3.3二项式定理 教学设计

《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1.能发现二项展开式的规律，并会组合数模型证明二项式定理。
2.能把二项式正确展开，掌握二项式展开式的特点。
3.能运用通项求解特定项，会区分某一项的二项式系数和系数。
二、教学重点
1.发现并证明二项式定理。
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
三、教学难点
发现二项展开式系数与组合数的关系。
四、教学过程
（一）自学质疑，发现问题
上课之前教师留一节课给学生，让学生预习课本知识，并填写《二项式定理预习学案》，在学案中提出预习中存在的疑惑。
设计意图：根据教学目标，应该为学生创造积极探究的平台，让学生从被动学习转化成主动学习。
（二）汇集问题，小组交流
1.学生在学案中填提出没有解决的问题，4人为一组，由组长组织讨论，交流看法。
2.组长负责收集小组讨论后仍然没有解决的问题，并汇总给老师。
3.老师批改学生的预习学案，找到预习中学生存在的问题，并把每个小组上交的问题再汇总，并整合。
设计意图：小组讨论给了学生探索的更大空间，使每个学生都能参与二项式定理的形成过程，符合“以学生为主体”的新课程理念，充分发挥学生的主动性。本节课教师运用“问题—解决”的课堂教学模式，采用启发式的教学方法，所以教师要提前整合问题，从而上课能更有针对性的引导学生解决问题。
（三）讨论问题，互动探究
教学活动设计：教师在黑板上把学生预习中存在的问题投影：
问题1.二项式定理中系数是如何得到的？
问题2.二项展开式中的通项怎么用？
问题3.学习了二项式定理可以解决哪些问题？
设计意图：通过问题激发学生的求知欲，明白本节课的学习任务，提高学生的听课效率。
教学活动设计：渗透数学文化“牛顿发现二项式定理”，引入本节课课题。
问题1：图片中的人物是谁？他跟我们今天学习的这节课有什么关系？
设计意图：教师在课堂上引入数学家牛顿的数学故事，让学生体会追求真理的探究精神，进一步感受数学文化的深厚底蕴。
问题2：如果让你给出一个方案，你怎么把展开呢？
预设回答：先写几个具体的例子，找规律。
设计意图：引入本节课课题，引导学生从特殊情况入手，探究n=1，2,3,4时二项展开式的规律，再推广到一般。
教学活动设计：复习回顾，寻找规律。
初中我们学习过:
问题1：你能不能用同样的方法展开 同样的方法是什么方法？
设计意图：从学生已有的知识出发，既可以加深对学过知识的理解，又为学习新知识做铺垫。
学生在预习学案上已经展开过或，让学生意识到二项展开式是多项式乘法的特殊形式。
问题2：你能展开吗？呢？
设计意图：让学生意识到这类问题一项一项展开运算量过大,激发学生去找规律的积极性和探索欲望，培养学生的学习兴趣。
（四）解决问题，有效论证
问题1：如果不是一项一项展开，你打算用什么方法展开呢？以为例。
预设回答：上面几个式子找规律。
问题2：你能找到哪些规律？
设计意图：本问题主要培养学生的观察、分析能力，引导学生找到展开式中有哪些项。学生积极思考，回答问题，教师适当补充总结。学生有能力把项数的特点，a，b次数的变化、各项次数和等规律都能通过自学思考得到，让学生意识到按照规律可以找到“项”，但是“系数”没有解决。
教学活动设计：学生抢答，教师及时给予鼓励和肯定，激发学习兴趣。
问题3：你现在能把展开了吗？
预设回答：不能，展开后系数不知道是多少。
设计意图：由浅入深地引导学生大胆猜想，帮助学生建构和完善自己的认知结构，强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。
问题4：系数怎么解决呢？
教学活动设计：（1）小组讨论，给学生讨论时间，展示思维过程。教师适当点拨：展开式中每一项是如何得来的？各项系数是怎么来的？
（2）教师和学生共同分析，攻克难点。
设计意图：引导学生从组合数的角度去发现系数的规律，充分体现了以学生为主体，教师为主导的教学理念。
教学活动设计：教师在课件上呈现给学生由系数排成的“三角形”，渗透数学文化“杨辉三角”。
设计意图：以上呈现给学生由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用。介绍这项发明比欧洲帕斯卡三角早将近500年，激发学生的民族自豪感和爱国热情。此处呈现“三角形”模型，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是主动建构的而不是被动死记的心理过程。
问题5：现在你能把展开了吗？
设计意图：以上环节通过“问题链”的形式，启发学生的思维，层层递进，目的是为了让学生了解知识生成的过程，培养学生大胆探索的精神和创新精神，体会发现知识的成就感。
问题6：你是如何记忆这个公式的？
设计意图：现在学生字母运算能力普遍偏弱，二项式定理展开式本身比较复杂，所以引导学生发现定理的特点，以便熟练的应用定理。
教学活动设计：学生抢答，教师适当补充总结。
问题7：通过预习，在二项式定理中你学习了哪些新概念？
预设回答：二项展开式，二项式系数，通项。
教学活动设计：在学习过程中正确区分某一项的二项式系数和系数。
重点学习通项的书写形式，以及体会通项的作用。
教学活动设计：记忆公式和相关概念，及时消化。
（五）矫正反馈，迁移应用
例1：展开 。
教学活动设计：学生黑板板演，注意学生书写的规范性。
问题：第三项的二项式系数是多少？系数是多少？
是不是每个展开式中某一项的二项式系数都等于这一项的系数？
设计意图：（1）检查公式记忆的效果，并且让学生意识到寻找二项展开式的特点的必要性。
（2）设置问题，为下面区分二项式系数和系数做铺垫。
例2:展开
问题1：在右边的展开式中,第三项的二项式系数是多少
问题2：第三项的系数是多少
问题3：第三项是什么
设计意图：让学生正确区分某一项及某一项的二项式系数和系数。
例3已知,求含的项，常数项，第3项。
预设回答：(1)根据二项式定理展开直观寻找。
（2）利用通项来找这些项。
教学活动设计：学生各抒己见，教师点拨优缺点。在做题过程中，教师做好课堂巡视，对个别学生及时指导。
设计意图：（1）让学生意识到学习通项的重要性。有了通项之后,我们就会很方便地求展开式中含某个因式的项或第几项这种特定项的问题.
（2）引导学生运用解方程的数学思想。
（六）反思过程，自我提升
问题1：这节课我们学习了什么
问题2：这节课的学习培养了哪些数学核心素养？
设计意图：（1）学生反思本小节内容，对知识进行回顾总结，培养学生爱总结善于总结的习惯和能力，建立较为完善的认知结构。
（2）本节课采用探究式教学方式，鼓励发现、探究，注重学生主体地位的体现。在这个过程中培养了学生的学科核心素养：其中从特殊到一般的推理过程体现了数学抽象的核心素养，用组合数模型证明二项式定理以及用二项式定理模型解决问题体现了数学建模的核心素养。
(七)分层作业
让学生进一步巩固所学知识，有助于保持学生学习的热情和信心，教师也可以及时把握学生的掌握情况。