广东省广州市2023届高三下学期5月模拟冲刺（一）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省广州市2023届高三下学期5月模拟冲刺（一）数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-05-18 07:20:07 | ||
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文档简介
2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 试室号 座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，其中为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数（不为素数）能唯一地写成（其中是素数，是正整数，，将上式称为自然数的标准分解式，且的标准分解式中有个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ）
A.6 B.13 C.19 D.60
5.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项.
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
7.已知圆台的上 下底面半径分别为，高为，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为，则（ ）
A.当时，的最大值为
B.当时，的最大值为
C.当时，的最大值为
D.当时，的最大值为
8.设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了了解中国人均（单位：万元）和总和生育率以及女性平均受教育年限（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，对应的决定系数分别为，则（ ）
A.人均GDP和女性平均受教育年限正相关
B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C.
D.未来三年总和生育率将继续降低
10.在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.
C.点到平面的距离为
D.平面截正方体所得的截面是五边形
11.已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线关于轴对称
B.曲线上任意一点到原点的距离都不超过
C.曲线及其内部共包含了19个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
D.点到点和点的距离之和最小为
12.已知为等差数列，记，则（ ）
A.为常数 B.为常数
C.随着的增大而增大 D.随着的增大而增大
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，则两点的距离为__________.
15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________.
16.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
若函数，其中.
（1）若，求；
（2）若在区间上没有零点，求的取值范围.
18.（12分）
记数列的前项和为，__________.给出下列两个条件：
条件①：数列和数列均为等比数列；
条件②：.
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）记正项数列的前项和为，求.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
19.（12分）
已知四棱锥的底面是棱长为2的菱形，，若，且与平面所成的角为为的中点，点在线段上，且平面.
（1）求；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
甲 乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.
（i）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ii）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率.
21.（12分）
已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点.
（1）若直线的斜率为2，求直线的斜率；
（2）作于点，判断点在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.
22.（12分）
设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.
2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
试题参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C A C D C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AB 10.ABD 11.BC 12.ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
（1）解：因为
当，所以
所以
（2）解：由（1）知，
当时，，
要使在上无零点，则.
，
当时，；当时，，
当时，舍去.综上：的取值范围为.
18.（12分）
（1）解：选条件①：
数列为等比数列，
，
即，
，且设等比数列的公比为，
，解得或（舍），
，
选条件②：
①，
，
即②，
由①②两式相减得：，
即，
令中得出也符合上式，
故数列为首项，公比的等比数列，
则.
（2）解：由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即，
则，
③
④，
由③④两式相减得：，
即，
数列为正项数列，则，
则数列的奇数项 偶数项分别都成公差为4的等差数列，
即
数列前项中的全部偶数项之和为：，
则
19.（12分）
（1）证明：设的交点为，连接，已知为的重心，所以，
因为平面，平面与平面的交线为，所以
所以.
（2）解：因为，所以为等边三角形，
所以，又因为，
所以，所以，
取的中点，连接，所以，
所以平面，
过做，交直线于点，所以，因为，所以，
又因为，所以与重合
以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以
因为，所以，
设平面，
，令，
所以，
设的一法向量，则，
令，则，
所以
所以求平面与平面夹角的余弦值为.
20.（12分）
（1）解：由题意得，，则，其中，则的分布列为：
0 1 2 3
则.（2）设事件为“乙在第次挑战中成功”，其中.
（i）设事件为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则，
则
即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4.
（ii）因为
，
且
，
所以.
即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62.
21.（12分）
（1）设，切线，则
由得
由得
设切线的斜率分别为
则
又直线的斜率为2，则直线的斜率为
（2）当切线的斜率都存在时，设，
切线方程为
并由（1）得
由点在椭圆上，得代入得，即
切线的方程为
由于点在切线上，则
所以直线方程为，
由得直线方程为
联立直线方程，
解得
由得点轨迹方程为，且焦点恰为
当切线的斜率有一个不存在时，如斜率不存在，则，
直线方程为方程为，可解得，
点也在椭圆上，
若，同理可得.
因此，点的轨迹为椭圆，
所以，，
当且仅当点在椭圆的短轴端点时取到等号.
22.（12分）
（1）解：由
讨论：
①时，由，令，解得，
所以时，时，；，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）根据题意结合（1）可知时，存在两个极值点，
由为的零点，则
，则，故，
讨论：
若，由（1）可知，则；
若，则，故，化简得，即，
故
即，
故，当且仅当时取等号，
综上，恒成立.
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名 考生号 试室号 座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，其中为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数（不为素数）能唯一地写成（其中是素数，是正整数，，将上式称为自然数的标准分解式，且的标准分解式中有个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ）
A.6 B.13 C.19 D.60
5.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.斐波那契数列满足，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出是斐波那契数列的第（ ）项.
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
7.已知圆台的上 下底面半径分别为，高为，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为，则（ ）
A.当时，的最大值为
B.当时，的最大值为
C.当时，的最大值为
D.当时，的最大值为
8.设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了了解中国人均（单位：万元）和总和生育率以及女性平均受教育年限（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，对应的决定系数分别为，则（ ）
A.人均GDP和女性平均受教育年限正相关
B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C.
D.未来三年总和生育率将继续降低
10.在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）
A.异面直线与所成角的余弦值为
B.
C.点到平面的距离为
D.平面截正方体所得的截面是五边形
11.已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线关于轴对称
B.曲线上任意一点到原点的距离都不超过
C.曲线及其内部共包含了19个整点（即横 纵坐标均为整数的点）
D.点到点和点的距离之和最小为
12.已知为等差数列，记，则（ ）
A.为常数 B.为常数
C.随着的增大而增大 D.随着的增大而增大
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，则两点的距离为__________.
15.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为__________.
16.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
若函数，其中.
（1）若，求；
（2）若在区间上没有零点，求的取值范围.
18.（12分）
记数列的前项和为，__________.给出下列两个条件：
条件①：数列和数列均为等比数列；
条件②：.
试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）记正项数列的前项和为，求.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
19.（12分）
已知四棱锥的底面是棱长为2的菱形，，若，且与平面所成的角为为的中点，点在线段上，且平面.
（1）求；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
甲 乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种.
（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为.设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望；
（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.
（i）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；
（ii）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率.
21.（12分）
已知圆，椭圆的左右焦点为，如图为圆上任意一点，过分别作椭圆两条切线切椭圆于两点.
（1）若直线的斜率为2，求直线的斜率；
（2）作于点，判断点在运动的过程中，的面积是否存在最大值，如果存在，求出最大值，如果不存在，说明理由.
22.（12分）
设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.
2023年广州市普通高中毕业班冲刺训练题（一）
试题参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C C A C D C
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9.AB 10.ABD 11.BC 12.ACD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分.
17.（10分）
（1）解：因为
当，所以
所以
（2）解：由（1）知，
当时，，
要使在上无零点，则.
，
当时，；当时，，
当时，舍去.综上：的取值范围为.
18.（12分）
（1）解：选条件①：
数列为等比数列，
，
即，
，且设等比数列的公比为，
，解得或（舍），
，
选条件②：
①，
，
即②，
由①②两式相减得：，
即，
令中得出也符合上式，
故数列为首项，公比的等比数列，
则.
（2）解：由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列为首项，公比的等比数列，即，
则，
③
④，
由③④两式相减得：，
即，
数列为正项数列，则，
则数列的奇数项 偶数项分别都成公差为4的等差数列，
即
数列前项中的全部偶数项之和为：，
则
19.（12分）
（1）证明：设的交点为，连接，已知为的重心，所以，
因为平面，平面与平面的交线为，所以
所以.
（2）解：因为，所以为等边三角形，
所以，又因为，
所以，所以，
取的中点，连接，所以，
所以平面，
过做，交直线于点，所以，因为，所以，
又因为，所以与重合
以为坐标原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以
因为，所以，
设平面，
，令，
所以，
设的一法向量，则，
令，则，
所以
所以求平面与平面夹角的余弦值为.
20.（12分）
（1）解：由题意得，，则，其中，则的分布列为：
0 1 2 3
则.（2）设事件为“乙在第次挑战中成功”，其中.
（i）设事件为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则，
则
即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4.
（ii）因为
，
且
，
所以.
即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62.
21.（12分）
（1）设，切线，则
由得
由得
设切线的斜率分别为
则
又直线的斜率为2，则直线的斜率为
（2）当切线的斜率都存在时，设，
切线方程为
并由（1）得
由点在椭圆上，得代入得，即
切线的方程为
由于点在切线上，则
所以直线方程为，
由得直线方程为
联立直线方程，
解得
由得点轨迹方程为，且焦点恰为
当切线的斜率有一个不存在时，如斜率不存在，则，
直线方程为方程为，可解得，
点也在椭圆上，
若，同理可得.
因此，点的轨迹为椭圆，
所以，，
当且仅当点在椭圆的短轴端点时取到等号.
22.（12分）
（1）解：由
讨论：
①时，由，令，解得，
所以时，时，；，
则在单调递增，在单调递减；
②时，由，
（i）时，因为，则在单调递增，（ii）时，，解得或，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
（iii）时，由，
所以时，时，，
则在单调递增，在单调递减；
综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
时，的单调递增区间为；
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）根据题意结合（1）可知时，存在两个极值点，
由为的零点，则
，则，故，
讨论：
若，由（1）可知，则；
若，则，故，化简得，即，
故
即，
故，当且仅当时取等号，
综上，恒成立.
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