二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

课件52张PPT。26.1 二次函数图象和性质(5)1． 的顶点坐标是________，对称轴是__________ 2．怎样把 的图象移动，便可得到
的图象？ （h，k） 复习提问直线x＝h 3． 的顶点坐标是 ，对称轴是 ． (－2，－5) 直线 x＝－2 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状 我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为
，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？ 新课 的图象怎样平移就得到那么一般地，函数的图象呢？ 解： 顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3答案： ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1． 的形式，求出顶点坐标和对称轴。练习1 用配方法把化为 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下：化为的形式。2．用公式法把抛物线把变形为所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。 的形式，求出对称轴和顶点坐标．例2 用公式法把化为解：在中，，∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x＝2练习2 用公式法把化成3．图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。 的图像，利用函数图像回答：例3 画出(1)x取什么值时，y＝0？
(2)x取什么值时，y＞0？
(3)x取什么值时，y＜0？
(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是的图象。 解：列表22100－6304－6…………（2,2）·····x=2（0,－6）（1,0）（3,0）（4,－6）由图像知：当x＝1或x＝3时，
y＝0；(2)当1＜x＜3时，
y＞0；(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；(4)当x＝2时，
y有最大值2。xy练习3 画出的图像。x=1y=x2－2x＋2 （3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。（1）顶点坐标（2）对称轴是直线如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性： 与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线与坐标轴的交点①抛物线②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程(7)抛物线的根的判别式判定：
① △＞0?有两个交点?抛物线与x轴相交；② △＝0?有一个交点?抛物线与x轴相切；③ △＜0?没有交点?抛物线与x轴相离。例4 已知抛物线①k取何值时，抛物线经过原点；
②k取何值时，抛物线顶点在y轴上；
③k取何值时，抛物线顶点在x轴上；
④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以 ，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即，整理得，解得：④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。所以当x＝2时， 。解法一（配方法）：例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？因为
所以当x＝2时， 。因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 总结：求二次函数最值，有两个方法．
(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：又例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一： ， ∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。 解法二：，∴抛物线开口向下，∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。例7 已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若①a＞0?开口向上；5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0?开口向下。5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线③若a，b异号?对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0?对称轴为y轴，②若a，b同号?对称轴在y轴左侧，5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0?抛物线经过原点；②c＞0?与y轴交于正半轴； ③c＜0?与y轴交于负半轴。例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．
(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：
(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且a＜0，所以，故。判断b2－4ac的符号 ，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号