宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（文史类）参考答案
1．C 2．D 3．D 4．C 5．A 6．A 7．C 8．B 9．A 10．C 11．D 12．D
13．若或，则 14．4 15． 16．
17．解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为．
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
总计 60 40 100
（2）因为，
所以有的把握认为喜欢游泳与性别有关．
18．解：（1）由已知，解得．
（2）函数的定义域为．
当时, ，的单调递增区间为；
当时．
当变化时，的变化情况如下：
由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是．
19．（1）证明：取中点，连接和.
∵为中点，∴且.
∵且，∴且.
∴四边形为平行四边形，则.
∵面，面，∴面.
（2）连接，取中点，连接.
则等边中，，.
∵面面，面面，
面，∴面，∴.
∵，面，面，，
∴面，，.
∴
因直角梯形中，连接，则，，
∴∴，，，
∴∴
设到面的距离为，则，解得.即到面的距离为.
20．解：（1）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，
于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，
由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，
，
=
=（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣
要使为定值，则，解得m=1或m=（舍）
当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，
△OAB面积S=∴当t=0，△OAB面积的最大值为.
21．解：（1）依题意（），
①当时，，在上单调递增，无极值；
②当时，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递增；
所以，无极小值.
综上可知，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.
（2）原不等式可化为 ，
记（），只需.可得.
（1）当时，，，所以，在上单调递增，所以当时，，不合题意，舍去.
（2）当时，，
①当时，因为，所以，所以，所以在上单调递减.故当时，，符合题意.
②当时，记（），
所以，在上单调递减.又，，
所以存在唯一，使得.当时，，
从而，即在上单调递增，
所以当时，，不符合要求，舍去. 综上可得，.
22．解：（1）由曲线C的参数方程得．
∴曲线C的普通方程为．直线 l 的极坐标方程化简为．
由极坐标与直角坐标的互化关系，，得直线 l 的直角坐标方程为．
（2）设直线 l 的参数方程为（m为参数）．将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，
整理可得．
．设，是方程的两个实数根．
则，．∴．
23．（1）由得或或，
解得或，∴解集为．
(2)，∴的最小值，则，又，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8.宜宾市叙州区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则
A． B． C． D．
2．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为
A．15,5,2 B．15,15,15 C．10,5,30 D．15，10，20
3．是边长为1的正三角形，那么的斜二测平面直观图的面积为
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的值为
B．0
C．1 D．2
5．设直角三角形的直角边长，均为区间内的随机
数，则斜边长小于的概率为
A． B． C． D．
6．“”是“直线 与圆相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数的图象大致是
A．B．C．D．.
8．已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为
A． B． C． D．
9．某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．已知点是双曲线上的动点，点为圆上的动点，且，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为
A． B． C． D．
12．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“若，则”的逆否命题是________.
14．下面是两个变量的一组数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 9 16 25 36 49 64
这两个变量之间的线性回归方程为，变量中缺失的数据是___________．
15．函数的最小值为________.
16．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜欢游泳是否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 总计
男生 10
女生 20
总计
已知这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请补充完整上述列联表；
(2)判断是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附：，.
0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
3.481 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（12分）已知函数
（1）若函数的图象在处的切线斜率为l，求实数的值；
（2）求函数的单调区间.
19．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离
20．（12分）已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于两点，点，且为定值．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值．
21．（12分）已知函数
（1）讨论的极值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)已知点P的直角坐标为，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
(1)求的解集；
(2)记函数的最小值为M，若，且，求的最小值．
