高二数学期中考试参考答案：
1．C
【分析】利用相关系数绝对值的大小与相关程度的关系判定即可.
【详解】样本相关系数 r的绝对值越接近 1，说明Y 与 X 的线性相关性越强.
故选：C.
2．A
【分析】直接利用排列计数原理可得结果.
2
【详解】从3幅不同的画中选出 2幅，送给甲、乙两人，不同的选法种数为A3 6种.
故选：A.
3．A
【分析】利用条件概率公式即可求得电商平台在第 2次推送时小李不购买此商品的概率.
【详解】电商平台在第 2次推送时小李不购买此商品的概率为
3 3 1 2 37
4 5 4 3 60
故选：A
4．D
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项.
a 6
【详解】已知 x 的展开式中的通项公式为：Tr 1 C
r ar x6 2r，令 6 2r 0，求得：r 3，
x 6
3 3
可得展开式的常数项为：C a = 20，解得： a 1 .
6
故选：D.
5．C
【分析】对 f x 求导，转化为导函数在区间 0, 上大于等于零恒成立，进而转化为最值
问题，求出最值即可.
【详解】因为 f x kx sinx，
所以 f x k cos x，
因为 f x 在区间 0, 上单调递增，
所以在区间 0, 上 f x k cos x 0恒成立，即 k cos x恒成立，
答案第 1页，共 13页
当 x 0, 时， 1 cos x 1，所以 k 1，
所以 k的取值范围是 1, .
故选：C.
6．B
【分析】由函数 f x 有两个零点排除选项 A，C；再借助导数探讨函数 f x 的单调性与极
值情况即可判断作答．
【详解】由 f x 0得， x 0或 x 2，选项 A，C不满足，即可排除 A，C
由 f x x2 2x ex求导得 f x x2 2 ex，
当 x 2或 x 2 时， f (x) > 0，
当 2 x 2 时， f x 0，
于是得 f x 在 , 2 和 2, 上都单调递增，在 2, 2 上单调递减，
所以 f x 在 x 2处取极大值，在 x 2处取极小值，D不满足，B满足．
故选：B
7．D
【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出乙获胜的概率，相加即为答案.
【详解】两局结束比赛，乙获胜的概率为C22 0.6
2 0.36；
三局结束比赛，则前两局乙胜一局，甲胜一局，第三局乙获胜，
C1故乙获胜的概率为 2 0.6 0.4 0.6 0.288，
故乙最终获胜的概率为 0.36+0.288=0.648
故选：D.
8．B
【分析】构造函数证明 x 1 ln x可得 3 1 ln 3，从而得 a,b大小关系；再构造函数证明
sin x 3 3 x, x π 0, 可得 sin1 3 3 3 3 再证明 3 1即可得b,c的大小关系.
2π 3 2π 2π
【详解】令 f (x) x 1 ln x f (x) 1
1 x 1
，则 ，
x x
答案第 2页，共 13页
当 x (0,1)时， f (x) 0,当 x (1, )时， f (x) 0，
f (x)在 x (0,1)上为减函数，在 x (1, )上为增函数，
f (x) f (1) 0， x 1 ln x，
3 1 ln 3 1 ln 3 ， b a，
2
π
令 g(x) sin x 3 3 x, x 0, π 3 3 ，则 g (x) cos x ，显然 g (x)在 x 0, 为减函数，2π 3 2π 3
π
又 g (0) 3 3 1 0, g π 1 3 3 0， x0 0, , g x0 0，2π 3 2 2π 3
当 x 0, x0
π
时 g (x) 0,当 x0 x0 , 时 g (x) 0，
3
当 x 0, x0 时 g(x)
为增函数，当 x0 x ,
π
0 时 g(x)为减函数，，
3
g(x) g(0)， g(x) g(
π) π，又 g(0) g( ) 0 ， g(x) 0，
3 3
sin x 3 3 x, x 0, π 3 3 ， sin1 ，2π 3 2π
3 3 3 3
下面证明： 3 1，即证明： 2π，即证：9 3 3 4π，显然成立，
2π 3 1
sin1 3 3 3 1， c b，
2π
c b a，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造
函数时可以用切线不等式，如在本题中构造的函数 f (x) x 1 ln x就是利用函数 y ln x与
其在 1,0 处的切线 y x 1大小关系构造的.也可以用割线不等式，如在本题中构造的函数
g(x) sin x 3 3 x, x 0,
π
就是利用函数 y sin x
3 3
与割线 y x大小关系构造的，割线
2π 3 2π
y 3 3
x是过 0,0 ,
π
,
3
两点的直线.2π 3 2
答案第 3页，共 13页
9．ACD
【分析】令 x 0可求得 a0可判断 A；写出该二项展开式的通项可得 a2可判断 B；令 x 1，
求得 a0 a1 a2 a7 ，进而求得 a1 a2 a7 可判断 C；由二项展开式的通项分析可知，
当 k为偶数时，ak 0，当 k为奇数时，ak 0，然后令 x= 1可得出所求式子的值，可判断
D．
7
【详解】因为 1 2x a0 a1x a2x2 a x77 ，
令 x 0，得1 a0，故 A正确；
1 2x 7展开式的通项为 T r 7 rr 1 C71 ( 2x)r ( 2)rCr xr，则 a 2 27 2 ( 2) C7 84 ，故 B错误；
令 x 1，得 1 a0 a1 a2 a7 ，故 C正确；
1 2x 7展开式的通项为T kr 1 ( 2)rCrx r7 ，则 ak 2 Ck7，其中0 k 7且 k N，
当 k为偶数时， ak 0；当 k为奇数时， ak 0，
7
令 x= 1，可得 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 3 ，故 D正确.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】由线性回归方程的性质可判断 A、B；通过正态分布计算，判断 C；结合新样本数
据的方差公式可判断 D.
【详解】解：对于 A， y 0.45x 0.6， b 0.45，则变量 y与 x负相关，故 A项错误；
对于 B，在线性回归分析中相关指数R2越大，则模型的拟合效果越好，故 B项错误．
2
对于 C，因为 X服从正态分布 N 3, ， P X 4 0.64，则
P 2 X 3 P 3 X 4 P X 4 0.5 0.14，故 C项错误；
对于 D，若样本数据 x ,x 21 2 , ,x10 的方差为 2，则数据 2x1 1,2x2 1, , 2x10 1的方差为 2 2 8，
答案第 4页，共 13页
故 D项正确.
11．BD
【分析】由条件可知，袋子中有 6黑 4白，又共取出 4个球，所以 X Y 4，可判断 B选
项；X 的取值为0，1, 2,3, 4，计算 P X i ,i 0，1,2,3,4的概率和期望值，又 P Y i P X 4 i ，
可计算E Y ，可判断 AC选项；Z的取值为 4,5，6,7,8，且 P Z i P X i 4 ，计算 E Z
可判断 D选项.
【详解】解：由条件可知，袋子中有 6黑 4白，又共取出 4个球，所以 X Y 4，故 B正
确；
X 的取值为0，1, 2,3, 4，
0 4 1 3
P X 0 C4C6 15 C C 80 8 4 ， P X 1C
4 6
4 ，
10 210 C10 210 21
C2C2 90 C3C1 C4 4 6 C
0
P X 2 4 ， P X 3 4 6
24
4 ， P X 4 4 6
1
C 210 C 210 C4
，可知 A错；
10 10 10 210
Y 的取值为 0，1,2,3, 4，且 P Y 0 P X 4 ， P Y 1 P X 3 ， P Y 2 P X 2 ，
P Y 3 P X 1 ， P Y 4 P X 0 ，
则E X 80 180 72 4 8 E Y 240 180 24 60 12 ， ，所以 E X E Y ，故 C错；
210 5 210 5
Z的取值为 4,5，6,7,8，且 P Z 4 P X 0 ， P Z 5 P X 1 ， P Z 6 P X 2 ，
P Z 7 P X 3 ， P Z 8 P X 4 ，
E Z 15 4 8 5 90 6 24 7 1 8 1176 28所以 ，故 D正确；
210 210 5
故选：BD.
12．AB
【分析】求出函数 f x 的导数，求出 a值，再探讨单调性判断 A；变形给定不等式，利用
同构思想等价转化，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值判断 B；利用选项 B中构
造的函数，探讨函数的值域，进而求出 a值或范围判断 CD作答.
x
【详解】函数 f x ae ln x 2 ln a 2的定义域为 ( 2, )，
对于 A， f (x) aex
1 1 1
，因为 f x 在 x 0处取得极值，则 f (0) a 0，解得 a ，
x 2 2 2
f (x) 1 ex 1 y 1 ex，因为函数 , y
1
在 ( 2, )上都单调递增，则 f (x)在
2 x 2 2 x 2
( 2, )上单调递增，
答案第 5页，共 13页
当 2 x 0时，f (x) 0，当 x 0时，f (x) 0，因此 x 0是函数 f (x)的极小值点，且 f (x)
在 (0, )上单调递增，A正确；
对于 B， x 2， f (x) 0 aex ln a ln(x 2) 2 ex ln a x ln a ln(x 2) (x 2)
ex ln a x ln a eln( x 2) ln(x 2)成立，令g(x) ex x ，显然函数 y ex , y x在 R上都是
增函数，
于是 g(x) ex x 在 R 上单调递增，即有 x 2， g(x ln a) g(ln(x 2))成立，
因此 x 2， x ln a ln(x 2) ln a ln(x 2) x成立，
令 h(x) ln(x 2) x, x 2 h (x)
1 1 x 1，求导得 ，
x 2 x 2
当 x ( 2, 1)时， h (x) 0，函数 h(x)单调递增，当 x ( 1, )时， h (x) 0，函数 h(x)单
调递减，
则当 x= 1时， h(x)max h( 1) 1，从而 ln a 1，解得 a e，
所以当 f (x) 0恒成立时， a [e,+ )，B正确；
对于 C，函数 f (x)仅有两个零点，等价于方程
aex ln a ln(x 2) 2 ex ln a x ln a eln( x 2) ln(x 2)有两个不等根，
由选项 B知，方程 g(x ln a) g(ln(x 2)) ln a ln(x 2) x有两个不等根，
由选项 B知，函数 h(x) ln(x 2) x, x 2的图象与直线 y ln a有两个公共点，
而函数 h(x)在 ( 2, 1)上单调递增，在 ( 1, )上单调递减， h(x)max h( 1) 1，
而当 x ( 2, 1]时，函数 y ln(x 2)的取值集合是 ( , 0]，函数 y x的取值集合是 [1,2)，
因此函数 y ln(x 2) x在 x ( 2, 1]的取值集合是 ( ,1]，
当 x 0时，令 (x) ln(x 2)
1
x， (x)
1 1
0，即函数 (x)在 (0, )上单调递减，
2 x 2 2
(x) (0) ln 2，即当 x 0时， ln(x
1 1
2) x ln 2，因此 ln(x 2) x x ln 2，
2 2
1
而函数 y x ln 2在 (0, )上单调递减，其取值集合是 ( , ln2)，无最小值，
2
因此函数 y ln(x 2) x在 [ 1, )上的取值集合是 ( ,1]，
从而函数 h(x)在 ( 2, 1]的值域是 ( ,1]，在 [ 1, )上的值域是 ( ,1]，
于是要 ln a ln(x 2) x有两个不等根，当且仅当 ln a 1，解得0 a e，C错误；
对于 D，函数 f (x)仅有 1个零点，由选项 C知，当且仅当 ln a 1，解得 a e，D错误.
答案第 6页，共 13页
故选：AB
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，
求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函
数，直接把问题转化为函数的最值问题.
13． x y 1 0
【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程．
【详解】 f x lnx 1，∴ f 1 1，因此切线的斜率为 f 1 1；
又 f 1 0，∴f(x)在 x 1处的切线方程为 y x 1，即 x y 1 0．
故答案为： x y 1 0．
14．480
【分析】按照分步计数原理，首先染 A区域，再染 B区域，C区域，最后染 D区域，计算
可得；
【详解】解：依题意，首先染 A区域有6种选择，再染 B区域有 5种选择，第三步染 C区
域有 4种选择，第四步染 D区域也有 4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有
6 5 4 4 480种方法
故答案为： 480
【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题.
15．0.12
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答.
2
【详解】因为随机变量 X服从正态分布 X～N 4, ，P 0.5 X 4 0.38，
所以 P X 7.5 P X 0.5 1 P 0.5 X 4 0.5 0.38 0.12 .
2
故答案为：0.12
1
16． /0.5
2
【分析】由 可能的取值，计算相应的概率，得到期望和方差，根据方差的算式，利用基本
不等式求最大值.
【详解】 的可能取值为0,1, 2，
P 0 m 8 m
m 8 m
，
8 8 64
答案第 7页，共 13页
P 1 8 m 8 m m m (8 m)
2 m 2 m 2 8m 32
，
8 8 8 8 64 32
P 2 8 m m
m 8 m
，
8 8 64
所以 的分布列为
0 1 2
m 8 m m2 8m 32 m 8 m
P
64 32 64
2
E m 8 m 0 1 m 8m 32 m 8 m 2 1 ，
64 32 64
2
D 2 m 8 m (0 1) (1 1)2 m 8m 32 m 8 m (2 1)2
64 32 64
m 8 m 1 m 8 m 2 1 ，当且仅当m 4时，等号成立，32 32 2 2
所以D 1的最大值为 2 ．
1
故答案为： 2
17．(1)a 1
5
(2)极小值 ，极大值3 .
3
【分析】（1）求导，根据条件求出 a；
（2）根据导函数的符号确定单调性，再根据单调性确定极值.
' 2
【详解】（1）易得 f x x 2ax ，
又函数 f x 在点 (1, f (1))处的切线与直线 x y 3 0 '垂直，∴ f 1 1 ，得 a 1；
2 1 f x 1 x3（ ）由（ ）得 x2 3 f '， x x2 2x x x 2 ，
3
令 f ' (x)= 0 有 x 0或 x 2，可得
x ( , 0) 0 0,2 2 2,
f ' x + 0 - 0 +
答案第 8页，共 13页
f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
\ f (x) f 0 3 f 2 5在 x 0 处取得极大值 ，在 x 2 处取得极小值 ；3
综上，极大值 f 0 3 5，极小值 f 2 .
3
18．(1)0.9545
(2)682
3
(3)分布列见解析，期望为
2
【分析】（1）利用题设中给出的参考数据可得所求的概率.
（2）可求 P(70 X 80)，从而可求相应区间上的人数.
（3）利用二项分布可求分布列，利用公式可求期望.
【详解】（1）因为 X～N (80,100)，故均值 为80，标准差为 100 10，
故P(60 X 100) P( 2 X 2 ) 0.9545 .
（2） P(70 X 80) P( X
1
) 0.6827 ,
2
1
故考试成绩在[70,80]的人数约为 0.6827 2000 682，
2
1
（3）因为 P X 80 ，结合题设条件可得Y B n,
1
，2 2
0 3 1 2
故P Y 0 C0 1 1 13 ， P Y 1 C1
1 1 3
2 2 8 3
，
2 2 8
2 1 3 0
P Y 2 C2 1 1 3 3 ， P Y 3 C3
1 1 1
2 2 8 3 2 2
，
8
故随机变量Y 的分布列如下：
Y 0 1 2 3
1 3 3 1
P
8 8 8 8
故E Y 3 1 3 .
2 2
19．(1) y 34x 5.6
(2)686
答案第 9页，共 13页
【分析】(1)计算出 x、b 和a 代入$y $bx $a即可.
(2)把 20代入已求出的$y $bx $a方程可得答案.
1
【详解】（1） x 2 4 6 8 10 6，
5
n
xi yi 5x y
b i 1 7648 5 6 209.6n 34．2
x2 5x 220 5 6
2
i
i 1
a y b x 209.6 34 6 5.6．
则 y关于 x的线性回归方程为 y 34x 5.6．
（2）当 x= 20时， y 34 20 5.6 685.6 686，
估计第 20天时育种池内有鱼苗 686尾.
1
20．(1)分布列答案见解析， E X
2
(2)方案二，理由见解析
1
【分析】（1）分析可知 X ~ B 2, 4
，利用二项分布可得出随机变量 X 的分布列，进而可求
得E X 的值；
（2）计算出两种方案下故障机器得到维修的概率，比较大小后可得出结论.
1
【详解】（1）解：由题意可知， X ~ B 2, ，
4
2
1 3 3
2
则P X 0 3 9 1 1 1 4
， P X 1 C2 ， P X 2 ，
16 4 4 8
4 16
所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：
X 0 1 2
9 3 1
P
16 8 16
所以，E X 2 1 1 .
4 2
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有
答案第 10页，共 13页
一
人负责的 2台机器同时发生故障”，考查反面处理这个问题.
1 33 721
其概率为 P1 1 1 P X 2 1 1 . 16 4096
对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为
3 6 1 3 5 2 4P 1 C1
6 5
C 2 1 3 1 3 6 3 15 3
4 347
2 6 6 ，
4 4 4 4 4 4096 2048
所以，P2 P1，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高.
21．(1)填表见解析；认为是否喜欢雪上运动与性别有关联
(2)① P ABC 98 ，P A P B A P C AB 98 ， P ABC P A P B A P C AB ；
285 285
②可以，答案见解析
1 2 2 2 200 80 50 40 30
2
【分析】（ ）由所给 列联表，求得 16.498 6.635，再依
120 80 110 90
据小概率值 0.01的 2独立性检验即可得解；
（2）①要求 P ABC ，首先确定事件 ABC表示：“2男生 1女生都喜欢雪上运动”和
“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求
得P A P B A P C AB 的值，进而可得 P ABC P A P B A P C AB ；
②根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立.
【详解】（1）
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40 120
女生 30 50 80
合计 110 90 200
假设H0 ：是否喜欢雪上运动与性别无关联．
200 80 50 40 30 2
根据表中数据，计算得到 2 16.498 6.635，
120 80 110 90
答案第 11页，共 13页
依据小概率值 0.01的 2独立性检验，我们推断H0 不成立．
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联．
（2）①由已知事件 ABC表示：“2男生 1女生都喜欢雪上运动”和
“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件
C2 C1 C1 C2C1 C38 3 5 8 4 8 98
因为 P ABC ，
C320 285
2 1 3 C2 C1 C1 C1 C3 C2 C1 C1C C C C2C1 C3P A P B A P C AB 12 8 12 8 4 3 5 8 8 3 5 8 4 8 98
C3 C2 1 3
2
20 12C8 C12 C8 C14 C13 C15
，
C38 285
所以 P ABC P A P B A P C AB ．
②由（ⅰ）得 P ABC 与 P A P B A P C AB 相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件 A，B，C，有 P ABC P A P B A P C AB ．
P AB P ABC
证明过程如下：P A P B A P C AB P A P ABCP A P AB ，得证．
22．(1)m e时， f x 恰有一个极值点；m e时， f x 恰有三个极值点；
(2) e, .
【分析】（1）求出函数 f x 的导数，按m e与m e分类讨论，并借助零点存在性定理推
理作答.
（2）利用（1）中信息，按m e与m e探讨利用导数函数 f x 的最小值作答.
【详解】（1）函数 f x 的定义域是 0, ，求导得
x
f (x) m(e x xe x) 1 1 1 x (x 1)(
e
m) ，
x e x
e x ex x 1
令u(x) m, x 0 ，求导得u x ， x (0,1),u (x) 0,u(x)递减，
x x2
x (1, ),u (x) 0,u(x)递增，u(x)min u(1) e m，
①当m e时，u(x) e m 0，x (0,1), f (x) 0, f (x)递减，x (1, ), f (x) 0, f (x)递增，
有 1个极小值点；
②当m e时， e m 0，
答案第 12页，共 13页
令 y ex x 1, x 0，则 y ex 1 0，函数 y ex x 1在 (0, )上递增， ex x 1 0，
即 ex x 1，
当 x
1 x 1 1
1时，u x m 1 m 0，此时 x
m 1 x x 1
0,1 ，使得u x1 0，
令 v(x) ex x2 , x 1，有 v (x) ex 2x，令 (x) e x 2x, x 1， (x) ex 2 0，
即有 v (x)在 (1, )上递增， v (x) v (1) e 2 0，函数 v(x)在 (1, )上递增，
v(x) v(1) e 1 0，则 ex x2，
x m e u x x
2
当 时， m x m 0，此时 x2 1, ，使得u x2 0，x
因此 x 0, x1 , f (x) 0, f x 递减， x x1,1 , f (x) 0, f x 递增，
x 1, x2 , f (x) 0, f x 递减， x x2 , , f (x) 0, f x 递增， f x 有 3个极值点，
所以当m e时， f x 恰有一个极值点；当m e时， f x 恰有三个极值点.
（2）由（1）知，①当 0 m e时， f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
f (x)min f 1
m
1 1 lnm 1 lnm ln x，即 ，令 g x , 0 x e，
e e m x
g x 1 ln x 2 0，函数 g(x)在 0,e
1
上单调递增， g(x)max g e ，则m e；x e
②当m e时， x1 0,1 ，使得u x1 0， x2 1, ，使得u x2 0，
x 0, x1 , f (x) 0, f x 递减， x x1,1 , f (x) 0, f x 递增，
x 1, x2 , f (x) 0, f x 递减， x x2 , , f (x) 0, f x 递增，
exi
其中 m 0 i 1,2 x i lnm ln xx i ，则 f (x)min min f x1 , f x2 1 lnm，i
mx
显然 f xi i x ln x 1 lnm符合要求，即有m e，e xi i i
综上提m e，
所以 m的所有可能值是 e, 上的实数.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最
值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
答案第 13页，共 13页济宁市重点中学
2022-2023 学年度第二学期期中模块测试
一、单选题（每题 5分，共 40 分）
1．在两个变量Y 与 X 的回归模型中，分别选择了 4个不同的模型，它们的样本相关系数 r如
表所示，其中线性相关性最强的模型是（ ）
模型 模型 1 模型 2 模型 3 模型 4
相关系数 r 0.48 0.15 0.96 0.30
A．模型 1 B．模型 2 C．模型 3 D．模型 4
2．从3幅不同的画中选出 2幅，送给甲、乙两人，则共有（ ）种不同的送法.
A．6 B．5 C．3 D． 2
3．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台
3
第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为 ；从第二次推送起，若前一次不购买
4
1 2
此商品，则此次购买的概率为 ；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ，那么
3 5
电商平台在第 2次推送时小李不购买此商品的概率为（ ）
37 3 1 9
A． B． C． D．
60 5 6 20
6
4 a ．若 x 的展开式中的常数项为－20，则 a=（ ）
x
A．2 B．－2 C．1 D．－1
5．若函数 f x kx sinx在区间 0, 上单调递增，则 k的取值范围是（ ）
A． , 2 B． , 1 C． 1, D． 2,
6 2 x．函数 f x x 2x e 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
1
7．甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是 0.4 ，乙获胜的概
率是0.6，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（ ）
A．0.144 B．0.352 C．0.432 D． 0.648
1
8．设 a ln 3,b 3 1,c sin1，则（ ）
2
A． a b c B． c b a C．b c a D． c a b
二、多选题(每题 5 分，共 20 分）
9．已知 1 2x 7 a0 a1x a x22 a 77x ，则（ ）
A a 7． 0 1 B． a2 2
C． a0 a1 a2 a7 1 D． a0 a1 a2 a7 3
7
10．下列命题中，假命题的是（ ）
A．若回归方程 y 0.45x 0.6，则变量 y与 x正相关
B．线性回归分析中相关指数 R2用来刻画回归的效果，若 R2值越小，则模型的拟合效果越
好
C．若随机变量 X服从正态分布 N 3, 2 ， P X 4 0.64，则 P 2 X 3 0.07
D．若样本数据x ，x …， x10的方差为 2，则数据 2x1 1，2x2 11 2 ，…，2x10 1的方差为 8
11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10个球，其中有 6个黑球，4个白球，现从中任
取 4个球，记随机变量 X 为取出白球的个数，随机变量Y 为取出黑球的个数，若取出一个
白球得 2分，取出一个黑球得 1分，随机变量 Z为取出 4个球的总得分，则下列结论中正确
的是（ ）
A． P X 1 1 28 B． X Y 4 C． E X E Y D． E Z 2 5
12．已知函数 f x aex ln x 2 ln a 2．以下说法正确的是（ ）
A．若 f x 在 x 0处取得极值，则函数在 0, 上单调递增
B．若 f x 0恒成立，则 a e,
C．若 f x 仅有两个零点，则 a e,
D．若 f x 仅有 1个零点，则 a 1
2
三、填空题(每题 5 分，共 20 分）
13．曲线 f x x ln x在 x 1处的切线的方程为______.
14．如图，用 6种不同颜色对图中 A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，
相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种．
15 2．随机变量 X服从正态分布 X～N 4, ，若 P 0.5 X 4 0.38，则
P X 7.5 ________．
16．已知 A,B两个不透明的盒中各有形状 大小都相同的红球 白球若干个，A盒中有
m(0 m 8)个红球与8 m个白球， B盒中有8 m个红球与m个白球，若从 A,B两盒中各
取 1个球， 表示所取的 2个球中红球的个数，则D 的最大值为__________．
四、解答题(17 题 10 分，其余每题 12 分）
17．已知函数 f x 1 x3 ax2 3在点 1, f 1 处的切线与直线 x y 3 0垂直.
3
(1)求 a的值
(2)求函数 f x 的极值.
18．在某次数学考试中，考生的成绩 X服从一个正态分布，即 X～N (80,100)．求：
(1)试求考试成绩位于区间[60,100]的概率．
(2)若这次考试共有 2000名学生，试估计考试成绩在[70，80]的人数（四舍五入）．
(3)若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过 2000人）随机抽取 3名学生进行座谈，设
选出的 3人中考试成绩在 80分以上的学生人数为Y ，求随机变量Y 的分布列与均值．
附：若 X～N ( ， 2)， P( X ) 0.6827， P( 2 X 2 ) 0.9545，
P( 3 X 3 ) 0.9973
3
19．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表：
第 x天 2 4 6 8 10
鱼苗尾数 y 72 140 212 284 340
(1)若 y与 x之间具有线性相关关系，求 y关于 x的线性回归方程；
(2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计第 20天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确
到整数）．
附：样本数据 x , y $ $ $i i i 1,2, ,n 的线性回归方程 y bx a的斜率和截距的最小二乘法估计
n
xi yi nx y
分别为b i 1n ，$a y $bx．2
x2i nx
i 1
5 5
参考数据： y 209.6， x2i 220， xi yi 7648．
i 1 i 1
20．某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都
1
是 ，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有
4
两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责 2台机器；方案二：由甲乙两人
共同维护6台机器．
(1)对于方案一，设 X 为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求 X 的分布列与数学期望
E X ；
(2)在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判
断，哪种方案能使工厂的生产效率更高
4
21．2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪
上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200名学生进行问卷调查，得到以下数
据：
喜欢雪上运动 不喜欢雪上运动 合计
男生 80 40
女生 30 50
合计
(1)完成 2 2列联表，依据小概率值 0.01的 2独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动
与性别有关联？
(2)①从随机抽取的这 200名学生中采用分层抽样的方法抽取 20人，再从这 20人中随机抽
取 3人．记事件 A “至少有 2名是男生”，事件 B “至少有 2名喜欢雪上运动的男生”，事
件C “至多有 1名喜欢雪上运动的女生”．试计算 P A P B A P C AB 和 P ABC 的值，
并比较它们的大小．
②①中 P ABC 与 P A P B A P C AB 的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出
结论，并说明理由．
n ad bc 2
参考公式及数据 2 ， n a b c d．
a b c d a c b d
0.10 0.05 0.010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
22．已知函数 f (x) mxe x x ln x(m R) .
(1)讨论函数 f x 的极值点个数；
(2) m 0 f x 若 ， 的最小值是1 lnm，求实数 m的取值范围。
5
