7.1.1数系的扩充和复数的概念 教学设计（表格式）

课题 数系的扩充和复数的概念
教材 新人教A版高中教科书数学必修第二册第七章第一节
课型 概念新授课 课时安排 第一课时
一、教材分析
简述教材内容：《数系的扩充和复数的概念》是新人教A版高中数学必修第二册第七章第一节的内容。本节包括数系的扩充和复数的概念。教材从解一元二次方程入手，展开对负数开平方的探究，从而引出数系的扩充过程和方法，进一步总结复数的概念及其分类、性质。 从知识结构分析：本节内容是在前有数集的基础上对数系进行扩充引出复数集，完成了高中阶段最后一次数系的扩充；另外复数的概念又为后面学习复数的几何意义、复数代数形式的四则运算奠定基础。因此，本节具有承前启后的作用，也是本章的重点内容。 从方法论的角度分析：借助前数集的扩充经验，在实数集的基础上通过类比、化归、从特殊到一般的思想方法扩充得到复数集；在探究复数的分类和性质方面涉及有分类讨论、类比推理等思想方法，从而发展学生的直观想象能力、数学抽象能力、逻辑推理能力和数学运算能力。 从课标要求的角度分析：课标对本节课的要求是“通过方程的解认识复数；注重对复数的代数表示的理解；适当融入数学文化，让学生体会数系过程中理性思维的作用”，因此，本节课将从社会发展和解方程（主）两个角度入手，重点探究实数集的扩充过程及复数的概念形成，同时融入与复数有关的数学史，让学生感受数系发展和形成的历史背景。
二、学情分析
1.认知基础 （1）学生的知识储备：已学习自然数集、整数集、有理数集和实数集及其性质，能在特定数集上熟练解决一元一次方程；已有一定的从特殊到一般的思想方法的经验，有利于自主形成复数的概念。 （2）学生的学习特点：高二阶段的学生求知欲强，对历史、社会充满好奇心，具有一定观察、分析、解决问题的能力，抽象思维能力处于迅速发展阶段，逻辑思维和推理能力初步形成。
2.认知困难 （1）对负数开平方带有不确定性，缺乏对负数开平方的条件的清晰认识； （2）对复数引入的实际意义、实际应用的理解。
三、教学目标
1.知识与技能 （1）了解数系的扩充过程和引入复数的必要性； （2）理解复数的概念及代数表示； （3）掌握复数的分类及复数相等的条件。
2.过程与方法 （1）经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充，感悟引入虚数的必要性及合理性； （2）引导运用化归、从一般到特殊的思想方法引入虚数单位i，构建复数的概念，培养学生的逻辑思维和抽象能力； （3）通过观察、分析获得复数的分类和相等性质，体会知识获得的过程和与旧知的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观 （1）体会数系扩充过程中数系结构与数的变化，感受人类理性思维的作用与现实世界的联系，形成正确的数学观； （2）感受引入虚数的引入过程，培养学生的创新意识和创新能力； （3）拓展数学视野，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。
四、教学重点、难点
重点 （1）数系扩充的过程和方法； （2）对i的规定和理解复数的概念。
难点 虚数单位i的引入和复数概念的理解。
五、教学用具
黑板，多媒体，PPT，小蜜蜂
六、教学流程
七、教学过程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
(一) 温 故 知 新 铺 设 台 阶 从社会和数学两个角度带领学生回顾数系的扩充过程。 【问题1】截至目前，我们都学习过哪些数集？这些数集之间有什么关系？ 预设回答：自然数集、整数集、有理数集、实数集。后面的数集包含前面的数集，即后一个数集是前一个数集的扩充。 【追问】为什么要扩充数系？ 预设回答：满足社会发展需要和解决数学内部矛盾。 【数学史】 从满足社会发展需要的角度，以图文结合的形式简单回顾数系扩充的过程。 【解方程】 从解决数学内部矛盾的角度，通过在特定数集中求解方程回顾数系的扩充过程。 在自然数集有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时自然数集扩充为何数集？ 在整数集中有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时整数集扩充为何数集？ 在有理数集中有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时有理数集扩充为何数集？ 【总结】数系扩充的原则 增加新元素； 加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留； 新数系能解决旧数系中的矛盾。 教师引导学生复习旧知，通过多媒体带领学生从数学史和解方程两个角度回忆数系的扩充过程，最后总结数系的扩充原则。 学生回忆、思考并回答。 从社会发展的角度回顾数系的扩充过程，一方面让学生感悟数学与生活息息相关，另一方面以图文的形式进行有利于调动学生学习的积极性；从方程的角度分析是导入的重点，在回顾复习数集的扩充过程中引导学生发现每一次扩充的“机遇”和共同原则，帮助学生做好进行数系的进一步扩充的预备性反应，充分发挥定势的积极作用。
(二) 探 究 学 习 引 出 概 念 探究一 引入虚数单位 【问题2】在实数集中有解吗？为什么无实数解？ 预设回答：在实数集中没有解。因为在实数集中对-1开平方没有意义。 【追问】怎样才能使方程有解？类比前面数系的扩充，你能想到什么 预设回答：引入新数扩充实数集，使负数开方在新数集中有意义。 【问题3】引入什么新数能解决所有负数开平方问题？（提示：负数不能开平方的根本原因是什么？） 预设回答：-1不能开平方。引入一个新数，使它的平方等于-1问题就解决了。 教师：同学们真聪明！现在让我们一起来看看以前的数学家事怎么定义这个数的。 【问题4】由此我们可以解得： 探究二引出复数的概念 【问题5】数系扩充保留运算律，那么在实数集中引入新数i后，新的数集中包含哪些数 以实数2和-1为例，请大家写出它们和i进行加法和乘法运算的结果。 预设回答： 【追问】借鉴有理数的代数形式形成的经验，你能从以上例子归纳出它们的代数形式吗？ 【探究2小结】 【探究2巩固】 说出下列复数的实部和虚部： （1） (2) (3) (4) (5)π (6)0 分析步骤： 是否为标准形式？ 实部是？虚部是？（注意符号） 小结：化标准 得“虚实” 探究三 理解复数的概念 【问题6】小组讨论： 观察以下复数的结构，你能将它们分成几类？ （1） (2) (3) (4) (5)π (6)0 预设回答：分为三类：不含i、含i和只含i，即实数、虚数和纯虚数。 【追问】观察它们的实部和虚部的特点，实部a和虚部b满足什么条件时为实数？什么情况下为虚数？纯虚数呢？ 【探究3小结1】 【问题7】用韦恩图表示出复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系。 【探究3巩固1】 说出下列复数中的虚数和纯虚数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【应用】分别求实数x的值，使得复数 （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 分析步骤： 题目已知什么信息？ 是否为复数的标准代数形式？ 实部和虚部分别需要满足什么条件？ 解： (1)当，即时，复数是实数； (2)当，即时，复数是虚数； (3)当且，即时，复数是纯虚数. 小结：化标准 定条件 得结论 【问题7】已知复数,什么情况下二者相等？（提示：将类比为未知数） 分析步骤： 将视为未知数，此时变成什么？ 预设回答：，变成两个一元一次多 项式。 两个多项式相等满足什么条件？ 预设回答：两个多项式相等对应项系数相等 【探究3小结2】 【探究3巩固2】 分别求满足下列关系的实数与的值. ; ; . 分析步骤： 等号两边的复数是否为标准式？ 两个复数相等满足什么条件？ 解： (1)根据复数相等的定义，得解得， . (2)根据复数相等的定义，得解得， . (3)根据复数相等的定义，得解得， . 小结：化标准 虚实对应相等. 教师提问，针对学生的回答进行适当修正，引导得出正确答案。 教师提问，用引导性问题启发学生，师生通过举例子、化归的思想方法共同探究。 教师讲授相关数学史。 教师带领学生运用新知解决前面提出的问题。 教师提问，引导学生进行相应的运算。 教师通过ppt演示简单回顾旧知，以此启发学生进行学习迁移。 教师通过ppt演示呈现复数的代数形式的形成过程。 教师引导学生共同总结出复数的概念及相关描述方法。 先分析后答题，引导学生条理清晰地思考作答。 教师引导学生根据结构对复数进行分类，之后教师明确呈现类名，顺势让学生分析归属为各类时满足的条件。 教师引导学生尝试绘制韦恩图表示各数集间的关系。 先分析后答题，引导学生条理清晰地思考作答，并规范解题步骤。 教师提问，借助提示引导学生进行积极的联想，通过两个启发式问题引导学生得出正确结论，最后总结。 先分析后答题，引导学生条理清晰地思考作答，并规范解题步骤，适当指名学生回答。 学生思考，被指名学生回答。 学生思考后集体回答。 学生在教师的引导下思考、探究。 学生认真听讲。 学生集体回答。 学生在教师的引导下进行计算探究。 学生观看ppt内容回忆旧知，同时思考解决教师提出的问题。 学生带着自己思考的成果比对结果，认真听讲。 学生认真听讲，思考并集体回答。 学生思考，在老师的指导下开始抢答。 学生在教师的引导下对各数进行观察、分类、理解、分析，自主获得复数的分类的知识。 学生思考并尝试作图。 学生认真读题、思考，写出正确的解题过程。 学生认真读题、思考，在教师引导下回忆复习旧知，进行类比推理得出结论。 学生认真读题、思考，应用新学知识解答，写出正确的解题过程，被指名学生回答。 在复习了前面数系扩充的基础上继续引出 “负数不能开方”的方程问题，启发学生利用前有经验对数系进行进一步扩充；通过举例子、观察、化归的方法，经历将复数开平方问题转化为对-1开平方的过程，感受从源头上解决数学问题的一般方法，同时培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力。 根据前面总结的数系扩充的原则，引导学生从新数集保留运算律的方面进行探究；结合学生的学业发展水平，通过列举具体例子和回忆相关经验，使学生易懂能懂，明确问题，点拨思路，启发学生通过观察、分析、归纳出复数的代数形式。在此过程中锻炼学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的迁移意识，感受迁移学习的过程及其带来的成果，提高学习兴趣。 充分利用“最近发展区”理论，引导学生利用现有的水平对问题进行自主观察分析，在教师的适当引导下主动建构认知结构，获得新知；同时，运用分类讨论的思想对复数代数形式 深 入 认 识，对实部和虚部的取值 进 行 讨 论，也有利培养学生符号学习的习惯，渗透逻辑推理、分类讨论的思想；通过让学生尝试绘制 结 构图，突破本节 课 的 重 点。 探究两个复数相等的性质时，由于学生对新学的虚数单位i还不够熟悉，直接推理存在一定难度。借助类比多项式的方法推得结论符合学生的认知特点，能促使其快速捕获正确结论，对知识点形成更加深刻的印象和理解。
(四)归 纳 小 结 优 化 认 知 课堂小结 【问题8】本节课学习了哪些新的知识？实数集是如何扩充到复数集的？ 【追问】本节课学习了复数的哪些内容？ 形如()的数称为复数. 其中称为虚数单位，满足. 称为的实部，称为的虚部； 复数的分类：实数，虚数，纯虚数； 复数的相等关系. 教师引导学生尝试脱离课本和多媒体进行本节课的内容复习，之后ppt呈现主要知识点。 学生回忆并集体回答，整体巩固本节课内容。 引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，并建立知识之间的联系；运用理解复习与试图脱离资料复习的方法有利于加深记忆，抵抗遗忘。
(五) 课 后 作 业 深 化 提 高 课后练习 【基础练习】教科书7.1.1课后练习1、2、3。 【课后阅读】查找阅读历史上发现负数开方有意义的人物及事件。 教师布置作业。 学生在课本记下作业。 通过课后练习加强对知识点的巩固；让学生查复数由来的史实，丰富学生的文化认知。
八、板书设计