10.1.3古典概型 教案

第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
教学设计
一、教学目标
1. 理解古典概型及其概率计算公式；
2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
二、教学重难点
1. 教学重点
古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率.
2. 教学难点
运用古典概型计算概率.
三、教学过程
（一）新课导入
探究：观察以下两个实验：
（1）掷一枚质地均匀的硬币的试验.
（2）掷一枚质地均匀的骰子的试验.
它们的共同特征有哪些？
（分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师引导总结）
（二）探索新知
试验（1）中共有2个样本点，试验（2）中共有6个样本点.在这两个试验中，每个样本点发生的可能性都是分别相等的，依次是，.
两个试验具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
问题：思考下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
（1）一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”.
对于问题（1），班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量.显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.因此，事件A发生的可能性大小为.
对于问题（2），我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间.共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为，所以事件B发生的可能性大小为.
一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率.其中，和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
例1 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率.
归纳：求解古典概型问题的一般思路：
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
例2 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.
解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.
（1）根据相应的抽样方法可知：
有放回简单随机抽样的样本空间
.
不放回简单随机抽样的样本空间
.
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
（2）设事件“抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，
.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此.
对于不放回简单随机抽样，
.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
因此.
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此.
（三）课堂练习
1.下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C.向一个圆面内随机投一点
D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，……，命中0环
答案：B
解析：对于A，发芽与不发芽概率不一定相同；对于B，摸到白球与黑球的概率相同，均为；对于C，样本点有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，……，命中0环的概率不一定相等.
2.某天放学后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学.若他们随机依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序为（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女），（男，男，女，女），（男，女，男，女），（男，女，女，男），共6种，所以第2位走出的是男同学的概率.故选A.
3.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另外2只兔子为a，b，从这5只兔子中随机取出3只，则样本空间
，共包含10个样本点，其中“恰有2只测量过该指标”包含的样本点共有6个，分别为，，，，，，因此所求的概率为，故选B.
4.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则事件“出现向上的点数之和为4”包含的样本点个数为__________.
答案：3
解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，事件“出现向上的点数之和为4”包含的样本点有，所以事件“出现向上的点数之和为4”包含的样本点个数为3.
5.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有的样本点；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.
答案：（1）由已知可得，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，
采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.
（2）①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有样本点为
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共21种.
②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有样本点为，，，，，共5种.
所以，事件M发生的概率为
小结作业
小结：
古典概型的特征.
解古典概型问题的一般思路.
作业：
四、板书设计
10.1.3 古典概型
1. 古典概型的特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
2. 求解古典概型问题的一般思路：
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
（3）计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.