广东省广州市2023届高三下学期5月冲刺训练（二）数学试题（含答案）

2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 试室号 座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数（ ）
A. B.
C. D.
2.已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其上，下底面都为正方形，边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，.若，且，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.9
8.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.乙同学体温的极差为
B.甲同学体温的中位数与平均数相等
C.乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小
D.甲同学体温的第60百分位数为
10.已知函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为在上是单调函数，则下列说法不正确的是（ ）
A.的最大值为
B.在上的图像与直线没有交点
C.在上没有对称轴
D.在上有一个零点
11.函数，则下列结论正确的是（ ）
A.若函数在上为减函数，则
B.若函数的对称中心为，则
C.当时，若有三个根，且，则
D.当时，若过点可作曲线的三条切线，则
12.已知正四面体的棱长为分别为正四面体棱的中点，为面内任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A.平面截正四面体的外接球所得截面的面积为
B.若存在，使得，则线段长度的最小值为
C.过点作平面平面，若平面平面，平面平面，则所成角的正弦值为
D.平面与平面夹角的余弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知且的展开式中存在常数项，写出的一个值为__________.
14.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________.
15.已知点的坐标为，点是圆上任意两个不同的点，且满足，设为线段的中点，则的最大值为__________.
16.在中随机选取三个数，能构成公差不小于5的等差数列的概率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设为数列的前项和，已知.
（1）求；
（2）求证：.
18.（12分）
如图，在四棱锥中，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（12分）
某款自营生活平台以及提供配送服务的生活类软件主要提供的产品有水产海鲜，水果，蔬菜，食品，日常用品等.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机访问了100人，访问结果如下表所示.
使用人数 未使用人数
女性顾客 40 20
男性顾客 20 20
（1）从被访问的100人中随机抽取2名，求所抽取的都是女性顾客且使用该软件的概率；
（2）用随机抽样的方法从该地区抽取10名市民，这10名市民中使用该软件的人数记为，问为何值时，的值最大？
20.（12分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）若的面积为，求的最大值.
21.（12分）
已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点.
（1）若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；
（2）试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）证明：当时，对任意，总有.
2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（二）
试题参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C D B C A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.BCD 10.BCD 11.ACD 12.ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.5或者 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
（1）解：由题意知，，
又，得.
当时，由，得，得.
则数列是首项为，公差为1的等差数列.
所以.
又，则.
当时，，
又满足上式，
所以.
（2）证明：由于，
又，
所以.
18.（12分）
（1）证明：取中点，连结.
因为点为的中点，所以且，
又因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形.
所以.
又平面平面，所以平面.
（2）在平面中，过作，在平面中，过作.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
所以，所以两两互相垂直.
以为原点，向量的方向分别为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则即
取，得.
设直线与平面所成角为.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.（12分）
（1）解：设事件为“从被访问的100人中随机抽取2名，所抽取的都是女性顾客且使用该软件”，从被访问的100人中随机抽取2名，共有个基本事件，事件共有个基本事件，
则.
（2）解：由题意，服从二项分布，且使用该软件的概率为，
则.
所以.
设.
若，则；
若，则.
所以时，最大.
20.（12分）
（1）证明：由，得，
由于，则.
故.
所以，即.
由正弦定理得.
（2）解：由（1）得，
则
当且仅当时，等号成立.
由于，则.
所以.
所以的最大值为.
另法：由（1）得，
则
当且仅当时，等号成立.
由于，则.
由，得.
所以.
所以的最大值为.
21.（12分）
（1）解：由，设，直线，
代入，整理得：，
由解得：
由韦达定理：，
由，
同理，.
为定值.
另法：由，
同理，.
由于，不妨设，
则.
由，
得.
所以为定值.
（2）由题意：圆的方程为
即
由对称性可知：若存在定点，则必在轴上
令，有
由（1）可知，
代入方程后有：，
即，
令即.故圆过定点.
22.（12分）
（1）解：当时，的定义域是，则.
当时，；当时，，
故的单调递减区间为上，单调递增区间为.
（2）证法1：当时，，
由于在上单调递增，
则时，有.
要证，只要证，
只要证，
只要证，
设，
在上单调递增
令，下面证明，
设，
则
在上单调递增.
，则.
.
，（*）式成立，命题得证.
证法2：当时，，
由于在上单调递增，
则时，有.
要证，只要证，
只要证，
只要证，
可证，
证明如下：设，
则，，
在上单调递增.
，则，
要证成立，只要证，
只要证.
显然，命题得证.