宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理工类）参考答案
1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．C
11．D 12．D
13．-189 14．4； 15． 16．
17．解：（1）要得60分，其余四道题必须全做对，所以得60分的概率为：
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，故求概率为；
同样可求得得分为45分的概率为：；
于是ξ的分布列为
ξ 40 45 50 55 60
P
故
该考生所得分数的数学期望为 ……
18．（1）因为，
所以.所以.
因为，所以//.因为平面.
因为平面，所以BC//平面；
（2）过作的垂线交于点.
因为平面，所以，.
如图建立空间直角坐标系.
则，，，.因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，则即
令，则，,于是.设直线与平面所成的角为，
所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．解：（1），.
又曲线与在处相切，（2），即
又，即，，.
（2）在内是减函数，
在内恒成立，
，∴只需在内恒成立，，.
，当且仅当时取等号，，即.故实数m的取值范围是.
20．解：（1）由题意知，直线的斜率存在，可设直线，、，
联立直线与抛物线的方程得，整理得，所以.
由，得，则.
因为点在抛物线上，所以，所以.因此，点的纵坐标为定值；
（2）连接、，因为，所以.
由直线与直线的倾斜角互补，可得直线，
又，故.令，则，
与抛物线的方程联立得，整理得，
由题意得，得，
设、，则，，
则，
又点到直线的距离，
，
当且仅当，即时，的面积最大.
由，得，故，得抛物线的标准方程为.
21．解：（1）依题意（），
①当时，，在上单调递增，无极值；
②当时，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递增；
所以，无极小值.
综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.
（2）原不等式可化为 ，
记（），只需.
可得.
（1）当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去.
（2）当时，，
①当时，因为，所以，所以，
所以在上单调递减.故当时，，符合题意.
②当时，记（），
所以，在上单调递减.
又，，所以存在唯一，使得.
当时，，从而，即在上单调递增，
所以当时，，不符合要求，舍去.综上可得，.
22．解：（1）由曲线C的参数方程得．
∴曲线C的普通方程为．直线 l 的极坐标方程化简为．
由极坐标与直角坐标的互化关系，，得直线 l 的直角坐标方程为．
（2）设直线 l 的参数方程为（m为参数）．将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，
整理可得．
．设，是方程的两个实数根．
则，．∴．
23．（1）由得或或，
解得或，∴解集为．
(2)，∴的最小值，则，又，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8.宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则
A． B． C． D．
2．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为
A．15,5,2 B．15,15,15 C．10,5,30 D．15，10，20
3．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积为
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的值为
B．0
C．1 D．2
十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别
为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对.每对生肖相辅相成，构
成一种完美人格.现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份.甲、乙、丙
三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所
有的吉祥物都喜欢，如果甲、乙、丙三位同字选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则
不同的选法种数共有
A．12种 B．16种 C．20种 D．24种
6．设直角三角形的直角边长，均为区间内的随机数，则斜边长小于的概率为
A． B． C． D．
7．“”是“直线 与圆相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为
A． B． C． D．
9．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知点是双曲线上的动点，点为圆上的动点，且，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为
A． B． C． D．
12．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）
14．下面是两个变量的一组数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 9 16 25 36 49 64
这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．
15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别，，p，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为，则p＝______________.
16．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，试求：
（1）该考生得分为60分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，.
（1）求证：BC//平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知函数，
（1）若曲线与在处相切，求的表达式；
（2）若在内是减函数，求实数m的取值范围.
20．（12分）如图，已知椭圆与抛物线，过椭圆下顶点作直线与抛物线交于、两点，且满足，过点作于直线倾斜角互补的直线交椭圆于、两点.
（1）证明：点的纵坐标为定值，并求出该定值；
（2）当的面积最大时，求抛物线的标准方程.
21．（12分）已知函数
（1）讨论的极值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)求的解集；
(2)记函数的最小值为M，若，且，求的最小值．
