人教版八年级下册 15.2 分式的乘除 说课课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
基于整体 四能四会 落实素养
——15.2 分式的乘除运算（1）
01
内容和内容解析
02
目标和目标解析
03
问题诊断及分析
04
教法思路和分析
目录
CONTNETS
05
教学过程与分析
06
教学反思和感悟
选自人教版八年级上册第十五章《15.2分式的运算》第1课时，主要学习分式的乘除法法则及简单运用．
内容和内容解析
01
内容和内容解析
01
分式的乘除运算
分式运用
二次根式
分式加减
……
分式方程
因式分解
分式的概念
分式的基本性质
分数及运算
整式及运算
分数的乘除运算
一般化
系统化
数式学习的一般方法
类比、抽象
迁移、构建
课标：能对简单的分式进行加减乘除运算.
重点：类比分数抽象分式的乘除法法则，并能进行简单的分式乘除运算.
抽象能力（符合意识）运算能力、推理能力
抽象能力、运算能力
重点
核心素养
上位知识
下位知识
目标和目标解析
02
类比分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则.
类比探究得到分式乘除法法则，知道分数和分式是具体到抽象，特殊到一般的本质关系，在抽象法则的活动中发展符号抽象能力，建立数学学习的信心.
目标1
达成标志
会用数学的眼光观察现实世界
目标和目标解析
02
能运用分式的乘除法法则进行分式的乘除法运算.
能运用分式的乘除法法则进行分式的乘除运算，会把分式的除法运算转化为乘法运算，解决简单实际问题，会用数学逻辑推理和数学运算的方法思考问题．
目标2
达成标志
会用数学的思维思考现实世界
目标和目标解析
02
会用文字语言和符号语言表达分式的乘法法则和除法法则.
类比分数，能用文字语言叙述和符号语言表示分式的乘除法法则，还能通过具体的实例解释法则，知道式子表达的一般性，培养逻辑推理和运算能力，发展核心素养．
目标3
达成标志
会用数学的语言表达现实世界
问题诊断及分析
03
学生已有分数乘除运算的基础，但难免遗忘，或只停留在法则的记忆和机械操作上，不了解本质.分式的乘除运算是对分数的运算的一种抽象，是分数乘除法则的一般化，这一转变是思维能力的提升，对学生来说需要一个过程，才能进一步理解数式通性的内涵.
八年级学生思维活跃，参与意识强，且勤于思考、乐于探究.具备了一定的动手能力、对知识的迁移能力、理性分析问题的能力，代数推理能力已有一定发展，但还不足，理解算理、归纳算法还有一定困难.
课标：能对简单的分式进行加减乘除运算.
难点：理解算理算法，特别分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
抽象能力（符合意识）运算能力、推理能力
运算能力、推理能力
难点
核心素养
问题诊断
学生分析
核心素养
设计框架
整体教学
算理算法
四能活动
问题驱动，经历“发现，提出，分析，解决问题”的过程，类比抽象法则.
发展抽象能力、运算能力、推理能力.
分式运算整体教学、纳入分式单元体系、构建数式学习一般方法.
通过例题变式、开放设计等，理解算理，提炼算法，发展能力素养，提升兴趣.
教学思路和分析
04
《2022版课标》要求：通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.
基于整体 四能四会 落实素养
目标
理念
方法
途径
固本溯源 发现问题
类比迁移 提出问题
类比探究 分析问题
自然生成 解决问题
理解算理 提炼算法
梳理小结 构建体系
基于整体 四能四会 落实素养
教学过程与分析
05
分式的乘除运算
定义
基本性质
问题1 我们已经学习了分式的哪些内容 是如何得到的？
类比分数
追问1 回忆一下小学分数是如何展开学习的？
核心
定义
基本性质
运算(运算律)
应用
固本溯源 发现问题
追问2 类比分数，接下来我们应该学习分式的哪些内容？
定义
基本性质
？
分数
分式
具体
抽象
定义
基本性质
运算、运算律
(加减乘除)
应用
类比
类比
类比
具体化
一般化
运算
固本溯源 发现问题
设计意图：通过分式知识图谱构建，从数式内部发展的角度说明学习分式运算的必要性，理解关系，从而获得研究对象和研究方法，初步感受数式同性和数式学习的一般方法，体现整体教学思想.
类比
长方体容器的高为：
问题2（1）一个水平放置的长方体容器，其容积为 V， 底面的长为 a，宽为 b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少
水面的高度为：
V
ab
V
ab
m
n

m
n
固本溯源 发现问题
分析：大拖拉机的工作效率是 hm2/天，小拖拉机工作效率是 hm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 倍.
问题2（2）大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n 天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
a
m
b
n
a
m
b
n
÷
固本溯源 发现问题
变式1：大拖拉机和小拖拉机每天共可耕地多少 hm2
变式2：大拖拉机比小拖拉机每天可多耕地多少 hm2
a
m
b
n
＋
a
m
b
n
－
V
ab
m
n

a
m
b
n
÷
追问1 以上是分式的什么运算？
追问2 你能再举出一些生活中分式运算的实例吗？
固本溯源 发现问题
a
m
b
n
＋
a
m
b
n
－
设计意图：通过抽象现实问题，获得研究对象.
综上，分式的运算不仅是数学内部发展的需要，也是生活生产实际的需要，让学生体会学习分式运算的必要性，从而引出15.2章节的学习内容，也体现小章节的整体教学.最后引出课题，明确今天先学习分式的乘除运算.
分数
分式
具体化
一般化
关系
策略
类比分数运算
学习分式运算
问题3 类比分数的运算，应该如何学习分式的运算？
追问 分式与分数有怎样的关系，为什么可以类比分数学习分式？
类比迁移 提出问题
V
ab
m
n

a
m
b
n
÷
a
m
b
n
＋
a
m
b
n
－
设计意图：基于关系，提出分式运算的学习方法策略，为探究分式的乘除运算作好准备.
V
ab
m
n

问题4 类比分数的乘法，应该如何学习分式的乘法？
具体化
2
3
5
4
×
＝
2×5
3×4
＝
5
6
一般化
2
3
m
n
×
＝
2m
3n
＝
5V
4ab
一般化
一般化
V
ab
5
4
×
一般化
V
ab
m
n

＝
Vm
abn
你还能举一些分式乘法运算的实例吗？
分数的基本性质
运算依据是什么？
分数的乘法法则
类比探究 分析问题
设计意图：将分式具体化，以学生已经掌握的分数的乘法运算为切入点，类比学习分式的乘法运算，通过对“特例”的深加工，经历由旧知引出新知的学习过程，感受知识间的联系及延伸，体会一般到特殊，再到一般的思想方法.
一般
特殊
一般
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分式的乘法法则
分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分数的乘法法则
一致性
追问 类比分数，你能用数学语言表达分式的乘法法则吗？
a
b
c
d

＝
a c
b d
问题5 你能用文字描述一下分式的乘法法则吗？
自然生成 解决问题
设计意图：用文字语言和符号语言对分式的乘法法则进行叙述，感受一致性.体会两种语言间的相互转化，既发展学生的类比思想以及有条理的思考和语言表达能力，又让学生感受到符号语言的简洁性.
a
m
b
n
÷
问题6 类比分式乘法运算的学习，你能自主探究分式的除法运算吗？
具体化
2
3
5
4
÷
＝
2×4
3×5
＝
8
15
一般化
一般化
一般化
一般化
2
3
4
5
×
＝
a
m
5
4
÷
＝
4a
5m
a
m
4
5
×
＝
2
3
b
n
÷
＝
2n
3b
2
3
n
b
×
＝
a
m
b
n
÷
＝
ab
mn
a
m
b
n
×
＝
你还能举一些分式除法运算的实例吗？
自然生成 解决问题
策略
分数
分式
具体化
一般化
设计意图：学生根据已有的活动经验，类比迁移，进一步理解分式与分数的乘除法法则本质是相同的，感受知识间的联系及延伸，感受探究法则的一般方法.特别让学生感受到数系扩充的前提是运算(律)的不变性.
追问1 你能用文字描述一下分式的除法法则吗？
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
分式的除法法则
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘.
分数的除法法则
一致性
追问2 类比分数，你能用数学语言表达分式的除法法则吗？
a
b
d
c

＝
a d
b c
a
b
c
d
÷
＝
自然生成 解决问题
问题6 类比分式乘法运算的学习，你能自主探究分式的除法运算吗？
例1 计算：(1) (2)
4x
3y
y
2x3

ab3
2c2
－5a2b2
4cd
÷
解：(1) ＝ ＝
4x
3y
y
2x3

4xy
6x3y
2
3x2
(2) ＝
ab3
2c2
－5a2b2
4cd
÷
ab3
2c2
4cd
－5a2b2

＝－
10a2b2c2
4ab3cd
分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤：
①把分式除法运算转化成分式乘法运算；
②求积的分式，确定积的符号；
③约分；
④写出结果(化为最简分式).
追问1 说出每一步运算的依据，并归纳解题一般步骤？
先定符号，再定结果.
理解算理 提炼算法
设计意图：本例直接应用分式乘除法法则进行运算，通过追问让学生明白算理，通过规范计算步骤和格式，让学生感受应用法则进行计算的全过程，理解算法，即解题的一般步骤.（如果学生掌握不好，还可设计类似题目再进行强化）
追问2 上题的x，y可以表示单项式，还可以表示什么？
4x
3y
y
2x3

令y＝a－b
4x
3(a－b)
a－b
2x3

追问3 分式的分子分母如果是多项式，应该如何计算？
多项式
分式的基本性质
2
3x2
4x
3y
y
2x3

令x＝a＋b
4(a＋b)
3y
y
2(a＋b)3

分式的基本性质
2
3(a＋b)2
解：(1) ＝ ＝
4x
3y
y
2x3

4xy
6x3y
2
3x2
变式1：
变式2：
整体思想
理解算理 提炼算法
设计意图：通过变式再次让学生感受分式乘除运算的一般性，理解本质，体现整体思想，为分子、分母是多项式时的乘除运算作好准备，突破难点.
(a＋b)2
a2＋2ab＋b2
因式分解
整式乘法
例2 计算：(1) (2)
解：(1)
a2－4a＋4
a－1

1
49－m2
÷
a2－2a＋1
a2－4
a2－4a＋4
a－1

a2－2a＋1
a2－4
a－1

(a－1)2
(a－2)(a＋2)
(a－2)2
＝
＝
(a－1)2(a－2)(a＋2)
(a－2)2(a－1)
＝
a－2
(a－1)(a＋2)
1
m2－7m
理解算理 提炼算法
分解因式
约分
(2)
－

m2－49
1
＝
＝
(m－7)(m＋7)
(m2－7m)
＝
1
49－m2
÷
1
m2－7m
－
m(m－7)
－
(m＋7)
m
变除为乘
变形
设计意图：学生运用分式的乘除法法则进行计算，体会法则、内化法则，同时在运算的过程中要做到步步有理，规范步骤，即理解算理算法.
分子和分母含有多项式的分式乘除法的一般解题步骤：
①把分式除法运算转化成乘法运算；
②把分子或分母里的多项式分解因式；
③约分；
④写出结果(化为最简分式).
目标检测：从所给的 4 个代数式中任意选择两个，用“×”或“÷”连接，并进行计算.
－
2a
b
－2ab
b
a2＋2a
a2－4
4ab－2a2b
理解算理 提炼算法
追问 你还能添加代数式，构造难度更大的分式乘除运算让其他同学做吗？
设计意图：通过开放性题目，满足不同能力学生的需求.既可以考查法则落实情况，又能丰富课堂组织形式，活跃气氛，激发兴趣，还可以培养学生的构题能力，让不同能力层次的学生都能得到发展和提高.
基础能力：如① ②
－
2a
b
(－2ab)
－
2a
b
÷(－2ab)
一般能力：如① ②
－
2a
b
b
a2＋2a

b
a2＋2a
÷(－2ab)
较高能力：如① ②
b
a2＋2a
a2－4
4ab－2a2b

b
a2＋2a
a2－4
4ab－2a2b
÷
问题7 回顾这节课的学习过程，请同学们谈谈收获？
追问1 本节课你学会了哪些知识内容、思想方法？
分式的乘除法法则及简单运用.
梳理小结 构建体系
抽象、类比学习、特殊到一般……
知识内容
思想方法
实际问题
分式算式
分式乘除运算
抽象
分数乘除
分式乘除
分式乘除法则
类比
归纳
应用
追问2 回顾学习过程，我们是如何获得这些知识的？
特例
梳理小结 构建体系
抽象算式
操作
归纳法则
探寻规律
符号表示
运用法则
运算(法则)学习的一般方法
追问3 类比分数的学习，接下来应该学习分式的哪些内容？
定义
基本性质
分数
分式
定义
基本性质
运算
(加减乘除)
应用
类比
类比
类比
具体化
一般化
运算
(乘除加减)
类比
应用
分式方程
……
一般方法
梳理小结 构建体系
追问4 通过分式学习，你对数与式的知识体系有更加深刻的认识吗？
数式通性通法
整数
分数
整式
分式
数的扩充
式的扩充
特殊到一般
具体到抽象
梳理小结 构建体系
有理数
有理式
设计意图：分别从知识、方法、能力多维度进行小结，感受运算(法则)学习的一般方法，深刻领悟类比迁移、转化的数学思想的运用，明白运算是数式学习的核心，最后构建数式知识体系，感受数式通性通法，形成一般观念，发展核心素养.
类比
类比
类比
必做： 作业本② 15.2.1 分式的乘除（1）：复习巩固
选做： 作业本② 15.2.1分式的乘除（1）：综合运用
拓展： 任选1个，形成报告.
①类比分数的加减法法则学习，自主探究分式的加减法法则.
②思考为什么分式与分数不同，是先学乘除运算，后学加减运算？
③接下来会学习《二次根式》，你觉得应该如何展开学习？
分层作业 分步提高
设计意图：作业分必做和选做题，有能力的学生可以运用类比的方法进行后续研究，提升自主学习能力，发展高阶思维，让不同能力层次的学生都能得到提高.拓展作业以调查报告的形式呈现或设计成项目化学习，丰富作业形式，提升兴趣.
15.2.1分式的乘除
1.分式乘除法法则及字母表达式 2.类比学习框架图 类比探究过程 例1
例2
板书设计
教学反思和感悟
06
设计特色
理念
策略
目标
四能
四会
整体
教学
类比
学习
主动参与
算理算法
一般
方法
核心
素养
整体
构建
本课设计基于《2022版课标》要求，以体现“四能四会”和整体教学为核心理念，发展核心素养.教学策略上，采用类比探究归纳的学习方法，抽象得到分式的乘除法法则并运用，理解分式乘除运算的算理，掌握算法，整体构建数式的知识体系，充分体验形成数式学习的一般方法，培养抽象能力、运算能力、推理能力，发展核心素养，让不同能力层次的学生都能得到发展和提高.
基于整体 四能四会 落实素养
单元整体教学是一种对课程思维的整合，追求的是数学内容的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性、体系的深刻性.运用单元整体教学可以是课堂教学更具全局观、更显活力，学生素养可以得到更高的提升.
价值追求
教学反思和感悟
06
基于整体 四能四会 落实素养
教学启示
知识与能力，过程与目标
到年级、学期、单元
认识学科本质
发展核心素养
构建知识体系
分解课程目标
整合内在联系
实现目标
基本概念、思想方法、思维方式
结构性、系统化
一个想法，一次尝试，目标定位高，效果待检验，关键勇于尝试，请指正！
听
聆
谢
感
THANKS FOR LISTENING