秘密★启用前
顶兴学校2023年春季学期高二年级期中考试
数学
本试卷分第【卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第【卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4
页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答策标号.在试题卷上作答无效
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1泉列1，子子的个通项公式可以足
A.*1
R.2+3
C*1
D.
n+3
2n+1
2n
4n
2已知函数)=2e,则m1+4)).
-2Ax
A.-e
R-分
c号
D.e
3.公共汽车上有9位乘客，沿途6个车站，乘客下车的可能方式有()种.
A.AS
B.C9
C.96
D.69
4.等差数列{a,}的前n项和为Sn,an≠0，若S,=a5,a1=1,则数列{a.}的公差为
A.-3
B.3
C.2
D.-1
5.已知函数f(x)=x(2022-2nx),若f'(x)=2022,则x等于
A.1
B.e2
C.e
D.
e
6.圆01：(x+2)2+y2=4与圆02：(x-2)2+(y1)2=9的位置关系为
A.内切
B.相交
C.外切
7.(x-y+3)的展开式中，xy的系数为
A.80
B.60
C.-80
D.-60
数学GDX·第1页（共4页）
8.北京2022年冬奥会吉样物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文
化与奥林匹克精神的完美结合.为了宜传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名
志愿者将两个吉样物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由
两名志愿者安装、若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为
A.24
B.20
C.18
D.12
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.如图1，北京天坛圆丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石
板，从内到外各圈的石板数依次为a1,a2,a,…,ag,设数列|a|为等差数列，它的前n项和为S。,且
a2=18,a4+a6=90,则
Aa1=9
B.{an}的公差为9
C.a6=3a3
D.S。=405
10.下列说法正确的是
A.过点(1,3)，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条
B.过点P(2,1)作圆x2+y2=5的切线，切线方程为2x+y-5=0
C.经过点P(1,1),倾斜角为0的直线方程为y-1=tan0(x-1)
D.直线2x-y-1=0的一个方向向量为(1,2)
1,已知双曲线C:年-。=1，则下列各选项正确的是
A.双曲线C的焦点坐标为(0，±2)
B双曲线C的渐近线方程为)=±
3
C.双曲线C的离心率为0
2
D.双曲线C的虚轴长为4
12设蓝数品则下列说法正确的是
A.f(x)的定义域是(0,1)U(1,+o)
B.当x∈(0,1)时，f代x)的图象位于x轴下方
C.f八x)存在单调递增区间
D.f代x)有且仪有两个极值点
数学GDX·第2页（共4页）顶兴学校 2023 年春季学期高二年级期中考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D C D B D B
【解析】
1 3 1 5 2 3 4 5 n 1．数列1， ， ， ，可以转化为 ， ， ， ，则其一个通项公式可以为 ，故选 A．
4 2 16 2 4 8 16 2n
2 f (x) 2ex f (1) 2e lim f (1 x) f (1) 1 lim f (1 x) f (1)．因为 ，所以 ，又由
x 0 2 x 2 x 0 x
1
f (1) e ，故选 A．
2
3．公共汽车上有 9 位乘客，沿途 6 个车站，每位乘客下车的方法有 6 种，乘客下车的可能方
式有 69 种，故选 D．
4 9．因为 S9 (a1 a9 ) 9a5 ，所以9a5 a
2
2 5
，解得 a5 9 或 a5 0（舍去），所以等差数列{an}
d a5 a1 9 1的公差为 2，故选 C．
5 1 5 1
5．∵ f (x) x(2022 2ln x)，∴ f (x) 2022 2ln x x 2 2020 2ln x，∵ f (x0 ) 2022， x
∴2020 2ln x0 2022
1
，解得 x0 ，故选 D． e
6．圆心距为 | O O | ( 2 2)21 2 (0 1)
2 17，r1 r2 5，| r1 r2 | 1，因为1 17 5 ，所以
两圆位置关系为相交，故选 B．
7． (x y 3)5 的展开式中含 x3 的项为C2 x3 (3 y)2 10x3 (9 6y y25 ) 90x
3 60x3 y 10x3 y2 ，
所以 x3y 的系数为 60，故选 D．
数学 GDX 参考答案·第 1 页（共 7 页）
8．小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有A22 2种情况，根据题设条件，剩余 4 人分两组，
有两种情况：一组 1 人，一组 3 人，有C34 4种情况；或每组各 2 人，有C
2
4 6 种情况，
然后分配到参与两个吉祥物的安装，有 (4 6) 2 20 ，故选 B．
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11 12
答案 ABD ABD BC ABC
【解析】
9．设等差数列{an}的公差为 d，∵a2 18，a4 a6 90，∴a1 d 18，2a1 8d 90 ，解得
a1 9，d 9，∴an 9 9(n 1) 9n，a6 9 6 54，3a3 3 9 3 81，∴a6 3a3，
S 9 89 9 9 9 405，综上可得：只有 ABD 正确，故选 ABD． 2
x y
10．A 选项，当直线过原点时，直线方程为 y 3x ；当直线不过原点时，设直线方程为 1，
a a
1 3
代入点 (1，3) 得 1，a 4，直线方程为 x y 4，所以过点 (1，3) ，在 x 轴上的截距
a a
与在 y 轴上的截距相等的直线有两条，A 选项正确；B 选项，由于 22 12 5，所以 P(2，1)
1
在圆 x2 y2 =5 上，圆心为O(0，0) ， k 2 2OP ，过点 P(2，1) 作圆 x y =5 的切线的斜率2
为 2 ，所以切线方程为 y 1 2(x 2)
π
，即 2x y 5 0，B 选项正确；C 选项，当
2
时， tan 不存在，所以 C 选项错误；D 选项，直线 2x y 1 0的斜率为 2，一个方向向
量为 (1，2)，所以 D 选项正确，故选 ABD.
2
11 y x
2
．双曲线 C： 1 ，则 a 2 ，
4 6 b 6
，所以 c a2 b2 10 ，则焦点坐标为
(0， 10) A c 10，故 错误；离心率 e ，故 C 正确；虚轴长为 2b 2 6 ，故 D 错误；
a 2
a 6
渐近线方程为 y x ，即 y x ，故 B 正确，故选 BC．
b 3
数学 GDX 参考答案·第 2 页（共 7 页）
x ln x 0，
12．函数 f (x) e ，则 解得 x 0 且 x 1，则函数的定义域为 (0，1) (1， ) ，故ln x x 0，
A 正确；当 x (0，1) 时， f (x) 0 ，故 f (x) 的图象位于 x 轴下方，故 B 正确；
ex ln x 1
f (x) x 2 ，令 g(x) ln x
1
，∴g (x) 1 1 2 0恒成立，∴g(x) 在 (0， )上ln x x x x
g(1) 1 g(2) ln 2 1单 调 递 增 ， ∵ ， 0，∴ 存 在 x0 (1，2) 使 得 g(x0 ) 0，∴ 当2
x (0，1)，(1，x0 ) 时， f (x) 0 ，当 x (x0， )时， f (x) 0，∴ f (x)在 (0，1)，(1，x0 )上
单调递减，在 (x0， ) 单调递增，故 C 正确；当 x x0 时，函数 f (x) 取得极小值，无极
大值，故有一个极值点，故 D 错误，故选 ABC．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
答案 4 3 288 11；b n 1n 3 2 1
【解析】
2
13 x2 y 1 2 2 1．将椭圆方程化为标准形式为 1 ，所以长轴长为 ，短轴长为 ，由题意得m
m
2 2 1 2 ，解得m 4．
m
14．函数 f (x) aex b ln x 1的导数为 f (x) b aex ，可得图象在点 (1，f (1)) 处的切线斜率
x
为 2e 1，f (1) ae 1 2e 1，所以 ae b 2e 1，可得 a 2，b 1，所以 a b 3．
15．将 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字自左向右排成一行，若数字 1，6 都不能排在两端，则
不同的排法共有A2A44 4 288种．
2a ，n为偶数，
1 6 ．因为 a1 1，a
n
n 1 所以 a2 a1 1 2，a3 2a2 4，a4 a3 1 5，
an 1，n为奇数，
a5 2a4 10，a6 a5 1 11，因此b3 a6 11；由于 b1 a2 2，又 bn 1 a2(n 1) a2n 1 1
数学 GDX 参考答案·第 3 页（共 7 页）
a b 1 2 2n 1 2bn 1，即 bn 1 1 2(bn 1)，所以 n 1 2 ，因此数列{bn 1} 是以 3 为bn 1
首项，2 为公比的等比数列，则 bn 1 3 2
n 1 ，即bn 3 2
n 1 1．
四、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）从 8 个元素中选出 4 个全排列，有A48 1680 种排法．……………………（4 分）
（Ⅱ）先安排女生共有A55 种排法，男生在 5 个女生隔成的六个空中安排共有A
3
6 种排法，
故 N A5 35 A6 14400（种）．…………………………………………………………（10 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）令 x 1，则展开式中各项系数之和为 (3 1)n 4n ，………………………（1 分）
各二项式系数和为 2n，则 4n 2n 240 ，解得 n 4；………………………………（3 分）
r
T Cr x4 r 3
3r
所以 r r
4
r 1 4 C4 3 x 2 ．…………………………………………………（5 分）
x
3r
令 4 1，解得 r 2，………………………………………………………………（6 分）
2
所以展开式中含 x 的系数为C2 324 54．………………………………………………（7 分）
3r
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令 4 Z，且 r 0，1，2，3，4，
2
解得 r 0，2，4，………………………………………………………………………（9 分）
则展开式中含 x 的有理项分别为：
C04 3
0 x4 x4 ，
C24 3
2 x 54x ，
C44 3
4 x 2 81x 2 ．………………………………………………………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） f (x) x2 2x 3，
令 f (x) 0，得 x1 3，x2 1，………………………………………………………（1 分）
当 x ( ， 1) 时， f (x) 0，故 f (x) 在 ( ， 1)上为增函数；
当 x ( 1，3) 时， f (x) 0 ，故 f (x) 在 ( 1，3) 上为减函数；
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当 x (3， )时 f (x) 0，故 f (x) 在 (3， ) 上为增函数．
………………………………………………………………………………………（4 分）
所以单调递增区间是 ( ， 1)、(3， ) ，单调递减区间是 ( 1，3) ．
………………………………………………………………………………………（6 分）
17
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x) 在 x 1处取得极大值 f ( 1) ，
3
………………………………………………………………………………………（7 分）
f (x) 在 x 3处取得极小值 f (3) 5 ．…………………………………………………（8 分）
f ( 2) 10 ，f (4) 8 ．………………………………………………………………（10 分）
3 3
x [ 2，4]时， f (x) 17的最大值与最小值分别为 、 5．……………………………（12 分）
3
20．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：如图，取 PD 的中点 Q，连接 AQ，NQ，
∵N，Q 分别为 PC，PD 的中点，
∴NQ∥CD 1，且 NQ CD，………………（1 分）
2
∵底面 ABCD 是正方形，且 M 为 AB 的中点，
∴AM∥CD，AM 1 CD ，
2
∴AM∥NQ ，且 AM NQ，……………………………………………………………（3 分）
∴四边形 AMNQ 是平行四边形，∴MN∥AQ ，………………………………………（4 分）
又 AQ 平面 PAD，MN 平面 PAD，∴MN∥平面 PAD．…………………………（5 分）
（Ⅱ）解：以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 M(1，0，0)，N(1，1，1)，D(0，2，0)，A(0，0，0)，B(2，0，0)，
………………………………………………………………………………………（6 分）
MN (0，1，1)，MD ( 1，2，0)，………………………………………………………（7 分）
设平面 MND 的一个法向量 n (x，y，z) ，
n MN 0， y z 0，
则 即 令 y 1，则 x 2，z 1，
n MD 0， x 2y 0，
数学 GDX 参考答案·第 5 页（共 7 页）
平面 MND 的一个法向量 n (2，1， 1)，
………………………………………………………………………………………（9 分）
易证 AB⊥平面 PAD，
∴AB (2，0，0) 是平面 PAD 的一个法向量，
………………………………………………………………………………………（10 分）
设平面 MND 与平面 PAD 的夹角为 ，
则 cos | co〈s AB，n〉| AB n 4 6 ．
| AB | | n | 4 1 1 2 3
………………………………………………………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设由正数组成的等比数列{an}的公比为 q 0，
∵a3 8，a5 32 ，
∴a 2 41q 8，a1q 32 ，……………………………………………………………………（2 分）
解得 a1 q 2，…………………………………………………………………………（4 分）
∴a nn 2 ．…………………………………………………………………………………（6 分）
b
（Ⅱ）∵数列 n
是公差为 1 的等差数列，其中ba 1
2，
n
bn 2∴ n (n 1) n， 2 2
∴bn n 2
n ，……………………………………………………………………………（8 分）
∴数列{b }的前 n 项和T 2 2 22 3 23 n 2nn n ，
∴2T 22 2 23 (n 1) 2n n 2n 1n ，…………………………………………（10 分）
2(2n 1)
∴ Tn 2 2
2 23 2n n 2n 1 n 2n 1，
2 1
化为：T (n 1) 2n 1n 2．……………………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 12 分）
x2 y2
（Ⅰ）解：由题意得 a 3b ，故椭圆C 为 2 1， 9b b2
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1 2 2
1 8
又点 ， 在C 上，所以
2 2
3 9b2
2 1，得9b b 1
， a 9，
x2
故椭圆C 的方程即为 y2 1. ………………………………………（4 分）
9
（Ⅱ）证明：由已知直线 l 过Q(1，0) ，设 l 的方程为 x my 1，
x2
y2 1，
联立两个方程得 9 消去 x得： (m2 9)y2 2my 8 0，
x my 1，
4m2 32(m2 9) 0，得m R .
设M (x1，y1)
2m 8
， N (x2，y2 )，则 y1 y2 ， y y （*）， m2 9 1 2 m2 9
k k y y yT (3，0) 1 2 1
y2 y1y2
因为 ，故 TM TN x 21 3 x2 3 my1 2 my2 2 m y1 y2 2m(y
，
1 y2 ) 4
82 8 2
将（*
m 9
）代入上式，可得：
m2 8 2m 2m 4 36 9
，
m2 9 m2 9
∴直线TM 与TN 2的斜率之积为定值 ． ………………………………………（12 分）
9
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