z=(m2-m-6)+(m2-3m-10).
(1)若z为实数，求m值：
(2)若z为虚数，求m值；
(3)若z为纯虚数，求m值；
(4)若复数z为实数0，求m值参考答案：
1．B
【分析】根据向量的定义判断．
【详解】温度只有大小，没有方向，不是矢量，A错误；
速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值．由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量．时间的变化，只有大小，是一个标量．因此加速度是一个矢量，也就是向量，B正确；
向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C错误；
已知，但与的方向不一定相同，则与不一定相等，D错误．
故选：B．
2．C
【分析】利用向量加减法则化简即可.
【详解】由.
故选：C
3．B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解作答.
【详解】因为点，所以.
故选：B
4．C
【分析】根据两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底.
故选：C．
5．B
【分析】直接利用向量的数量积运算即可求解．
【详解】依题意，
.
故选：B.
6．C
【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.
【详解】因为，所以.
故选：C.
7．B
【分析】根据复数相等，则实部和虚部分别相等，然后可得.
【详解】因为，，则，所以.
故选：B
8．C
【分析】利用复数除法化简复数，再根据复数的几何意义即可得到答案．
【详解】，
所以复数对应的点坐标为，该点是第三象限点，
故选：C．
9．BD
【分析】直接利用正弦定理计算即可.
【详解】由，得，
因为，所以，
又，所以或.
故选：BD.
10．ACD
【分析】根据复数当且仅当时为实数、时为虚数，
当且仅当且时为纯虚数判断即可.
【详解】时，复数是纯虚数，A错误；
当时，复数是纯虚数，B正确；
是纯虚数，则即，C错误；
复数未注明为实数，D错误．
故选：ACD．
11．CD
【分析】根据复数的概念求出A选项，B选项，利用复数模长公式求解；C选，利用共轭复数的概念求解共轭复数；D选项，写出复数z在复平面内的点的坐标，进而判断其在第一象限.
【详解】复数z的虚部为2，A错误；
，B错误；
复数z的共轭复数，C正确；
复数z在复平面内对应的点为，故复数z在复平面内对应的点在第一象限，D正确.
故选：CD
12．AD
【分析】根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定A；当为零向量时，利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定B；由移项变形，利用数量积的性质，进而判定C；利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D.
【详解】，故A正确；
当为零向量时，对于任意的与，与平行，与平行总是成立，故B错误；
等价于，当与垂直时成立，不一定，即推不出，故C错误；
在上的投影向量为，，
所以和的数量积就是在上的投影向量与的数量积．故D正确.
故选：AD.
13．
【分析】根据向量的坐标运算求解.
【详解】∵，则，
∴.
故答案为：.
14．
【分析】由复数的概念可直接得到虚部.
【详解】由复数的概念可知复数的虚部为.
故答案为: .
15．必要不充分
【分析】当时，复数不一定为纯虚数；当复数为纯虚数时，则.即得解.
【详解】当时，复数不一定为纯虚数，
如时，复数是实数，不是纯虚数；
所以“”是“复数为纯虚数”的不充分条件；
当复数为纯虚数时，
则所以“”是“复数为纯虚数”的必要条件.
所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
16．
【分析】根据复数对应的点位于第三象限内，列出相应的不等式组，解得答案.
【详解】由题意可知，复数对应点的坐标为，该点位于第三象限内，
则满足 ,
得 ,所以,
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】（1）解：因为，且，
所以，解得；
（2）解：因为，所以，
又且，所以，解得．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（2）求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.
【详解】（1）解：因为，，则.
（2）解：因为，，则，
因此，.
（3）解：由已知可得，则.
19．（1）5，（2），（3）5
【分析】（1）直接利用坐标求解即可；
（2）利用向量的夹角公式求解；
（3）先求出的坐标，再求其模
【详解】解：（1）因为，
所以，
（2）设与夹角为，则
，
因为，所以，
所以与夹角的大小为，
（3）因为，
所以，
所以
20．
【分析】利用余弦定理直接求解即可.
【详解】由余弦定理得：，解得：.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘．
【详解】（1）
（2）
（3）
22．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可；
（2）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（3）根据第一象限点的坐标特征进行求解即可.
【详解】（1）因为z为实数，
所以；
（2）因为z为纯虚数，
所以；
（3）因为复数z对应的点在第一象限，
所以.
