广东省广州市2023届高三下学期5月冲刺训练（三）数学试题（含答案）

2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列关于某个复数的说法中，①②③④有且只有一个说法是错误的，则错误的是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
3.已知，则是的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.“总把新桃换旧符”（王安石） “灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代入们通过贴“福”字 贴春联 挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字 春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.设为多面体的一个顶点，定义多面体在处的离散曲率为其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面遍及多面体的所有以为公共点的面.如图是正四面体 正八面体 正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
8.对于任意都有，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.与平行
10.在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（ ）
A. B.2 C. D.
11.已知双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线左，右两支分别交于两点，为线段的中点，且，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的离心率为 B.
C. D.
12.已知函数若关于的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（ ）
A.-3 B.-1 C.0 D.2
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，且，则的展开式中的常数项为__________.
14.已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为__________.
15.将一个半径为的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆组成，它们两两成角.则水晶球的球心到支架的距离是__________.
16.某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则__________（答案精确到1）.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知递增等差数列满足，数列满足.
（1）求的前项和；
（2）若，求数列的通项公式.
18.（12分）
在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若边，边的中点为，求中线长的取值范围.
19.（12分）
如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿折起得三棱锥，如图乙.
（1）求证：平面平面；
（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
随着商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕用户的争夺越来越激烈，手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.
（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲 乙均在其中.
①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；
②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于.
21.（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围.
22.（12分）
如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（三）
参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A B D B B
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.ABC 10.ACD 11.BD 12.BC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.-8 14. 15. 16.9920
四 解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
（1）解：由题意，设等差数列公差为，则
，
解得（舍去），或，
.
，
，即.
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
则.
（2）解法1：由（1），可知
解法2：①
②
②-①得：.
18.（12分）
（1）解：由余弦定理得，
即，
由正弦定理得
，
，即，
.
（2）解：由余弦定理得：，则.
由正弦定理得
所以，
因为是锐角三角形，所以，即，
则.
中线长的取值范围是.
19.（12分）
（1）证明：如图，取的中点为，连接.
.
，
，同理.又，
.
平面，
平面.
又平面，
平面平面.
（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，
，
三棱锥和的体积比为，
，
.设平面的法向量为，
则，
令，得.
设直线与平面所成角为，
则.
直线与平面所成角的正弦值为.
20.（12分）
（1）解：①甲在第一次中奖的概率为.
乙在第二次中奖的概率为.
②设甲参加抽奖活动的次数为，则，
，
1 2 3
.
（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为.
设丙参加抽奖活动的次数为，“丙中奖”为事件，则，
令，则丙在第次中奖的概率
在第次中奖的概率，
即
在丙中奖的条件下，在第次中奖的概率为，
则丙参加活动次数的均值为
设，
则，
，
所以.
21.（12分）
（1）解：由题知的定义域为，
.
当时，在上恒成立，故在上是增函数；
当时，令得，
在上有，在上有，
在上是减函数，在上是增函数.
（2）解：当时，，即.
令则.
①若，由①知，当时，在上是增函数
故有.
即，得，故有.
函数在区间上单调递增，式成立.
②若，令
则，当且仅当时等号成立.
函数在区间上单调递增.
.
，使得，则当时，，即.
函数在区间上单调递减.
，即式不恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
22.（12分）
（1）解：据题意，，
从而可得，
由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以所求的椭圆的方程为.
（2）解：①设切点坐标为，直线上的点的坐标，
则切线方程分别为，
又两切线均过点，即，
从而点的坐标都适合方程，
而两点之间确定唯一的一条直线，故直线的方程是，
显然对任意实数，点都适合这个方程，故直线恒过定点.
②将直线的方程，代入椭圆方程，得，
即，
不妨设，
同理.
所以
故存在实数，使得.