新疆兵团地州十二校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含解析）

新疆兵团地州十二校2022-2023学年高二下学期期中联考
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回。
4．本试卷主要考试内容：选择性必修第二册、选择性必修第三册7.3止。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ）
A．9 B．24 C．16 D．36
2．已知等差数列的前8项和为68，，则（ ）
A．300 B．298 C．295 D．296
3．从6名同学中选出正、副班长各1名，不同的选法种数为（ ）
A．11 B．30 C．6 D．36
4．被4除的余数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．美丽的新疆让不少旅游爱好者神往，某人计划去新疆旅游，在火焰山、喀纳斯村、卧龙湾、观鱼台、阿克库勒湖、那仁草原、天山天池、赛里木湖、那拉提、葡萄沟这10个景点中选择3个作为目的地．已知火焰山必选，则不同的选法种数为（ ）
A．90 B．72 C．45 D．36
6．已知随机事件A，B满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．若数列满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的3月12日是我国法定的植树节．某班6名男同学和3名女同学约定周末一起去植树，现需将9人分成三组，每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇个水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．540
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知离散型随机变量X的分布列为（ ）
X 0 1 2 4
P 0.5 0.3 m 0.15
则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点，若函数在区间上有两个不同的平均值点，则m的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
12．已知首项为的数列，其前n项和，数列满足，其前n项和为，则（ ）
A．数列是常数列 B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若随机变量X满足，则_________．
14．已知非常数函数的导函数为，若对恒成立，则的一个解析式可以是__________．
15．等比数列的前n项和为，且成等差数列．若，则________．
16．《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的精神．某排球赛采用五局三胜制（先胜三局者获胜），前4局每局25分，第5局15分．在每局的每一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于得分方．经过统计，甲、乙两支球队在前4局比赛中，甲每局获胜的概率为，各局相互独立且互不影响，在第5局每一个回合中，输赢的情祝如下：当甲队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，当乙队拥有发球权时，甲队该回合获胜的概率为，那么在第5局开始之前甲队不输的概率为_______；若两支球队比拼到第5局时，甲队拥有发球权，则甲队在前3个回合中至少获得2分的概率为________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最值．
18．（12分）
已知公差不为0的等差数列的首项，设其前n项和为，且成等比数列．
（1）求的通项公式及；
（2）记，证明：．
19．（12分）
已知的展开式中所有二项式系数之和为64．
（1）求的展开式所有项的系数和；
（2）求的展开式中所有有理项。
20．（12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
21．（12分）
某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”．参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰．“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得中第三名、第四名的概率均为；甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为．
（1）求甲能进入“挑战答题”活动的概率．
（2）“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分．若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点．①求实数a的取值范围；②证明：．
新疆兵团地州十二校2022-2023学年高二下学期期中联考
数学试卷参考答案
1．A 根据分类计数原理可知，不同的选法种数为．
2．C 设公差为d，则所以故．
3．B 先选出正班长，有6种不同的选法，再选出副班长，有5种不同的选法，所以不同的选法种数为．
4．B 因为，且2024可以被4整除，所以余数为1．
5．D 因为火焰山必选，所以从另外9个景点中选2个的选法有种，
6．A 因为，所以．
7．B 因为，所以．因为，所以…，所以是周期为4的数列，故．
8．C 由题意知每个小组由2名男同学和1名女同学组成，先将6名男同学平均分成三组，有种不同的分法，再将3名女同学分到三个小组内．因为男同学甲与女同学乙不在同一个小组，所以有种不同的分法．因为各组女同学只负责浇水，以各组男同学负责的工作种数为，所以所有不同的安排方法种数为．
9．BD 由，得，故A不正确；因为，所以B正确；因为，所以C不正确；因为，所以D正确．
10．BCD 令，得，故A不正确；
令，得，所以B正确；
令，得，
所以，故C正确；
令，得，所以D正确．
11．AC 因为函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点，所以关于x的方程有两个不同的根，
即关于x的方程有两个不同的根．令，其中，
则．当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，，
所以，即．
12．ACD 在数列中，当时，，即，整理得，即，显然数列是常数列．因为，所以，所以．
令，则，所以，所以．
13．1.2 ．
14．（答案不唯一）
15．80 设公比为q，因为成等差数列，所以，即，所以．因为，所以．
16． 因为在第5局开始之前甲队不输的情况包括了甲胜，甲胜，甲平，所以甲队不输的概率．
在前3个回合中，甲队至少获得2分对应的胜负情况为胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，共4种情况，对应的概率分别记为，则，，，所以甲队在前3个回合中至少获得2分的概率．
17．解：（1）因为，所以．
因为，
所以所求切线方程为，即．
（2），令，得或．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．
因为，所以，
故在上的最小值为，最大值为36．
18．（1）解：因为成等比数列，所以，即．
设的公差为d，因为，所以，即．
因为，所以，
所以通项公式．
（2）证明：因为，
所以
因为，，所以．
19．解：（1）因为所有二项式系数之和是64，所以，所以．
令，得，所以的展开式所有项的系数和为1．
（2）的展开式的通项为．
当时，；当时，；
当时，；当时，．
所以的展开式中所有有理项为．
20．解：（1）当时，由，得，
当时，，
所以，所以，
所以是首项为4，公比为2的等比数列，故．
（2）由（1）知，
所以，所以，
令，则，
所以，
所以．
因为，
所以．
21．解：（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了或或或．
；
；
；
．
所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，
故甲能进入“挑战答题”活动的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为
；
．
所以X的分布列如下表所示：
X 2 3 4 5
P
所以．
22．解：．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）①由（1）知，当时，在上单调递减，不可能有两个零点，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即实数a的取值范围是．
②曲线在和处的切线分别是，
联立两条切线方程得，所以．
因为所以．
要证，只需证，即证，只要证．
令，
则，所以在上单调递减，所以，
所以，所以．