2023年广东省广州市中考数学模拟试卷（三）（含答案）

2023年广州市中考数学模拟试卷（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图是一个几何体水箱的表面展开图，根据图中标注的尺寸，则该几何体的表面积为（　　）
A．28π B．32π C．33π D．35π
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2，且x≠0 C．x＞﹣2 D．x≤﹣2，且x≠0
4．（3分）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．＝﹣3 C．＝2 D．＝+
6．（3分）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0、2、4、6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上．则数轴上表示99的点与正方形上表示数字（　　）的点重合．
A．0 B．2 C．4 D．6
7．（3分）某校开展“文明小卫士”活动，从学生会的2名男生和1名女生中随机选取两名进行督查，恰好选中两名男生的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图， ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）
A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨
10．（3分）下列图中所有小正方形都是全等的．图1是一张由4个小正方形组成的“凸”形纸片，图2是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“凸”形纸片放置在图2中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图3中的2种不同放置方法．图4是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“凸”形纸片放置在图4中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（　　）
A．160 B．128 C．80 D．48
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）中华民族的文化博大精深、源远流长，中华汉字寓意深广．为弘扬中华优秀传统文化，太原市某校开展了一次书法大赛活动，经过6轮激烈的角逐，小明和小红两人进入决赛，两人的成绩如图所示，他们成绩的方差分别为s小明2与s小红2，则s小明2　 　s小红2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．（3分）因式分解：（m﹣1）2+2m﹣2＝　 　．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝8cm，BE＝2cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则AB＝　 　cm．
14．（3分）方程＝2的解是x＝　 　．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，1），D（1，1）．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AA1、弧A1A2、弧A2A3、弧A3A4…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A2015坐标是　 　．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是　 　．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解下列不等式：
（1）5x﹣2＞3（x﹣2）．
（2）＜1﹣．
18．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
（1）求证：△APF是等腰三角形；
（2）试在图中找出一对全等的三角形，并给予证明．
19．（6分）某校为提高学生的安全意识，组织全校1200名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（分数为正整数，满分100分）进行统计，并制作不完全统计图表：
分数段 频数 频率
50≤x＜60 20 0.1
60≤x＜70 40 0.2
70≤x＜80 70 0.35
80≤x＜90 m 0.3
90≤x＜100 10 n
请根据所给数据解答下列问题：
（1）这次共抽取了 　 　名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m＝　 　，n＝　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（不含70分）视为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，请估计全校安全意识不强的学生人数．
20．（6分）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？
21．（8分）不解方程判别方程根的情况：
（1）16y2+9＝24y；
（2）5（x2+1）﹣7x＝0；
（3）x2﹣（m+3）x+m＝0（m为常数）．
22．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点E、F分别是AB、AC的中点，过点C作CD∥AB交EF的延长线于点D，联结AD．
（1）求∠B的正弦值；
（2）求线段AD的长．
23．（10分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，点A、B在同一水平地面上，如果测得A、B两点间的距离是15+15米．
求无人机与地面的垂直高度是多少米？
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），直线l：x＝m（m＞3）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线l上找点P（点P在第一象限），使得以点P，D，B为顶点的三角形与以点A，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．
参考答案
1．B
2．D
3．B
4．D
5．A
6．C
7．A
8．D
9．B
10．C
11． ＜．
12． （m﹣1）（m+1）．
13． 6．
14． ﹣5．
15． （1，4031）．
16． ．
17． （1）5x﹣2＞3（x﹣2），
去括号得，5x﹣2＞3x﹣6，
移项得，5x﹣3x＞﹣6+2，
合并同类项得，2x＞﹣4，
系数化为1得，x＞﹣2；
（2）＜1﹣，
去分母得，2x＜6﹣（x﹣3），
去括号得，2x＜6﹣x+3，
移项得，2x+x＜6+3，
合并同类项得，3x＜9，
系数化为1得，x＜3．
18． （1）证明：如图．
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
（2）解：△BEF≌△CDH．理由如下：
∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
，
∴△BEF≌△CDH（AAS）．
19． （1）调查人数为：20÷0.1＝200（名），
m＝200×0.3＝60（名），
n＝10÷200＝0.05，
故答案为：200，60，0.05；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）1200×＝360（人），
答：全校安全意识不强的学生大约有360人．
20． （1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，100）代入得k1＝5，
∴y＝5x；
当x≥20时，设y＝，把（20，100）代入得k2＝2000，
∴y＝；
（2）当0＜x≤20时，又5x≥80得，x≥16，即16≤x≤20，有5天；
当x＞20时，由≥80，
解得：x≤25，即20＜x≤25，有5天，
共有5+5＝10（天），
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
21． （1）16y2﹣24y+9＝0，
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根；
（2）5x2﹣7x+5＝0
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×5×5＝﹣51＜0，
∴方程没有实数根；
（3）∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4m＝（m+1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
22． （1）如图，过A点作AM⊥BC于M，交EF于N．
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴BM＝MC＝BC＝2，
∴AM＝＝＝4，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE＝AB＝AC＝AF＝3，EF∥BC，EF＝BC＝2，
∵AM⊥BC，
∴AM⊥EF，即AN⊥EF，
∴EN＝NF＝EF＝1，
∴AN2＝AE2﹣EN2＝32﹣12＝8．
∵CD∥AB，EF∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC＝4，
∴DN＝DE﹣EN＝4﹣1＝3，
∴AD＝＝＝．
故线段AD的长为．
23． 如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D．设CD＝x，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
在Rt△BCD中，∠B＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得x＝15，
∴CD＝15（米）．
答：无人机距地面高度CD为15米．
24． （1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），
得：a﹣b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，c＝﹣2，
解得：，，c＝﹣2，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴PD＝2m﹣6，
∴P（m，2m﹣6），
综上，P（m，2m﹣6）或；
（3）如图，过点Q作QM⊥l于点M
∵△BPQ为等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，PQ＝BP，
又∵∠QMP＝∠BDP＝90°，
∴△BDP≌△PMQ（AAS），
∴QM＝PD，PM＝BD，
①当P为时，，，
∴，
代入，
解得：m1＝4，m2＝3（舍去）
∴
②当P为（m，2m﹣6）时，QM＝PD＝2m﹣6，DM＝PM+PD＝3m﹣9，
∴Q（6﹣m，3m﹣9），
代入，
解得：，m2＝3（舍去）
∴，
此时的点Q不在第一象限内，故舍去，
综上，可得．
25． （1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，
∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°，
∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，
∴∠HFG+∠AKF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，
，
∴△ABE≌△FHG（ASA），
∴AE＝FG；
（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
由勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，
∵（）2+（2）2＝52，
∴CF2+CD2＝DF2，
∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；
（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴＝＝＝．